Tag: वर्ग एवं वर्गमूल (Square and square root)

1 से 30 तक के घनों में 1 से 30 तक की सभी संख्याओं के घनों की सूची है। 1 से 30 तक के घनों का मान 1 से 27000 तक है। इन मानों को याद करने से छात्रों को समय लेने वाले समीकरणों को जल्दी से सरल बनाने में मदद मिलेगी। घातीय रूप में किसी भी संख्या x का घन (x) ³ के रूप में व्यक्त किया जाता है ।

• प्रतिपादक रूप: (x) ³
• उच्चतम मूल्य: 30 ³ = 30 × 30 × 30 = 27000
• निम्नतम मान: 1 ³ = 1 × 1 × 1 = 1

घन संख्या तालिका [Cube Number Table]

सीखने वाले क्यूब्स 1 से 30 छात्रों को 1 से 27000 तक सभी सही क्यूब्स को पहचानने में मदद कर सकते हैं और ज्ञात क्यूब्स के बीच इंटरपोलेट करके क्यूब रूट का अनुमान लगा सकते हैं। 1 से 30 तक के घनों के मान नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं।

1 से 30 तक सभी क्यूब्स की सूची
1 3 = 1	2 3 = 8
3 3 = 27	4 3 = 64
5 3 = 125	6 3 = 216
7 3 = 343	8 3 = 512
9 3 = 729	10 3 = 1000
11 3 = 1331	12 3 = 1728
13 3 = 2197	14 3 = 2744
15 3 = 3375	16 3 = 4096
17 3 = 4913	18 3 = 5832
19 3 = 6859	20 3 = 8000
21 3 = 9261	22 3 = 10648
23 3 = 12167	24 3 = 13824
25 3 = 15625	26 3 = 17576
27 3 = 19683	28 3 = 21952
29 3 = 24389	30 3 = 27000

छात्रों को सलाह दी जाती है कि गणित में तेजी से गणना करने के लिए इन घन संख्याओं 1 से 30 तक के मानों को अच्छी तरह से याद कर लें।

घन 1 से 30 – सम संख्याएँ

नीचे दी गई तालिका सम संख्याओं के लिए 1 से 30 तक के घनों के मान दर्शाती है।

2 3 = 8	4 3 = 64
6 3 = 216	8 3 = 512
10 3 = 1000	12 3 = 1728
14 3 = 2744	16 3 = 4096
18 3 = 5832	20 3 = 8000
22 3 = 10648	24 3 = 13824
26 3 = 17576	28 3 = 21952
30 3 = 27000

घन 1 से 30 – विषम संख्याएँ

नीचे दी गई तालिका विषम संख्याओं के लिए 1 से 30 तक के घनों के मान दर्शाती है।

1 3 = 1	3 3 = 27
5 3 = 125	7 3 = 343
9 3 = 729	11 3 = 1331
13 3 = 2197	15 3 = 3375
17 3 = 4913	19 3 = 6859
21 3 = 9261	23 3 = 12167
25 3 = 15625	27 3 = 19683
29 3 = 24389

1 से 30 तक के घनों की गणना कैसे करें?

1 से 30 तक के घनों के मान की गणना करने के लिए , हम नीचे दी गई विधि का उपयोग कर सकते हैं:

गुणन अपने आप में:

इस विधि में, एक ही संख्या को तीन बार गुणा किया जाता है और परिणामी गुणनफल हमें उस संख्या का घन देता है। उदाहरण के लिए, 7 का घन = 7 × 7 × 7 = 343। यहाँ, परिणामी उत्पाद “343” हमें संख्या “7” का घन देता है। यह तरीका छोटी संख्या के लिए अच्छा काम करता है।

संख्याओं से पूर्ण घन संख्या की पहचान व निर्माण

बताइये कि संख्या 23625 पूर्ण घन है अथवा नहीं?

वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 68600 में गुणा करने पर गुणनफल पूर्ण घन संख्या हो?

वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 408375 में भाग करने पर भागफल पूर्ण घन हो जाए?

वर्गमूल

किसी संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए हमने उसके अभाज्य गुणनखण्डों में से समान गुणनखण्डों के दो-दो के जोड़े बनायेंगे । प्रत्येक जोड़े में से एक-एक संख्या लेकर उनका गुणनफल ज्ञात कर लेंगे। यही दी गई संख्या का वर्गमूल होगा।

512 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

यदि एक वर्गाकार चित्र का क्षेत्रफल 2025 वर्ग सेमी हो तब चित्र की एक भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

एक व्यक्ति अपने बाग में 11025 आम के पौधे इस प्रकार लगाता है कि हर पंक्ति में उतने ही पौधे हैं जितनी पंक्तियाँ हैं तो बाग में कितनी पंक्तियाँ हैं?

भाग विधि से वर्गमूल ज्ञात करना

• संख्या के इकाई की ओर से आरंभ करते हुए संख्याओं के जोड़े बनाइए। जोड़े बनाने के लिए संख्याओं के ऊपर एक छोटी सी आड़ी रेखा खींच सकते हैं। संख्या को भाग चिह्न के भीतर रखिए। अब ऐसा बड़ा से बड़ा भाजक ढूँढ़िए जिसका वर्ग संख्या के पहले जोड़े से बड़ा न हो।
• भाजक और भागफल में वर्ग संख्या को रखते हुए उनके गुणनफल जोड़े के नीचे रखकर घटाइए।
• भाजक में उतनी ही संख्या जोड़िए। योगफल को उसके नीचे लिखिए।
• जो शेष बचा है , उसके आगे पूरी एक जोड़ी संख्या उतारकर रखिए। यह नया भाज्य बनेगा।
• अब हमें भाजक के योगफल के आगे और भागफल के आगे एक ऐसी संख्या रखनी है जिससे उस संख्या और नए भाजक का गुणनफल अधिक न हो। यदि हम भागफल में जितनी संख्या रखें तो भाजक में भी उतनी ही संख्या रखेंगे, जिससे नया भाजक का निर्माण होगा।
• क्रमशः भागफल में वर्ग संख्या को रखते हुए उनके गुणनफल जोड़े के नीचे रखकर घटाइए।
• भाजक में उतनी ही संख्या जोड़िए। योगफल को उसके नीचे लिखिए। जब तक कि शेष 0 ना बच जाये।

भाग विधि से 625 का वर्गमूल ज्ञात करें।

घनमूल ज्ञात करना

किसी संख्या का घनमूल निकालने के लिए उसके अभाज्य गुणनखंण्डों में से समान गुणनखंण्डों के तीन-तीन के त्रिक (तिकड़ी) बनाएँगे तथा ऐसी प्रत्येक तिकड़ी से एक-एक संख्या लेकर उनका गुणनफल ज्ञात कर लेंगे। यही दी गई संख्या का घनमूल होगा।
512 का घनमूल ज्ञात कीजिए।

हमने सीखा (We Have Learnt)

• यदि n कोई संख्या है तब nxn या n² इसका वर्ग कहलाएगा और nxnxn या n³ इसका घन।
• जिन संख्याओं के इकाई में 2,3,7 या 8 हो वे पूर्ण वर्ग संख्याएँ नहीं हो सकती हैं।
• यदि पूर्ण वर्ग संख्या के अन्त में सम संख्या में शून्य हो तो वे भी पूर्ण वर्ग संख्या होगी।
• सम संख्याओं के वर्ग एवं घन सदैव सम संख्याएँ एवं विषम संख्याओं के वर्ग एवं घन सदैव विषम संख्याएँ होती हैं।
• किसी प्राकृत संख्या n का वर्ग, प्रारम्भिक n विषम संख्याओं के योगफल के बराबर होता है।
• यदि तीन संख्याएँ इस प्रकार हो कि बड़ी संख्या का वर्ग शेष दोनों संख्याओं के वर्गों के योग के बराबर हो तब संख्याएँ पाइथागोरिय त्रिक कहलाती है। जैसे 32+ 42 = 52 अतः (3,4,5) पाइथोगोरीय त्रिक है।
• वर्गमूल को ‘√ ‘चिह्न के द्वारा प्रदर्शित करते हैं। इस चिह्न को करणी चिह्न कहते हैं।

1 से 50 तक की संख्याओं का वर्ग संख्या/Square number

वर्ग 1 से 50, 1 से 50 तक की सभी संख्याओं के वर्गों (Square number) की सूची है। 1 से 50 तक के वर्गों का मान 1 से 2500 के बीच है। इन मानों को याद करने से छात्रों को समय लेने वाले समीकरणों को जल्दी से सरल बनाने में मदद मिलेगी। घातीय रूप में वर्ग 1 से 50 को (x) ² के रूप में व्यक्त किया जाता है ।

वर्ग 1 से 50 :

• प्रतिपादक रूप: (x) ²
• उच्चतम मूल्य: 50 ² = 2500
• न्यूनतम मान: 1 ² = 1

वर्ग 1 से 50 सीखने से छात्रों को 1 से 2500 तक के सभी पूर्ण वर्गों को पहचानने में मदद मिल सकती है और ज्ञात वर्गों के बीच अंतर्वेश करके एक वर्गमूल का अनुमान लगा सकते हैं। वर्ग 1 से 50 तक के मान नीचे तालिका में सूचीबद्ध हैं।

1 से 50 तक सभी वर्गों की सूची
12 = 1	22 = 4	32 = 9	42 = 16	52 = 25
62 = 36	72 = 49	82 = 64	92 = 81	102 = 100
112 = 121	122 = 144	132 = 169	142 = 196	152 = 225
162 = 256	172 = 289	182 = 324	192 = 361	202 = 400
212 = 441	222 = 484	232 = 529	242 = 576	252 = 625
262 = 676	272 = 729	282 = 784	292 = 841	302 = 900
312 = 961	322 = 1024	332 = 1089	342 = 1156	352 = 1225
362 = 1296	372 = 1369	382 = 1444	392 = 1521	402 = 1600
412 = 1681	422 = 1764	432 = 1849	442 = 1936	452 = 2025
462 = 2116	472 = 2209	482 = 2304	492 = 2401	502 = 2500

वर्ग 1 से 50 – सम संख्याएँ

नीचे दी गई तालिका सम संख्याओं के वर्ग 1 से 50 तक के मानों को दर्शाती है।

22 = 4	42 = 16	62 = 36	82 = 64	102 = 100
122 = 144	142 = 196	162 = 256	182 = 324	202 = 400
222 = 484	242 = 576	262 = 676	282 = 784	302 = 900
322 = 1024	342 = 1156	362 = 1296	382 = 1444	402 = 1600
422 = 1764	442 = 1936	462 = 2116	482 = 2304	502 = 2500

वर्ग 1 से 50 – विषम संख्याएँ

नीचे दी गई तालिका विषम संख्याओं के लिए 1 से 50 तक के वर्गों का मान दर्शाती है।

12 = 1	32 = 9	52 = 25	72 = 49	92 = 81
112 = 121	132 = 169	152 = 225	172 = 289	192 = 361
212 = 441	232 = 529	252 = 625	272 = 729	292 = 841
312 = 961	332 = 1089	352 = 1225	372 = 1369	392 = 1521
412 = 1681	432 = 1849	452 = 2025	472 = 2209	492 = 2401

वर्ग 1 से 50 के मानों की गणना कैसे करें?

1 से 50 तक के वर्गों की गणना करने के लिए, हम निम्नलिखित विधियों में से किसी एक का उपयोग कर सकते हैं:

विधि 1: स्वयं से गुणा करना।

विधि 2: बुनियादी बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करना:

34 का वर्ग ज्ञात करने के लिए, हम 34 को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:

• विकल्प 1: (30 + 4)
• विकल्प 2: (40 – 6)

अगले चरण में, हम बुनियादी बीजगणितीय पहचान सूत्र का उपयोग करते हैं और

विकल्प 1: [30² + 4² + (2 × 30 × 4)] या

विकल्प 2: [40² + 6² – (2 × 40 × 6)] प्राप्त करते हैं। 

व्यंजकों को और हल करने पर, हमें विकल्प 1: (900 + 16 + 240) = 1156 या

विकल्प 2: (1600 + 36 – 480) = 1156 मिलता है। 

विषम संख्याओं का पूर्ण वर्ग = विषम
सम संख्याओं का पूर्ण वर्ग =सम

अभाज्य गुणनखंड विधि से पूर्ण वर्ग संख्या की पहचान व निर्माण

बताइये कि संख्या 121 पूर्णवर्ग है अथवा नहीं?

वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिये जिसका 180 से गुणा करने पर गुणनफल पूर्ण वर्ग बन जाए।

वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिये जिसका 2352 में भाग देने पर भागफल पूर्ण वर्ग बन जाए।