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Tag: गुणनखंड और गुणज (Factors and Multiples)

  • [MULT06] घातांक नियम से सरलीकरण

    घातीय संकेतन

    किसी संख्या का उसी संख्या के साथ बार-बार गुणा कर संक्षिप्त रूप लेखन को हम घातीय संकेतन भी कहते हैं। जैसे :-
    3 x 3 x 3 x 3 = 34. यहाँ 3 आधार है तथा 4 घात है।

    घातांक के नियम: (rules of exponent in hindi)

    घातांक के नियम निम्न है :

    नियम 1: a0  = 1

    शून्य के अलावा अगर कोई भी संख्या के ऊपर अगर 0 घात है तो उसका मान 1 हो जाएगा।

    उदाहरण :

    • 80  = 1

    किसी संख्या का घात शून्य (0) हो तो मान एक (1) होगा कैसे

    नियम 2: a-m = 1/am

    अगर किसी संख्या की घात में ऋणात्मक चिन्ह है तो फिर वह संख्या 1 के भाग में चली जायेगी एवं उसकी घात धनात्मक हो जायेगी।

    उदाहरण :

    3-3

    = 1/33 

    = 1/27

    नियम 3: am x an = am+n

    अगर किन्हीं ऐसी दो संख्याएं जिनका मूल समान है लेकिन घात अलग है उन्हें गुना किया जाता है अगर उन दो संख्याओं को गुना किया जाता है तो उनकी घात का योग हो जाता है।

    उदाहरण:

    22 x 23 

    = 22+3 

    = 25

    = 2x2x2x2x2 = 32

    नियम 4 : am/an = am-n

    अगर किन्हीं ऐसी दो संख्याओं का भाग दिया जाता हैं जिनका मूल ह्या आधार समान है तो उन दोनों संख्याओं की घात घटा हो जाती हैं एवं हम एक ही आधार लेते हैं।

    उदाहरण:

    25/23 

    = 25-3 

    = 22 

    = 4

    नियम 5 : (am)n : amxn

    अगर कोई संख्या घात के साथ कोष्ठक में होती है एवं कोष्ठक के बाहर भी कोई घात होती है तो दोनों घाटों का गुना होता है। गुना होने बाद जो घात आती है वाही घात उस संख्या कि घात होती है। फिर हम उस संख्या को उतनी बार गुना करके उसका हल निकालते हैं।

    उदाहरण :

    (22)3 

    = 26 

    = 64

    -1 का सम व विषम घात का मान

    -1 का सम और विषम घात का मान इस प्रकार होता है:

    • सम (Even): (-1)2 = 1
    • विषम (Odd): (-1)3 = -1

    इसलिए, -1 का सम घात का मान 1 होता है और विषम घात का मान -1 होता है।

  • [MULT01] विभाज्यता के नियम (Divisibility Rule)

    [MULT01] विभाज्यता के नियम (Divisibility Rule)

    विभाज्यता के नियम (divisibility rule) उन विधियों को कहते हैं जो सरलता से बता देते हैं कि कोई प्राकृतिक संख्या किसी दूसरी संख्या से विभाजित हो सकती है या नहीं।

    विभाज्यता के नियम (Divisibility Rule)

    विभाजकविभाजन की शर्त/शर्तेंउदाहरण
    1स्वत:सभी पूर्णांक 1 से विभाज्य हैं।
    2संख्या का अन्तिम अंक सम (0, 2, 4, 6, or 8) हो।1,294: इसमें अन्तिम अंक 4 सम है।
    3दी हुई संख्या के सभी अंकों का योग 3 से विभाजित हो। बहुत बड़ी संख्याओं (जिनके अंकों का योग भी बड़ी संख्या हो) के लिये यह नियम अंकों के योग पर भी लागू किया जाता है।405:6+3+6=15 जो कि 3 से विभाज्य है। 16,499,205,854,376 के अंकों का योग 69 है; 6 + 9 = 15, 1 + 5 = 6, जो स्पष्टत: 3 से विभाज्य है।
    4संख्या के इकाई स्थान के अंक में दहाई स्थान के अंक का दो गुना जोड़िये। (दहाई स्थान के बांये के सारे अंकों का इसके लिये कोई महत्व नहीं है।)5,096: 6 + (2 × 9) = 24
    अन्तिम दों अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो।40832: 32 is divisible by 4.
    यदि दहाई स्थान पर स्थित अंक सम हो तथा इकाई स्थान पर 0, 4, या 8 हो।यदि दहाई स्थान का अंक विषम हो तथा इकाई स्थान पर 2, या 6.40832: 3 विषम है, तथा अन्तिम अंक 2 है।
    5अन्तिम अंक 0 या 5.490: अतिम अंक 0 है।
    6संख्या 2 और 3 दोनो से विभक्त होती हो।1,458: 1 + 4 + 5 + 8 = 18, 1 + 8 = 9, अत: संख्या 3 से विभाज्य है और साथ ही अन्तिम अंक सम होने के कारण 2 से भी विभाज्य है। इसलिये यह संख्या 6 से विभाज्य है।
    अन्तिम अंक में अन्य अंकों के योग का चौगुना जोड़ें।198: (1 + 9) × 4 + 8 = 48
    7निम्नलिखित प्रक्रिया करने के बाद प्राप्त संख्या 7 से विभाज्य होनी चाहिये:
    दायें से बायें तरफ संख्या के अंकों का तीन-तीन का समूह बनाकर इनका एकान्तर योग निकालिये।1,369,851: 851 – 369 + 1 = 483 = 7 × 69
    अन्तिम अंक का दोगुना, बाकी संख्या से घटाइये और जांचिये कि परिणाम 7 से विभाज्य है या नहीं।483: 48 – (3 × 2) = 42 = 7 x 6.
    या, अन्तिम संख्या के पाँच गुने में बाकी बची संख्या को जोड़िये.483: 48 + (3 × 5) = 63 = 7 x 9.
    8निम्नलिखित प्रक्रिया करने के बाद प्राप्त संख्या 8 से विभाज्य होनी चाहिये:
    यदि ‘सैकड़ा’ के स्थान वाला अंक सम है तो अन्तिम दो अंकों से बनी संख्या की परीक्षा कीजिये कि यह 8 से विभाज्य है या नहीं।624: 24.
    यदि सैकड़ा के स्थान पर वाला अंक विषम है तो अन्तिम दो अंकों से बनी संख्या में 4 जोड़कर परीक्षा कीजिये कि यह 8 से विभाज्य है या नहीं।.352: 52 + 4 = 56.
    इकाई स्थान के अंक को छोड़कर जो संख्या बचती है उसके दोगुने में इकाई वाला अंक जोड़िये और परीक्षा कीजिये कि यह 8 से विभाज्य है या नहीं।56: (5 × 2) + 6 = 16.
    संख्या के केवल अन्तिम तीन अंकों से बनी संख्या की परीक्षा कीजिये और देखिये कि यह 8 से विभाज्य है या नहीं।34152: केवल 152 के विभाज्यता की परीक्षा कीजिये: 19 x 8
    9सभी अंकों का योगफल 9 से विभाज्य होना चाहिये। बड़ी संख्याओं के लिये यह क्रिया बार-बार की जा सकती है अर्थात अंकों का योग भी बड़ा हो तो उसकी भी इसी रीति से परीक्षा की जाती है। अन्तिम परिणाम 9 आना चाहिये।2,880: 2 + 8 + 8 + 0 = 18: 1 + 8 = 9.
    10अन्तिम अंक शून्य (0) होना चाहिये।130: अन्तिम अंक 0 है।
    11निम्नलिखित प्रक्रियाओं के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्या 11 से विभाज्य होनी चाहिये:
    एकानतर अंकों (एक-एक अंक छोड़कर) का योग-घटाना कीजिये और देखिये कि यह 11 से विभाजित होता है या नहीं।918,082: 9 – 1 + 8 – 0 + 8 – 2 = 22.
    दायें से बायें तरफ संख्या के अंकों को दो-दो के समूह में योग कीजिये और देखिये कि यह 11 से विभाजित होता है या नहीं।627: 6 + 27 = 33.
    अन्तिम अंक को बाकी बचे अंकों से बनी संख्या से घटाइये और देखिये कि यह 11 से विभाजित होता है या नहीं।627: 62 – 7 = 55.
    12जो संख़्या,3 और 4 दोनो से विभाज्य़ हो324: it is divisible by 3 and by 4.
    अंतिम अंक को शेष के दोगुने से घटाएं।324: (32 × 2) − 4 = 60.
    13इन उदाहरणों से प्राप्त संख्या 13 से विभाज्य होनी चाहिए, इस प्रकार:
    अंकों को दाएं से बाएं तीन के वैकल्पिक ब्लॉक में जोड़ें, फिर दो योग घटाएं।2,911,272: − (2 + 272) + 911 = 637
    शेष में अंतिम अंक का 4 गुना जोड़ें।637: 63 + (7 × 4) = 91, 9 + (1 × 4) = 13.
    14यह 2 और 7 से विभाज्य है।224: it is divisible by 2 and by 7.
    अंतिम दो अंकों को शेष के दोगुने में जोड़ें। उत्तर 14 से विभाज्य होना चाहिए।364: (3 × 2) + 64 = 70.

    विभाज्यता नियम 1

    प्रत्येक संख्या 1 से विभाज्य है। 1 के लिए विभाज्यता नियम में कोई शर्त नहीं है। किसी भी संख्या को 1 से विभाजित करने पर संख्या स्वयं प्राप्त होगी, चाहे वह संख्या कितनी भी बड़ी क्यों न हो। उदाहरण के लिए, 3, 1 से विभाज्य है और 3000 भी 1 से पूर्णतः विभाज्य है।

    2 का विभाज्यता नियम

    यदि कोई संख्या सम है या ऐसी संख्या जिसका अंतिम अंक सम संख्या है यानी 0 सहित 2,4,6,8, तो वह हमेशा 2 से पूर्णतः विभाज्य होती है।

    उदाहरण: 508 एक सम संख्या है और 2 से विभाज्य है, लेकिन 509 एक सम संख्या नहीं है, इसलिए यह 2 से विभाज्य नहीं है। 508 2 से विभाज्य है या नहीं, इसकी जांच करने की प्रक्रिया इस प्रकार है:

    • संख्या 508 पर विचार करें
    • बस अंतिम अंक 8 लें और इसे 2 से विभाजित करें
    • यदि अंतिम अंक 8, 2 से विभाज्य है तो संख्या 508 भी 2 से विभाज्य है।

    3 के लिए विभाज्यता नियम

    3 के लिए विभाज्यता नियम कहता है कि कोई संख्या 3 से पूर्णतः विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।

    308, 3 से विभाज्य है या नहीं ?

    अंकों का योग लें (अर्थात् 3+0+8= 11)। अब जांचें कि योग 3 से विभाज्य है या नहीं। यदि योग 3 का गुणज है, तो मूल संख्या भी 3 से विभाज्य है। यहाँ, चूँकि 11, 3 से विभाज्य नहीं है, 308 भी 3 से विभाज्य नहीं है।

    इसी प्रकार, 516 पूर्णतः 3 से विभाज्य है क्योंकि इसके अंकों का योग अर्थात 5+1+6=12, 3 का गुणज है।

    4 का विभाज्यता नियम

    यदि किसी संख्या के अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य हैं, तो वह संख्या 4 का गुणज है और 4 से पूर्णतः विभाज्य है।

    उदाहरण: संख्या 2308 लें।

    अंतिम दो अंकों यानी 08 पर विचार करें। चूँकि 08, 4 से विभाज्य है, मूल संख्या 2308 भी 4 से विभाज्य है।

    5 का विभाज्यता नियम

    वे संख्याएँ, जिनके अंतिम अंक 0 या 5 हैं, हमेशा 5 से विभाज्य होती हैं।
    उदाहरण: 10, 10000, 10000005, 595, 396524850, आदि।

    6 का विभाज्यता नियम

    जो संख्याएँ 2 और 3 दोनों से विभाज्य हैं, वे 6 से भी विभाज्य हैं। अर्थात्, यदि दी गई संख्या का अंतिम अंक सम है और उसके अंकों का योग 3 का गुणज है, तो दी गई संख्या भी 6 का गुणज है।

    उदाहरण: 630, संख्या 2 से विभाज्य है क्योंकि अंतिम अंक 0 है।
    अंकों का योग 6+3+0 = 9 है, जो 3 से भी विभाज्य है।
    इसलिए, 630, 6 से विभाज्य है।

    7 के लिए विभाज्यता नियम

    उदाहरण: क्या 1073, 7 से विभाज्य है?

    • बताए गए नियम से संख्या में से 3 हटाकर उसे दोगुना कर दें, जो 6 हो जाए।
    • शेष संख्या 107 हो जाती है, अत: 107-6 = 101।
    • प्रक्रिया को एक बार और दोहराने पर, हमारे पास 1 x 2 = 2 है।
    • शेष संख्या 10 – 2 = 8.
    • चूँकि 8, 7 से विभाज्य नहीं है, इसलिए संख्या 1073, 7 से विभाज्य नहीं है।

    8 का विभाज्यता नियम

    यदि किसी संख्या के अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य हैं, तो वह संख्या 8 से पूर्णतः विभाज्य है।

    उदाहरण: संख्या 24344 लें। अंतिम दो अंकों यानी 344 पर विचार करें। चूँकि 344 8 से विभाज्य है, मूल संख्या 24344 भी 8 से विभाज्य है।

    9 का विभाज्यता नियम

    9 से विभाज्यता का नियम 3 से विभाज्यता नियम के समान है। अर्थात, यदि संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं 9 से विभाज्य है।

    उदाहरण: 78532 पर विचार करें, क्योंकि इसके अंकों (7+8+5+3+2) का योग 25 है, जो 9 से विभाज्य नहीं है, इसलिए 78532, 9 से विभाज्य नहीं है।

    10 का विभाज्यता नियम

    10 के लिए विभाज्यता नियम कहता है कि कोई भी संख्या जिसका अंतिम अंक 0 है, वह 10 से विभाज्य है।

    उदाहरण: 10, 20, 30, 1000, 5000, 60000, आदि।

    11 के लिए विभाज्यता नियम

    यदि किसी संख्या के वैकल्पिक अंकों के योग का अंतर 11 से विभाज्य है, तो वह संख्या 11 से पूर्णतः विभाज्य है।

    अर्थात, विषम स्थानों के अंकों का योग – सम स्थानों के अंकों का योग = 0 या 11 का गुणज

    यह जांचने के लिए कि क्या 2143 जैसी संख्या 11 से विभाज्य है, नीचे निम्नलिखित प्रक्रिया दी गई है।

    • वैकल्पिक अंकों को समूहित करें अर्थात जो अंक विषम स्थानों पर हैं उन्हें एक साथ और सम स्थानों के अंकों को एक साथ रखें। यहां 24 और 13 दो समूह हैं।
    • प्रत्येक समूह के अंकों का योग अर्थात 2+4=6 और 1+3= 4 लें
    • अब योगों का अंतर ज्ञात करें; 6-4=2
    • यदि अंतर 11 से विभाज्य है, तो मूल संख्या भी 11 से विभाज्य है। यहां 2 वह अंतर है जो 11 से विभाज्य नहीं है।
    • इसलिए, 2143 11 से विभाज्य नहीं है।

    किसी संख्या की 11 से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिए कुछ और शर्तें हैं। उन्हें यहां उदाहरणों की सहायता से समझाया गया है:

    यदि किसी संख्या के अंकों की संख्या सम है तो शेष संख्या में से पहला अंक जोड़ें और अंतिम अंक घटा दें। 

    उदाहरण: 3784

    अंकों की संख्या = 4

    अब, 78 + 3 – 4 = 77 = 7 × 11

    इस प्रकार, 3784 11 से विभाज्य है।

    यदि किसी संख्या के अंकों की संख्या विषम है तो शेष संख्या में से पहला और अंतिम अंक घटा दें। 

    उदाहरण: 82907

    अंकों की संख्या = 5

    अब, 290 – 8 – 7 = 275 × 11

    इस प्रकार, 82907 11 से विभाज्य है।

    संख्या के दाएँ सिरे से बाएँ सिरे तक दो अंकों के समूह बनाएँ और परिणामी समूहों को जोड़ें। यदि योग 11 का गुणज है, तो संख्या 11 से विभाज्य है।

    उदाहरण: 3774 := 37 + 74 = 111 := 1 + 11 = 12 

    3774 11 से विभाज्य नहीं है.

    253 := 2 + 53 = 55 = 5 × 11

    253 11 से विभाज्य है.

    संख्या के अंतिम अंक को शेष संख्या से घटाएं। यदि परिणामी मान 11 का गुणज है, तो मूल संख्या 11 से विभाज्य होगी।

    उदाहरण: 9647

    9647 := 964 – 7 = 957

    957 := 95 – 7 = 88 = 8 × 11

    इस प्रकार, 9647 11 से विभाज्य है।

    12 का विभाज्यता नियम

    यदि संख्या 3 और 4 दोनों से विभाज्य है, तो वह संख्या 12 से पूर्णतः विभाज्य है। 

    उदाहरण: 5864

    अंकों का योग = 5 + 8 + 6 + 4 = 23 (3 का गुणज नहीं)

    अंतिम दो अंक = 64 (4 से विभाज्य)

    दी गई संख्या 5864 4 से विभाज्य है लेकिन 3 से नहीं; इसलिए, यह 12 से विभाज्य नहीं है।

    13 के लिए विभाज्यता नियम

    किसी भी संख्या के लिए, यह जांचने के लिए कि क्या वह 13 से विभाज्य है, हमें संख्या के अंतिम अंक का चार गुना शेष संख्या में जोड़ना होगा और प्रक्रिया को तब तक दोहराना होगा जब तक आपको दो अंकों की संख्या नहीं मिल जाती। अब जांचें कि वह दो अंकों की संख्या 13 से विभाज्य है या नहीं। यदि यह विभाज्य है, तो दी गई संख्या 13 से विभाज्य है।

    उदाहरण के लिए: 2795  → 279 + (5 x 4) 

    → 279 + (20) 

    → 299 

    → 29 + (9 x 4) 

    → 29 + 36 

    →65

    संख्या 65, 13 से विभाज्य है, 13 x 5 = 65.

    यहाँ विभाज्यता के नियमों (Divisibility Rules) से संबंधित कुछ MCQs दिए गए हैं:

    MCQ:

    1. 123456 संख्या को किससे विभाजित करने के लिए विभाज्यता का नियम है: “अंतिम अंक 2, 4, 6, 8 या 0 होना चाहिए”?

       (a) 2

       (b) 3

       (c) 5

       (d) 9

        उत्तर : a) 2

    2. किसी संख्या को 3 से विभाजित करने के लिए कौन-सा विभाज्यता नियम है?

       (a) अंतिम अंक 0 या 5 होना चाहिए।

       (b) सभी अंकों का योग 3 से विभाज्य होना चाहिए।

       (c) अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य होने चाहिए।

       (d) संख्या का अंतिम अंक 2, 4, 6, 8 या 0 होना चाहिए।

        उत्तर : b) सभी अंकों का योग 3 से विभाज्य होना चाहिए।

    3. 5432 संख्या को 5 से विभाजित करने के लिए कौन-सा नियम लागू होगा?

       (a) सभी अंकों का योग 5 होना चाहिए।

       (b) अंतिम अंक 0 या 5 होना चाहिए।

       (c) अंतिम दो अंक 25 से विभाज्य होने चाहिए।

       (d) संख्या 4 से विभाज्य होनी चाहिए।

        उत्तर : b) अंतिम अंक 0 या 5 होना चाहिए।

    4. संख्या 1236 को 4 से विभाजित करने के लिए कौन-सा विभाज्यता नियम है?

       (a) अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य होने चाहिए।

       (b) अंतिम तीन अंक 4 से विभाज्य होने चाहिए।

       (c) सभी अंकों का योग 4 से विभाज्य होना चाहिए।

       (d) अंतिम अंक 4 होना चाहिए।

        उत्तर : a) अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य होने चाहिए।

    5. संख्या 176 को 8 से विभाजित करने के लिए कौन-सा विभाज्यता नियम लागू होता है?

       (a) अंतिम दो अंक 8 से विभाज्य होने चाहिए।

       (b) अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य होने चाहिए।

       (c) सभी अंकों का योग 8 से विभाज्य होना चाहिए।

       (d) अंतिम अंक 0 या 8 होना चाहिए।

        उत्तर : b) अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य होने चाहिए।

    6. 396 को 9 से विभाजित करने का नियम क्या है?

       (a) सभी अंकों का योग 9 से विभाज्य होना चाहिए।

       (b) अंतिम अंक 9 होना चाहिए।

       (c) अंतिम दो अंक 9 से विभाज्य होने चाहिए।

       (d) संख्या का अंतिम अंक 0 या 9 होना चाहिए।

        उत्तर : a) सभी अंकों का योग 9 से विभाज्य होना चाहिए।

    7. संख्या 132 को 6 से विभाजित करने के लिए कौन-सा नियम लागू होता है?

       (a) संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए।

       (b) अंतिम अंक 6 होना चाहिए।

       (c) सभी अंकों का योग 6 होना चाहिए।

       (d) अंतिम दो अंक 6 से विभाज्य होने चाहिए।

        उत्तर : a) संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए।

    8. संख्या 3725 को 25 से विभाजित करने के लिए कौन-सा विभाज्यता नियम है?

       (a) अंतिम अंक 0 या 5 होना चाहिए।

       (b) अंतिम दो अंक 25 से विभाज्य होने चाहिए।

       (c) सभी अंकों का योग 25 से विभाज्य होना चाहिए।

       (d) अंतिम तीन अंक 25 से विभाज्य होने चाहिए।

        उत्तर : b) अंतिम दो अंक 25 से विभाज्य होने चाहिए।

    9. किसी संख्या को 11 से विभाजित करने का विभाज्यता नियम क्या है?

       (a) सभी अंकों का योग 11 से विभाज्य होना चाहिए।

       (b) अंतिम अंक 11 होना चाहिए।

       (c) वैकल्पिक अंकों के योग का अंतर 11 से विभाज्य होना चाहिए।

       (d) अंतिम दो अंक 11 से विभाज्य होने चाहिए।

        उत्तर : c) वैकल्पिक अंकों के योग का अंतर 11 से विभाज्य होना चाहिए।

    10. संख्या 17250 को 10 से विभाजित करने का नियम क्या है?

        (a) अंतिम अंक 5 होना चाहिए।

        (b) अंतिम अंक 0 होना चाहिए।

        (c) अंतिम दो अंक 10 से विभाज्य होने चाहिए।

        (d) संख्या का अंतिम अंक 2 या 5 होना चाहिए।

         उत्तर : b) अंतिम अंक 0 होना चाहिए।

    ये MCQs छात्रों को विभाज्यता के नियमों को समझने में मदद करेंगे।

  • [MULT02] बोडमास नियम से सरलीकरण

    [MULT02] बोडमास नियम से सरलीकरण

    किसी गणितीय व्यंजक को साधारण भिन्न या संख्यात्मक रूप में बदलने की प्रक्रिया ‘सरलीकरण’ कहलाती है।

    बोडमास नियम से सरलीकरण

    BODMAS में कोष्ठक (Bracket), का (of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition), तथा घटाव (Subtraction) की क्रिया एक साथ की जाती हैं।

    B → कोष्ठक ( Bracket )

    कोष्ठक के चार प्रकार

    कोष्ठक चार प्रकार के होते हैं –

    ― → रेखा कोष्ठक (Line Bracket)

    ( ) → छोटा कोष्ठक (Simple or Small Bracket)

    { } → मझला कोष्ठक (Curly Bracket)

    [ ] → बड़ा कोष्ठक (Square Bracket)

    इनको इसी क्रम में सरल करते हैं ।

    यदि कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न हो, तो सरल करने पर अन्दर के सभी चिह्न बदल जाते हैं।

    O → का ( Of )

    D → भाग ( Division )

    M → गुणा ( Multiplication )

    A → योग ( Addition )

    S → अन्तर ( Subtraction )

    यहाँ कुछ BODMAS नियम पर आधारित बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQ) दिए गए हैं:

    BODMAS के अनुसार निम्नलिखित में से सही गणना क्या है?
    8+6÷2×3

    (A) 21

    (B) 17

    (C) 22

    (D) 19

    BODMAS नियम का पालन करते हुए इस समीकरण को हल करें: 7+3×(4−2)÷2

    (A) 10

    (B) 12

    (C) 13

    (D) 14

    BODMAS के अनुसार निम्नलिखित में सही उत्तर क्या होगा?
    18÷3×2+5

    (A) 17

    (B) 13

    (C) 16

    (D) 15

    BODMAS का उपयोग करके इस समीकरण को हल करें: 6+(12÷4)×3

    (A) 15

    (B) 21

    (C) 18

    (D) 24

    निम्नलिखित में BODMAS के अनुसार सही हल क्या है?
    10×(6+2)÷4

    (A) 16

    (B) 20

    (C) 14

    (D) 15

    BODMAS नियम को ध्यान में रखते हुए यह समीकरण हल करें: (5+10)÷5+2×4

    (A) 11

    (B) 14

    (C) 12

    (D) 13

  • [MULT03] अपवर्त्य या गुणज (Multiple): लघुत्तम समापवर्त्य निकालने का तरीका

    [MULT03] अपवर्त्य या गुणज (Multiple): लघुत्तम समापवर्त्य निकालने का तरीका

    दो या दो से अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य वह छोटी से छोटी संख्या हैं जो उन संख्याओं से पूरी तरह विभाजित हो जाती हैं।

    जैसे:- 4, 8, 12 का लघुत्तम समापवर्त्य = 2 × 2 × 2 × 3 = 24

    अतः अभीष्ट लघुत्तम समापवर्त्य 24 वह छोटी से छोटी संख्या हैं जो 4, 8, 12 तीनों से पूरी-पूरी तरह विभाजित हो जाती हैं।

    अपवर्त्य या गुणज (Multiple): लघुत्तम समापवर्त्य निकालने का तरीका

    अपवर्त्य या गुणज (Multiple)

    अपवर्त्य या गुणज (Multiple) :- किसी संख्या का अपवर्त्य वे सभी संख्याएँ होती हैं जिसमें उस संख्या से पूर्ण भाग किया जाता हैं।

    3 और 6 संख्या 18 के गुणनखंड है । यहाँ 18, संख्या 3 और 6 का गुणज अथवा अपवर्त्य (Multiple) है। इसी प्रकार 48 = 4 x 12 यह दर्शाता है कि 4 और 12, संख्या 48 के अपवर्तक हैं तथा 48, 4 और 12 का एक अपवर्त्य है। अपवर्त्य को गुणज भी कहते हैं।

    किसी संख्या में प्राकृतिक संख्याओं (1, 2, 3, …… ) से गुणा करने पर उस संख्या के विभिन्न गुणज अथवा अपवर्त्य प्राप्त होते हैं।

    • 2 के गुणज अथवा अपवर्त्य-2, 4, 6, ……
    • 3 का अपवर्त्य = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30
    • 4 का अपवर्त्य = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 27, 32, 36, 40
    • 5 के गुणज अथवा अपवर्त्य-5,10, 15, ……
    • 16 के अपवर्त्य- 16,32,48, 64, …… आदि।

    समापवर्त्य (Common Multiple) की अवधारणा

    संख्याअपवर्त्य
    3
    6
    9    		3,6,9,12,15,18 ……
    6,12,18, ……
    9,18,27, ……

    तीनों संख्याओं में संख्या 18 समान अपवर्त्य है। अतः उपरोक्त संख्या का समापवर्त्य 18 है। संख्याओं के समान अपवर्त्यों को उनका समापवर्त्य कहते हैं।

    उपरोक्त सारणी से,

    • कोई संख्या अपने प्रत्येक अपवर्तक का अपवर्त्य होती है।
    • किसी संख्या का प्रत्येक अपवर्त्य उस संख्या से बड़ा या उसके बराबर होता है।
    • प्रत्येक संख्या स्वयं का एक अपवर्त्य है।
    • किसी संख्या के अपवर्त्यों की संख्या असीमित होती है।

    यह भी जाने-
    किसी भी संख्या में से उसके अंकों का योगफल घटाने पर प्राप्त अन्तर सदैव 9 का अपवर्त्य होता है।
    उदाहरणार्थ कोई एक संख्या 4253 लेते हैं। अब देखते है कि इस संख्या के अंकों का योगफल
    =4+2+5+3=14
    अब संख्या 4253 में से अंकों का योगफल 14 घटाने पर प्राप्त अन्तर
    =4253-14
    =4239
    =9×471
    अतः अंतर 9 का अपवर्त्य है।

    जब आप 8 में 5 का गुणा करते हैं तो गुणनफल 40 प्राप्त होता है।

    यहाँ 8 x 5 = 40 में, 8 गुण्य, 5 गुणक तथा 40 गुणनफल है। 8 व 5 को 40 का गुणनखंड कहते हैं।

    लघुत्तम समापवर्त्य निकालने का तरीका

    • अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा
    • भाग विधि द्वारा

    (a). अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा

    सर्वप्रथम दी गई संख्या को अभाज्य गुणनखण्डों के रूप में व्यक्त करें। फिर इन संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखण्डों के सबसे बड़े घातांकों वाली संख्याओं का प्राप्त गुणनखण्ड ही लघुत्तम समापवर्त्य हैं।

    उदाहरण 1. 32, 64 तथा 128 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए?

    हल:- प्रश्नानुसार,
    32 ⇒ 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁵
    64 ⇒ 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁶
    48 ⇒ 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁴ × 3¹
    लघुत्तम समापवर्त्य = 2, 3 की सबसे बड़े घातांकों वाली संख्याओं का गुणनफल = 2⁶ × 3¹
    लघुत्तम समापवर्त्य = 96

    उदाहरण 2. 12, 48, 72 तथा 120 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए?

    हल:- प्रश्नानुसार,
    12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3¹
    48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁴ × 3¹
    72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3²
    120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 2³ × 3¹ × 5¹
    लघुत्तम समापवर्त्य = 2, 3 तथा 5 की सबसे बड़ी घातों वाली संख्याओं का गुणनफल = 2⁴ × 3² × 5¹
    लघुत्तम समापवर्त्य = 16 × 9 × 5
    लघुत्तम समापवर्त्य = 720
    Ans. 720

    (b). भाग विधि द्वारा

    उदाहरण 3. 24, 48, 96, 192 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए?

    LCM

    लघुत्तम समापवर्त्य = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁶ × 3¹
    लघुत्तम समापवर्त्य = 192

    उदाहरण 4. 32, 56, 78, 120 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए?

    LCM

    लघुत्तम समापवर्त्य = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 7 × 13
    लघुत्तम समापवर्त्य = 32 × 15 × 91
    लघुत्तम समापवर्त्य = 43,680

    भिन्नों का लघुत्तम समापवर्त्य

    भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M.) = अंशों का लघुत्तम समापवर्त्य / हरों का महत्तम समापवर्तक

    उदाहरण 5. 7/9, 14/15 तथा 7/10 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए?

    हल:- प्रश्ननानुसार,
    दी गई भिन्नों का लघुत्तम समापवर्त्य = 7, 14, 7 का लघुत्तम समापवर्त्य / 9, 15, 10 का महत्तम समापवर्तक
    = 14/1
    = 14

    उदाहरण 6. 2/5, 3/4, 1/9 तथा 7/10 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए?

    हल:- प्रश्ननानुसार,
    दी गई भिन्नों का लघुत्तम समापवर्त्य = 2, 3, 1, 7 का लघुत्तम समापवर्त्य / 5, 4, 9, 10 का महत्तम समापवर्तक
    = 42/1
    = 42

    घातांक का लघुत्तम समापवर्त्य

    (a). जब दी गयी संख्याओं का आधार समान हो, तो सर्वाधिक घात वाली संख्या ही दिए गए संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य होगा।

    उदाहरण 7. 5¹, 5², 5⁴, 5⁶ तथा 5¹² का ल स ज्ञात कीजिए?

    हल:- समान आधार पर 5 हैं। तथा अधिकतम घात 5¹² का हैं।
    लघुत्तम समापवर्त्य = 5¹²

    उदाहरण 8. 5⁻¹, 5⁻², 5⁻⁴, 5⁻⁶ तथा 5⁻¹² का ल. स. ज्ञात कीजिए?

    हल:- आधार 5 समान हैं तथा अधिकतम घात 5⁻¹ की हैं।
    लघुत्तम समापवर्त्य = 5⁻¹

    (b). जब आधार समान नहीं हो तथा आधार में कोई उभयनिष्ठ गुणन खण्ड नहीं हो, तो दिए गए संख्याओं का गुणनखण्ड ही लघुत्तम समापवर्त्य होगा।

    उदाहरण 9. 5³ तथा 2³ का लघुत्तम समापवर्त्य = 5³ × 2³

    लघुत्तम समापवर्त्य = 5 × 5 × 5 × 2 × 2 × 2
    लघुत्तम समापवर्त्य = 125 × 8
    लघुत्तम समापवर्त्य = 1000

    दशमलव संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य

    (a). सबसे पहले दशमलव के बाद अधिकतम अंकों वाली संख्या का पता लगाइए।

    (b). यदि दशमलव के बाद अधिकतम दो अंक हो, तो सभी अंकों में 100 से गुणा करके उसे पूर्ण संख्या में बदल देगें।

    अगर दशमलव के बाद अधिकतम तीन, चार या पाँच अंक हो, तो उसमें क्रमशः 1000, 10000 या 100000 से गुणा करके उसे पूर्ण संख्या में बदल देगें।

    (c). प्राप्त पूर्ण संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करेंगें। उसके बाद प्राप्त लघुत्तम समापवर्त्य में 100, 1000, 10000 से गुणा किया गया था। भाग देने के बाद जो संख्या प्राप्त होगी वही दी गई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य होगा।

    उदाहरण 10. 0.12, 4.8, 0.72 तथा 1.20 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए?

    हल:- यहाँ दशमलव के बाद अधिकतम दो अंक हैं। इसलिए सभी संख्याओं को 100 से गुणा करने पर प्राप्त संख्या = 12, 480, 72, 120

    इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य = 1440
    अभीष्ट लघुत्तम समापवर्त्य = 1440/100
    लघुत्तम समापवर्त्य = 14.40

  • [MULT04] अपवर्तक या गुणनखण्ड (Factor): महत्तम समापवर्तक निकालने का तरीका

    [MULT04] अपवर्तक या गुणनखण्ड (Factor): महत्तम समापवर्तक निकालने का तरीका

    दो से अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक वह बड़ी से बड़ी संख्या हैं जिसमें वह सभी संख्याएँ पूरी-पूरी विभाजित हो जाती हैं। जैसे:- 4, 8, 12 का महत्तम समापवर्तक 4 हैं।

    अपवर्तक या गुणनखण्ड (Factor): महत्तम समापवर्तक निकालने का तरीका

    अपवर्तक या गुणनखण्ड (Factor) 

    किसी संख्या का अपवर्तक वे सभी संख्याएँ हैं जो उस संख्या को पूर्णतः विभाजित कर देती हैं। जैसे :-

    42 का अपवर्तक = 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
    48 का अपवर्तक = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

    कोई संख्या जिन-जिन संख्याओं से पूरी-पूरी विभाजित हो जाती है वे संख्याएं उस संख्या की अपवर्तक कहलाती है।

    संख्या अपवर्तक
    2
    8
    15
    70
    84    		1,2
    1,2,4,8
    1,3,5,15
    1,2,5,7,70
    1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84

    समापवर्तक (Common Factor) की अवधारणा

    तीनों संख्याओं में 2, 4 तथा 8 समान अपवर्तक है। इस प्रकार समान अपवर्तक को ही समापवर्तक कहते हैं।
    अतः उपरोक्त संख्या का समापवर्तक 2,4 व 8 है।

    उपर्युक्त सारिणी से,

    • 1 प्रत्येक संख्या का अपवर्तक है।
    • प्रत्येक संख्या स्वयं का अपवर्तक होती है।
    • किसी संख्या का प्रत्येक अपवर्तक उस संख्या का एक पूर्ण विभाजक है।
    • किसी दी हुई संख्या के अपवर्तकों की संख्या सीमित होती है।
    • किसी संख्या का प्रत्येक अपवर्तक उस संख्या से छोटा या उसके बराबर होता है।

    महत्तम समापवर्तक निकालने का तरीका

    • अभाज्य गुणनखण्ड विधि
    • द्वारा भाग विधि द्वारा

    (a). अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा

    सर्वप्रथम दी गई प्रत्येक संख्या को अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में लिखिए।

    उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों की छोटी से छोटी घातों वाले गुणनखण्डों का गुणनफल ही प्राप्त संख्याओं का महत्तम समापवर्तक होगा।

    उदाहरण 1. 8, 36 तथा 72 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?

    हल:- प्रश्ननानुसार,
    8 ⇒ 2 × 2 × 2 = 2³
    36 ⇒ 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 2²
    72 ⇒ 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 2²
    उभयनिष्ट अभाज्य गुणनखण्ड = 2
    महत्तम समापवर्तक = सबसे छोटी घातांकों वाली संख्याओं का गुणनफल = 2²
    महत्तम समापवर्तक = 4

    उदाहरण 2. 48, 36 तथा 72 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?

    हल:- प्रश्नानुसार,
    48 ⇒ 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁴ × 3¹
    36 ⇒ 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²
    72 ⇒ 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3²
    उभयनिष्ट अभाज्य गुणनखण्ड = 2, 3
    महत्तम समापवर्तक = 2, 3 तथा 5 की सबसे छोटी घातों वाली संख्याओं का गुणनफल = 2² × 3¹
    महत्तम समापवर्तक = 4 × 3
    महत्तम समापवर्तक = 12
    Ans. 12

    (b). भाग विधि द्वारा

    माना दो संख्याओं x और y का महत्तम समापवर्तक ज्ञात करना हैं। जबकि (y > x) → y, x से बड़ा हैं। बड़ी संख्याओं में छोटी संख्या से भाग देगें।

    उदाहरण 3. 8, 36 और 72 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?

    महत्तम समापवर्तक

    उदाहरण 4. 48, 36 और 72 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?

    महत्तम समापवर्तक

    भिन्नों का महत्तम समापवर्तक

    भिन्नों का महत्तम समापवर्तक (L.C.M.) = अंशों का महत्तम समावतर्क / हरों का लघुत्तम समापवर्त्य

    उदाहरण 5. 5/6, 5/8, 10/21 तथा 2/3 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?

    हल:- प्रश्ननानुसार,
    दी गई भिन्नों का महत्तम समापवर्तक = 5, 5, 10 और 2 का महत्तम समापवर्तक / 6, 8, 21 और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य
    महत्तम समापवर्तक = 1/168

    उदाहरण 6. 1/7, 2/3, 4/5 तथा 5/7 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए?

    हल:- प्रश्ननानुसार,
    दी गई भिन्नों का महत्तम समापवर्तक = 1, 2, 4 और 5 का महत्तम समापवर्तक / 7, 3, 5 और 7 का लघुत्तम समापवर्त्य
    महत्तम समापवर्तक = 1/105

    घातांक का महत्तम समापवर्तक

    (a). जब दी गयी संख्याओं का आधार समान हो, तो सर्वाधिक घात वाली संख्या ही दिए गए संख्याओं का महत्तम समापवर्तक होगा।

    उदाहरण 7. 7², 7⁹, 7¹⁴ तथा , 7³² का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?

    हल:- समान आधार पर 7 हैं। तथा न्यूनतम घात 7² का हैं।
    महत्तम समापवर्तक = 7²

    उदाहरण 8. 5⁻¹, 5⁻², 5⁻⁴, 5⁻⁶ तथा 5⁻¹² का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?

    हल:- आधार 8 समान हैं तथा न्यूनतम घात 8⁻¹² की हैं।
    महत्तम समापवर्तक = 8⁻¹²

    (b). जब आधार समान नहीं हो तथा आधार में कोई उभयनिष्ठ गुणन खण्ड नहीं हो, तो दिए गए संख्याओं का गुणनखण्ड ही महत्तम समापवर्तक 1 होगा।

    उदाहरण 9. 2³, 4² और 8² का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?

    चूँकि आधार (2) समान हैं इसलिए महत्तम समापवर्तक 1 नहीं होगा। इसका महत्तम समापवर्तक 8 होगा।

    दशमलव संख्याओं का महत्तम समापवर्तक

    (a). सबसे पहले दशमलव के बाद अधिकतम अंकों वाली संख्या का पता लगाइए।

    (b). यदि दशमलव के बाद अधिकतम दो अंक हो, तो सभी अंकों में 100 से गुणा करके उसे पूर्ण संख्या में बदल देगें।

    अगर दशमलव के बाद अधिकतम तीन, चार या पाँच अंक हो, तो उसमें क्रमशः 1000, 10000 या 100000 से गुणा करके उसे पूर्ण संख्या में बदल देगें।

    (c). प्राप्त पूर्ण संख्याओं का महत्तम समापवर्तक ज्ञात करेंगें। उसके बाद प्राप्त महत्तम समापवर्तक में 100, 1000, 10000 से गुणा किया गया था। भाग देने के बाद जो संख्या प्राप्त होगी वही दी गई संख्याओं का महत्तम समापवर्तक होगा।

    उदाहरण10. 0.05, 0.10, तथा 0.025 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?

    हल:- यहाँ दशमलव के बाद अधिकतम तीन अंक हैं। इसलिए सभी संख्याओं को 1000 से गुणा करने पर प्राप्त संख्या = 50, 100, तथा 25

    इन संख्याओं का महत्तम समापवर्तक = 25
    अभीष्ट लघुत्तम समापवर्त्य = 25/1000
    लघुत्तम समापवर्त्य = 0.025

  • [MULT05] गणितीय चिह्न के गुणा से सरलीकरण

    [MULT05] गणितीय चिह्न के गुणा से सरलीकरण

    गणितीय चिह्न के गुणा से सरलीकरण

    ऋण ( – )× ऋण ( – )= धन( + )

    3 -(- 3 ) + 4 = ?

    कोष्ठक के अंदर भी ऋण चिह्न है और बाहर भी ऋण चिह्न है । तब चिह्न का आपस मे गुणा होता है वहा पर धन (+) चिह्न बन जाता है

    3 – (- 3 ) + 4 =  3 + 3 + 4 = 10

    धन ( + )× धन ( + ) = धन( + )

    5 + (4) = ?

    हम धन चिह्न का धन चिह्न से गुणा करते है तब भी धन (+) ही बनता है ।

    5 + (4) = 9

    धन ( + )× ऋण ( – ) = ऋण ( – )

    5 + (-4) =?

    अब हमारे पास दो चिह्न साथ में है जो कि एक धन (+) ओर एक  ऋण (-) चिह्न है ।   तब इनका आपस मे गुणा करने पर ऋण (-) चिह्न बनता है ।

    = 5 – 4 = 1

    ऋण ( – ) × धन( + ) = ऋण ( – )

    11 – (+3 ) =  ?

    इस उदाहरण में पहले धन चिह्न था फिर ऋण चिह्न था अगर इसका ठीक उलट हो तो जैसे पहले ऋण चिह्न फिर धन चिह्न तब भी आपस मे गुणा करने पर हमें ऋण चिह्न ही मिलेगा ।

    11 – (+3 ) = 8

  • [MULT07] चर राशि से समीकरण बनाकर सरलीकरण

    चर संख्या : चर संख्या वह संख्या होती है जिसका मान बदल सकता है या जो किसी निश्चित मान को प्रदर्शित नहीं करती है।

    उदाहरण:

    • x, y, z जैसी संख्याएँ चर संख्याएँ हैं, क्योंकि इनका मान बदल सकता है।
    • समीकरण 2x+3=7 में x एक चर संख्या है, जिसका मान समीकरण के समाधान से प्राप्त किया जा सकता है।

    समीकरण : ऐसे कथन जिनमें चरांक शामिल हों और दोनों पक्ष बराबर हों, समीकरण कहलाते हैं। इसमें बराबर के बायीं ओर के समस्त पदों को समीकरण का “बायाँ पक्ष” और दायें ओर के समस्त पदों को समीकरण का “दायाँ पक्ष” कहते हैं।

    कथन को गणितीय व्यंजक के रूप में लिखना और हल करना

    निम्नलिखित कथनों में चर संख्या का प्रयोग करके समीकरण में बदलिए-

    • किसी संख्या के दुगुने में से 3 कम करने पर 17 आता है।
    • किसी संख्या का छठा भाग 7 है।
    • किसी संख्या एवं 5 का अन्तर 8 है।
    • किसी संख्या में 7 का गुणा कर 5 घटाने से 9 बचता है।
    • एक वृत्त का व्यास उसकी त्रिज्या से दोगुना है।
    • एक आयत का क्षेत्रफल उसकी लम्बाई एवं चौड़ाई के गुणनफल के बराबर है।
    • विक्रय मूल्य, क्रय मूल्य तथा लाभ के योगफल के बराबर होता है।
    • किसी संख्या में दूसरी संख्या को जोड़ा गया है।
    • किसी संख्या में से 7 निकाले गए।
    • मिश्रधन, मूलधन तथा ब्याज के योगफल के बराबर होता है।

    किसी संख्या का दोगुना 10 है संख्या क्या होगी?

    किसी संख्या के दुगने में 35 जोड़ा जाए तब 85 प्राप्त होता है। वह संख्या क्या होगी ?

    25 पैसे के कितने सिक्के 10 रु. के बराबर होगें ?

    उमा के पास कुछ मीटर कपड़ा है। उसमें से 2-2 मीटर कपड़े के वह 4 पर्दे बना देती है उसके बाद भी उसके पास 5 मीटर कपड़े बचे रहते है तब प्रारंभ में उसके पास कितने मीटर कपड़े थे ?

    किसी संख्या के आधे में से यदि 4 घटाये तब 6 प्राप्त होता है संख्या क्या होगी ?

  • [MCQ02] लघुत्तम समापवर्तक एवं महत्तम समापवर्तक के प्रश्न

    महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्तक के सूत्र :

    भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M) = अंशों का ल.स./हरों का म.स.
    भिन्नों का महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) = अंशों का म.स./हरों का ल.स.
    ल.स × म.स. = पहली संख्या × दूसरी संख्या
    ल.स. = (पहली संख्या × दूसरी संख्या) ÷ म.स.
    म.स. = (पहली संख्या × दूसरी संख्या) ÷ ल.स.
    पहली संख्या = (ल.स. × म.स) ÷ दूसरी संख्या
    दूसरी संख्या = (ल.स. × म.स) ÷ पहली संख्या

    1. गुणज (Multiples):

    12 का तीसरा गुणज क्या है?

    • a) 24
    • b) 36
    • c) 48
    • d) 60

    उत्तर: b) 36

    निम्नलिखित में से कौन-सा 7 का गुणज है?

    • a) 35
    • b) 25
    • c) 21
    • d) 19

    उत्तर: a) 35 और c) 21

    यदि x 4 का गुणज है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही है?

    • a) x का अंत 4 या 8 से होगा।
    • b) x का अंतिम अंक 0 या 5 होना चाहिए।
    • c) x का अंतिम अंक सम होना चाहिए।
    • d) x को 4 से विभाजित किया जा सकता है।

    उत्तर: d) x को 4 से विभाजित किया जा सकता है।

    निम्नलिखित में से कौन-सा 9 का गुणज नहीं है?

    • a) 27
    • b) 45
    • c) 54
    • d) 50

    उत्तर: d) 50

    15 का पाँचवां गुणज क्या है?

    • a) 60
    • b) 75
    • c) 90
    • d) 105

    उत्तर: d) 105

    2. गुणनखण्ड (Factors):

    18 के गुणनखण्डों का समुच्चय क्या है?

    • a) 1, 2, 3, 6, 9, 18
    • b) 2, 3, 4, 6, 12, 18
    • c) 1, 3, 6, 9, 12, 18
    • d) 1, 2, 3, 5, 9, 18

    उत्तर: a) 1, 2, 3, 6, 9, 18

    निम्नलिखित में से कौन-सा 24 का गुणनखण्ड नहीं है?

    • a) 2
    • b) 3
    • c) 5
    • d) 8

    उत्तर: c) 5

    48 के गुणनखण्डों की संख्या कितनी है?

    • a) 8
    • b) 10
    • c) 12
    • d) 6

    उत्तर: c) 12

    निम्नलिखित में से कौन-सा 36 का गुणनखण्ड है?

    • a) 5
    • b) 6
    • c) 10
    • d) 15

    उत्तर: b) 6

    एक संख्या का सबसे बड़ा गुणनखण्ड क्या होता है?

    • a) 1
    • b) वह संख्या स्वयं
    • c) 2
    • d) सबसे छोटी अभाज्य संख्या

    उत्तर: b) वह संख्या स्वयं

    3. गुणज और गुणनखण्ड का मिश्रण:

    यदि किसी संख्या के सभी गुणनखण्डों का योग निकालना हो, तो उसका सबसे बड़ा गुणज क्या होगा?

    • a) 1
    • b) सबसे छोटी अभाज्य संख्या
    • c) वह संख्या स्वयं
    • d) 2 से गुणा की गई संख्या

    उत्तर: c) वह संख्या स्वयं

    निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या 8 के गुणज और 16 के गुणनखण्ड दोनों है?

    • a) 16
    • b) 8
    • c) 4
    • d) 2

    उत्तर: a) 16

    किसी संख्या का पहला गुणज और सबसे छोटा गुणनखण्ड क्या होता है?

    • a) वह संख्या स्वयं
    • b) 0
    • c) 1
    • d) 2

    उत्तर: c) 1

    45 के गुणनखण्ड क्या हैं?

    • a) 1, 3, 5, 9, 15, 45
    • b) 1, 5, 10, 15, 45
    • c) 1, 5, 9, 15, 45
    • d) 1, 3, 5, 9, 15

    उत्तर: a) 1, 3, 5, 9, 15, 45

    लघुत्तम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्तक पर आधारित प्रश्न

    दो संख्याओं x एवं y का लघुत्तम समापवर्त्य a हैं x तथा y का महत्तम समापवर्तक होगा?

    A. xy
    B. a/xy
    C. xy/a
    D. ax/y

    हल:- प्रश्नानुसार,
    महत्तम समापवर्तक = (दोनों संख्याओं का गुणनफल)/(लघुत्तम समापवर्त्य)
    महत्तम समापवर्तक = xy/a

    368/437 का सरलतम रूप क्या है?

    A. 12/17
    B. 16/19
    C. 9/14
    D. 18/23

    हल:- प्रश्नानुसार,
    HCF = 23
    368 / 23 = 16
    437 / 23 = 19
    सरलतम रूप 16/19 होगा।
    Ans. 16/19

    वह छोटी से छोटी संख्या कौन सी हैं, जो 4, 6, 8, 9, 12, से पूर्णतः विभाजित हो?

    A. 18
    B. 32
    C. 68
    D. 72

    हल:- 4, 6, 8, 9, 12, का LCM = 72
    अतः वह छोटी से छोटी संख्या 72 होंगी।
    Ans. 72

    5⁻¹¹, 5⁻⁹, 5⁻¹⁶, 5⁻¹⁰ का लघुत्तम समावतर्क एवं महत्तम समावतर्क निकालिए?

    A. 5⁻¹⁶
    B. 5⁻¹¹
    C. 5⁻⁹
    D. 5⁻¹⁰

    हल:- प्रश्ननानुसार,
    सभी संख्याओं का आधार 5 हैं
    तथा -9 > -10 > -11 > -16
    LCM = 5⁻⁹
    HCF = 5⁻¹⁶
    Ans. 5⁻¹⁶

    दो संख्याओं के L.C.M. और H.C.F. क्रमशः 48, 8, हैं यदि इनमे से एक संख्या 24 हैं, तो दूसरी संख्या क्या होगी?

    A. 16
    B. 8
    C. 32
    D. 18

    हल:- प्रश्ननानुसार,
    L.C.M × H.C.F = प्रथम संख्या × द्धितीय संख्या
    24 × X = 48 × 8
    X = 48 × 8 / 24
    X = 16
    Ans. 16

    दो संख्याओं का L.C.M. 1920 तथा H.C.F. 16 हैं, यदि इनमें से एक संख्या 128 हो तो दूसरी संख्या क्या होगी?

    A. 160
    B. 832
    C. 240
    D. 512

    हल:- प्रश्ननानुसार,
    माना, दूसरी संख्या = x
    L.C.M × H.C.F = प्रथम संख्या × द्धितीय संख्या
    x × 128 = 1920 × 16
    x = 1920 × 16/128
    x = 240
    अतः दूसरी संख्या = 240
    Ans. 240

    वह छोटी से छोटी संख्या कौन सी हैं जिसे 14, 21, 28, 35 से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में 5 शेष बचे?

    A. 165
    B. 285
    C. 425
    D. 350

    हल:- प्रश्ननानुसार,
    14, 21, 28, 35 का LCM = 420
    420 + 5 = 425
    Ans. 425

    a,b,c एक वृताकार स्टेडियम में उसके चारों और एक ही बिंदु से एक साथ दौड़ना प्रारंभ करते हैं तथा क्रमशः 28, 24, 32 सेकण्ड में एक चक्कर पूरा करते हैं वे तीनों कितने समय बाद प्रारम्भिक बिंदु पर फिर से मिलेंगे?

    A. 16/5
    B. 8/3
    C. 24/5
    D. 3/7

    हल:- प्रश्ननानुसार,
    L.C.M. = 288
    288/60
    24/5
    Ans. 24/5

    तीन विभिन्न चौराहों पर आवागमन सूचक वृतिया क्रमशः 48 सेकेण्ड, 72 सेकेंड, और 108 सेकेंड के बाद बदलती हैं यदि वे एक साथ अभी बदली हो तो फिर कितने समय बाद बदलेगी?

    A. 165
    B. 285
    C. 432
    D. 350

    हल:- प्रश्ननानुसार,
    48, 72, 108 का L.C.M. = 432
    Ans. 432

    3 प्रकार के तारों की लंबाई क्रमशः 4672, 3869, 2993, मीटर हैं, एक अन्य प्रकार के तार की अधिकतम लम्बाई क्या है जिससे तीनों प्रकार के तारों की लंबाई को पूर्णतः नापा जा सकें।

    A. 16
    B. 28
    C. 43
    D. 73

    हल:- प्रश्ननानुसार,
    4672, 3869, 2993 का HCF = 73
    Ans. 73

    दो संख्याओं का लासा 495 है तथा उनका महत्तम समापवर्तक 5 है यदि उन संख्याओं का योग 100 हो तो उन का अंतर कितना होगा?

    A. 5
    B. 10
    C. 15
    D. 20

    हल:- प्रश्ननानुसार,
    माना की पहली संख्या = a
    दूसरी संख्या = b
    सूत्र – प्रथम संख्या × दूसरी संख्या = ल.स × म.स
    a × b = 495 × 5
    ab = 2475
    प्रश्ननानुसार,
    a + b = 100
    सूत्र – (a – b)² = ( a + b )² – 4ab
    (100)² – 4 × 2475
    10000 – 9900
    (a – b)² = 100
    (a – b) = √100
    (a – b) = 10
    Ans. 10

    वह बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 29 30 और 3250 में भाग देने पर क्रमशः 7 और 11 शेष बचे?

    A. 79
    B. 59
    C. 89
    D. 69

    हल:- प्रश्ननानुसार,
    2930 – 7 = 2923 और
    3250 – 11 = 3239
    इसीलिए 2923 और 3239 का म.स.प. = 79
    इसीलिए वह संख्या 79 हैं।
    Ans. 79

    वह छोटी से छोटी संख्या निकालें जिसे 5, 6, 7, 8 से भाग देने पर 3 शेष बचता है परन्तु 9 से भाग देने पर कोई शेष नही बचता?

    A. 1560
    B. 1683
    C. 1820
    D. 1960

    हल :- प्रश्ननानुसार,
    5, 6, 7, 8 का ल.स. = 840
    अतः वाँछित संख्या = (840 × n + 3) होगी।
    जहाँ n कोई प्राकृत संख्या हैं।
    n का न्यूनतम मान, जिससे (840 × n + 3), 9 से विभाज्य हो,
    वह न्यूनतम मान n = 2 होगा।
    अभीष्ट संख्या = 840 × 2 + 3
    अभीष्ट संख्या = 1683
    Ans. 1683

    वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करें जो 10, 20, 30, 40 तथा 50 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 7 शेष बचे?

    A. 607
    B. 709
    C. 504
    D. 810

    हल:- प्रश्ननानुसार,
    सूत्र :- वह छोटी से छोटी संख्या बताये जो x, y, z तथा p से भाग देने पर प्रत्येक दशा में सामान शेष (k) बचे तो संख्या = ल.स. (x, y, z, p) + k )
    अभीष्ट संख्या = ल.स. (10, 20, 30, 40, 50) + 7
    = 600 + 7
    = 607
    Ans. 607

    चार अंक की सबसे छोटी संख्या ज्ञात करे जो 2, 3, 4, 5, 6 और 7 से पूर्ण रूप से भाज्य हो?

    A. 1270
    B. 1260
    C. 1570
    D. 1470

    हल:- प्रश्ननानुसार,
    सबसे पहले हम 2, 3, 4, 5, 6 और 7 का ल.स. निकालेंगे
    ल.स. (2, 3, 4, 5, 6 और 7) = 420
    चूँकि हमें 4 अंक की संख्या चाहिए अतः अभीष्ट संख्या अवश्य ही 420 का गुणक होगा.
    अभीष्ट संख्या = 420 x 3
    अभीष्ट संख्या = 1260
    Ans. 1260

    दो संख्याओं का गुणनफल 7168 है एवं उनका म0 स0 16 है तो संख्याएं क्या है?

    A. 111, 11
    B. 124, 13
    C. 132, 7
    D. 112, 64

    हल:- प्रश्ननानुसार,
    माना कि संख्याएं 16a तथा 16b हैं तथा परस्पर अभाज्य भी हैं
    अत: 16a x 16b = 7168
    = 28
    अब वे जोडे देखते हैं जिनका गुणनफल 28 होता है
    वे हैं (28,1) तथा (7,4)
    अत: संख्याएं हो सकती हैं (448 , 16)
    तथा (112 , 64)
    Ans. 112, 64

    दो व्यजकों का महत्तम समापवर्तक (x + 2) और लघुत्तम समापवर्तक (x + 2) (x – 1) (x² – 2x + 4) हैं यदि उनमें से एक व्यंजक (x² – 2x + 4) हो, तो दूसरा व्यंजक होगा?

    A. (x + 2)
    B. (x – 1)
    C. (x + 2)(x – 1)
    D. (x + 2)² (x – 1)

    हल:- प्रश्नानुसार,
    दूसरा व्यंजक = (ल.स.× म.स.)/प्रथम व्यंजक
    [(x + 2)(x – 1)(x² – 2x + 4) × (x + 2)]/(x² – 2x + 4)
    (x + 2)(x – 1)(x + 2)
    (x + 2)² (x – 1)
    Ans. (x + 2)² (x – 1)

    दो संख्याओं का म. स. 16 तथा ल. स. 160 हैं यदि इनमें से एक संख्या 32 हो, तो दूसरी संख्या होंगी?

    A. 48
    B. 80
    C. 96
    D. 112

    हल:- प्रश्नानुसार,
    दूसरी संख्या = (ल.स.× म.स.)/पहली संख्या
    दूसरी संख्या = (16 × 160)/32
    दूसरी संख्या = 80
    Ans. 80

    दो संख्याओं का ल. स. 225 हैं तथा उनका म. स. 5 हैं यदि एक संख्या 25 हो, तो दूसरी संख्या होगी?

    A. 5
    B. 45
    C. 35
    D. 225

    हल:- प्रश्नानुसार,
    दूसरी संख्या = (ल.स.× म.स.)/पहली संख्या
    दूसरी संख्या = (225 × 5)/25
    दूसरी संख्या = 9 × 5
    दूसरी संख्या = 45
    Ans. 45

    दो संख्याओं का ल. स 864 हैं और उनका म. स 144 हैं यदि उनमें से एक संख्या 288 हो, तो दूसरी संख्या होंगी?

    A. 567
    B. 255
    C. 432
    D. 225

    हल:- प्रश्नानुसार,
    दूसरी संख्या = (ल.स.× म.स.)/पहली संख्या
    दूसरी संख्या = (864 × 144)/288
    दूसरी संख्या = 144 × 3
    दूसरी संख्या = 432
    Ans. 432

    13 का वह सबसे छोटा गुणज जिसे 4, 5, 6, 7 और 8 से भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में 2 शेष बचें?

    A. 2522
    B. 2552
    C. 4323
    D. 2225

    हल:- प्रश्नानुसार,
    4, 5, 6, 7 और 8 लघुत्तम समापवर्तक = 840
    संख्या = (840 × n + 2), होगी।
    जहाँ n कोई प्राकृतिक संख्या हैं।
    n का न्यूनतम मान जिससे (840 × n + 2), 13 से विभाज्य हो।
    न्यूनतम मान n = 3 होगा।
    अभीष्ट संख्या = 840 × 3 + 2
    अभीष्ट संख्या = 2520 + 2
    अभीष्ट संख्या = 2,522
    Ans. 2,522

    तीन विभिन्न चौराहों पर आवागमन सूचक बत्तियाँ क्रमशः 48 सेकेण्ड, 72 सेकेंड, और 108 सेकेंड के बाद बदलती हैं यदि वे 8 :20 : 00 बजे बदली हो तो फिर कितने समय बाद बदलेगी?

    A. 8 : 27 : 27
    B. 8 : 27 : 32
    C. 8 : 27 : 12
    D. 8 : 27 : 18

    हल:- प्रश्नानुसार,
    पुनः बत्तियों का साथ बदलने का समय
    48, 72, और 108 का L.C.M. = 432
    अर्थात 7 मिनिट 12 सेकेण्ड
    पुनः बत्तियाँ बदलने में परिवर्तन होगा = 8 : 27 : 12
    Ans. 8 : 27 : 12

    एक मंदिर में 6 घण्टियाँ लगी हुई हैं, जिनमें से वे क्रमशः 4 सेकेण्ड, 6 सेकेण्ड, 8 सेकेण्ड, 20 सेकेण्ड, और 12 सेकेंड और 18 सेकेण्ड में बजती हैं यदि वे एक साथ अभी बजी हो तो फिर कितने समय बाद बजेगी?

    A. 120
    B. 140
    C. 180
    D. 220

    हल:- प्रश्नानुसार,
    एक मंदिर में घण्टियाँ लगी हैं = 6
    4, 6, 8, 20, 12, 18 का L.C.M. = 180
    अतः 180 सेकेण्ड के बाद पुनः मंदिर में घण्टियाँ बजेगी।

    एक मंदिर में 6 घण्टियाँ लगी हुई हैं, जिनमें से वे क्रमशः 10 सेकेण्ड, 12 सेकेण्ड, 15 सेकेण्ड, 20 सेकेण्ड, और 25 सेकेंड और 30 के अंतराल पर बजती हैं यदि वे एक साथ अभी  बजी हो तो फिर कितने समय बाद बजेगी?

    A. 150
    B. 200
    C. 250
    D. 300

    हल:- प्रश्नानुसार,
    एक मंदिर में घण्टियाँ लगी हैं = 6
    10, 12, 15, 20, 25, 30 का L.C.M. = 300
    अतः 300 सेकेण्ड के बाद पुनः मंदिर में घण्टियाँ बजेगी।

    लघुत्तम समापवर्त्य पर आधारित प्रश्न

    Q.1 12, 24, 48 का गुणनखण्ड विधि से लघुत्तम समापवर्त्य निकालिए?
    A. 12
    B. 28
    C. 36
    D. 48

    हल:- प्रश्नानुसार,
    12 = 2 × 2 × 3
    24 = 2 × 2 × 2 × 3
    48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
    L.C.M. = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
    L.C.M. = 48
    Ans. 48

    Q.2 15, 30, 60 का गुणनखण्ड विधि से लघुत्तम समापवर्त्य निकालिए?
    A. 12
    B. 28
    C. 36
    D. 60

    हल:- प्रश्नानुसार,
    15 = 3 × 5
    30 = 2 × 3 × 5
    60 = 2 × 2 × 3 × 5
    L.C.M. = 2 × 2 × 3 × 5
    L.C.M. = 15 × 4
    L.C.M. = 60
    Ans. 60

    Q.3 16, 64, 128 का गुणनखण्ड विधि से लघुत्तम समापवर्त्य निकालिए?
    A. 16
    B. 32
    C. 64
    D. 128

    हल:- प्रश्नानुसार,
    16 = 2 × 2 × 2 × 2
    64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
    128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
    L.C.M. = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
    L.C.M. = 128
    Ans. 128

    Q.4 24, 36, 40 का LCM निकालिए?
    A. 430
    B. 360
    C. 420
    D. 520

    हल:- प्रश्ननानुसार,
    24, 36, 40 का महत्तम समापवर्तक
    24 = 2 × 2 × 2 × 3
    36 = 2 × 2 × 3 × 3
    40 = 2 × 2 × 2 × 5
    LCM = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
    LCM = 360
    Ans. 360

    Q.5 66, 75, 130 का लघुत्तम समापवर्तक निकालिए?
    A. 20450
    B. 21450
    C. 22450
    D. 23450

    हल:- प्रश्नानुसार,
    66, 75, 130 का लघुत्तम समापवर्तक
    66 = 2 × 3 × 11
    75 = 3 × 5 × 5
    130 = 2 × 5 × 13
    लघुत्तम समापवर्तक = 2 × 3 × 5 × 5 × 11 × 13
    लघुत्तम समापवर्तक = 21450
    Ans. 21450

    Q.6 9, 30, 27, 15 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
    A. 270
    B. 240
    C. 320
    D. 120

    हल:- प्रश्नानुसार,
    9, 30, 27, 15 का लघुत्तम समापवर्तक
    9 = 3 × 3
    30 = 2 × 3 × 5
    27 = 3 × 3 × 3
    15 = 3 × 5
    अभीष्ट लघुत्तम समापवर्तक = 2 × 3 × 3 × 3 × 5
    लघुत्तम समापवर्तक = 270
    Ans. 270

    Q.7 36 और 84 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
    A. 270
    B. 242
    C. 252
    D. 320

    36 = 2 × 2 × 3 × 3
    84 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7
    अभीष्ट लघुत्तम समापवर्तक = 2 × 2 × 3 × 3 × 7
    लघुत्तम समापवर्तक = 252
    Ans. 252

    Q.8 3/4, 6/7, 8/9 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
    A. 24
    B. 3
    C. 3/56
    D. 8

    हल:- प्रश्नानुसार,
    3/4, 6/7, 8/9 का लघुत्तम समापवर्तक
    भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M.) = अंशों का लघुत्तम समावतर्क / हर का महत्तम समावतर्क
    लघुत्तम समापवर्तक = (3, 6, और 8 का ल. स.)/(4, 6, और 7 का म. स.)
    लघुत्तम समापवर्तक = 24/1
    लघुत्तम समापवर्तक = 24
    Ans. 24

    Q.8 5/7, 7/8 एवं 8/9 का लघुत्तम समापवर्तक हैं?
    A. 120
    B. 280
    C. 360
    D. 480

    हल:- प्रश्नानुसार,
    5/7, 7/8 एवं 8/9 का लघुत्तम समापवर्तक
    भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M.) = अंशों का लघुत्तम समावतर्क / हर का महत्तम समावतर्क
    लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M.) = (5, 7, 8 का ल. स.)/(7,8,9 का म.स.)
    लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M.) = 280
    Ans. 280

    Q.9 1/3, 5/6, 2/9, 4/27 का लघुत्तम समापवर्तक हैं?
    A. 10/27
    B. 20/3
    C. 20/27
    D. 1/54

    हल:- प्रश्नानुसार,
    1/3, 5/6, 2/9, 4/27 का लघुत्तम समापवर्तक
    भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M.) = अंशों का लघुत्तम समावतर्क / हर का महत्तम समावतर्क
    अभीष्ट ल.स. = 1, 5, 2 तथा 4 का ल.स./3, 6, 9 तथा 27 का म.स.
    अभीष्ट ल.स. = 20/3
    Ans. 20/3

    Q.10 छोटे से छोटा वह भिन्न जो 6/7, 5/14, 10/21 से पुर्णतः विभक्त हो जाए हैं?
    A. 30/98
    B. 60/90
    C. 30/7
    D. 60/147

    हल:- प्रश्नानुसार,
    भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M.) = अंशों का लघुत्तम समावतर्क / हर का महत्तम समावतर्क
    अभीष्ट ल. स. = (6,5,10 का ल. स.)/(7,14,21 का म.स.)
    30/7
    Ans. 30/7

    Q.11 0.9, 0.18, 3.6, 7.2, 0.144 का लघुत्तम समापवर्तक क्या हैं?
    A. 1.44
    B. 7.2
    C. 12.96
    D. 18.32

    हल:- प्रश्नानुसार,
    0.9, 0.18, 3.6, 7.2, 0.144
    दशमलव के बाद अधिकतम तीन अंक हैं।
    इसलिए सभी संख्याओं को 1000 से गुणा करने पर प्राप्त संख्या
    = 900, 180, 3600, 7200 तथा 144
    इन संख्याओं का ल. स. = 7200
    अभीष्ट ल. स. = 7200/100
    लघुत्तम समापवर्तक = 7.2
    Ans. 7.2

    Q.12 x² + xy + y² और x³ – y³ का L.C. M. होगा?
    A. x – y
    B. x² – y²
    C. x³ – y³
    D. x² + xy + y²

    हल:- प्रश्नानुसार,
    x² + xy + y² =
    x³ – y³ = (x – y)(x² + xy + y²)
    अभीष्ट L.C.M. = (x – y) (x² + xy + y² )
    Ans. x³ – y³

    Q.13 4⁷, 4⁵, 4⁶, 4⁴, L.C.M. ज्ञात कीजिए?
    A. 4⁵
    B. 4⁷
    C. 4⁶
    D. 4⁴

    हल:- सभी संख्याओं का आधार 4 हैं। तथा अधिकतम घात 4⁷ का हैं।
    लघुत्तम समापवर्त्य = 5¹²
    Ans. 4⁷

    Q.14 10 a²bc, 15 abc², 20 a²b²c का लघुत्तम समापवर्तक क्या हैं?
    A. 60a²b²c²
    B. 40ab²c²
    C. 70a²b²c
    D. 90abc²

    हल:- प्रश्नानुसार,
    10 a²bc = 5×2×a²×b×c
    15 abc²= 5×3×a×b×c²
    20 a²b²c = 5×2²×a²×b²×c
    L.C.M. = 5×2²×3×a²×b×c
    L.C.M. = 60a²b²c²
    Ans. 60a²b²c²

    Q.15 8(x³−x) और 4(x³ −1) का लघुत्तम समापवर्तक होगा?
    A. 4 (x²−1)(x+1)
    B. 8x (x²−1)(x²+x+1)
    C. 4 (x²−1)
    D. 8(x²−1)(x²+x+3)

    हल:- प्रश्नानुसार,
    8(x³−x) = 2³ × x × (x – 1)(x + 1)
    4(x³ −1) = 2² × (x – 1)(x² + x + 1)
    लघुत्तम समापवर्तक = 2³ × x × (x – 1)(x + 1) (x² + x + 1)
    लघुत्तम समापवर्तक = 8x (x – 1)(x² + x + 1)

    महत्तम समापवर्तक पर आधारित प्रश्न

    Q.16 18, 42, 102 का महत्तम समापवर्तक निकालिए?
    A. 12
    B. 2
    C. 6
    D. 8

    हल:- प्रश्नानुसार,
    18 = 2 × 3 × 3
    42 = 2 × 3 × 7
    102 = 2 × 3 × 17
    उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 हैं।
    अभीष्ट महत्तम समापवर्तक = 2 × 3
    HCF = 6
    Ans. 6

    Q.17 60, 45, 180, 24, का HCF निकालिये?
    A. 2
    B. 3
    C. 5
    D. 8

    हल:- प्रश्नानुसार,
    60 = 2 × 2 × 3 × 5
    45 = 3 × 3 × 5
    180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
    24 = 2 × 2 × 2 × 3
    उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 3 हैं।
    अभीष्ट महत्तम समापवर्तक = 3
    Ans. 3

    Q.18 923, 949 का HCF निकालिए?
    A. 12
    B. 13
    C. 16
    D. 18

    हल:- प्रश्नानुसार,
    923 = 13 × 71
    949 = 13 × 73
    उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 13 हैं।
    अभीष्ट महत्तम समापवर्तक = 13
    Ans. 13

    Q.19 36 और 84 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
    A. 4
    B. 6
    C. 12
    D. 18

    हल:- प्रश्नानुसार,
    36 और 84 का महत्तम समापवर्तक
    36 = 2 × 2 × 3 × 3
    84 = 2 × 2 × 3 × 7
    उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 2 तथा 3 हैं।
    अभीष्ट म.स. = 2 × 2 × 3
    अभीष्ट म.स. = 12
    Ans. 12

    Q.20 216, 288 और 720 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
    A. 120
    B. 280
    C. 360
    D. 480

    हल:- प्रश्नानुसार,
    216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
    288 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
    720 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
    उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 हैं।
    अभीष्ट महत्तम समापवर्तक = (2 × 2 × 2 × 3 × 3)
    महत्तम समापवर्तक = 72
    Ans. 72

    Q.21 9/10, 12/25, 18/35, 21/40 का महत्तम समापवर्तक निकालिए?
    A. 12/700
    B. 28/3200
    C. 6/1400
    D. 48/4800

    हल:- HCF = 9, 12, 18, 21
    = 2 × 3
    = 6
    LCM = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7
    LCM = 1400
    HCF = अंश का महत्तम समावतर्क / हर का लघुत्तम समावतर्क
    HCF = 6/1400
    Ans. 6/1400

    Q.22 x² – 9 और x² – 6x + 9 का महत्तम समापवर्तक हैं?
    A. x – 3
    B. x + 3
    C. x + 2
    D. x – 2

    हल:- प्रश्नानुसार,
    x² – 9 = (x – 3)(x – 3)
    x² – 6x + 9 = x² – 3x – 3x + 9
    x(x – 3) – 3(x- 3)
    (x – 3)(x – 3)
    अभीष्ट महत्तम समापवर्तक = (x – 3)
    Ans. (x – 3)

    Q.23 2.4, 0.36 और 7.2 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
    A. 12
    B. 120
    C. 1.2
    D. 0.12

    हल:- प्रश्नानुसार,
    2.4, 0.36, 7.2
    दशमलव के बाद अधिकतम दो अंक हैं।
    इसलिए सभी संख्याओं को 100 से गुणा करने पर प्राप्त
    संख्या = 240, 36, तथा 720
    इन संख्याओं का ल. स. = 12
    अभीष्ट ल. स. = 12/100
    लघुत्तम समापवर्तक = 0.12
    Ans. 0.12

    Q.24 7⁸, 7⁶, 7⁵, 7¹⁰ महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
    A. 7⁸
    B. 7⁷
    C. 7⁵
    D. 7¹⁰

    हल:- सभी संख्याओं का आधार 7 हैं। तथा सबसे छोटी घात 7⁵ का हैं।
    लघुत्तम समापवर्त्य = 7⁵
    Ans. 7⁵

    Q.25 2.4, 0.36 तथा 7.2 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
    A. 12
    B. 120
    C. 12.9
    D. 15.7

    हल:- प्रश्नानुसार,
    चूंकि दशमलव के बाद अधिकतम दो अंक हैं,
    इसलिए सभी संख्याओं को 100 से गुणा करने पर प्राप्त संख्या = 240, 36 तथा 720 होंगे।
    240 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5
    36 = 2 × 2 × 3 × 3
    720 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
    240, 36, 720 का म.स. = 2 × 2 3
    240, 36, 720 का म.स. = 12
    अभीष्ट म.स. = 12/100
    अभीष्ट म.स. = 0.12
    Ans. 0.12

    Q.26 यदि (x – a), (x² – x – 6) और (x² + 3x – 18) का महत्तम समापवर्तक हैं, तो a का मान होगा?
    A. 2
    B. 4
    C. 6
    D. 8

    हल:- प्रश्नानुसार,
    (x² – x – 6) = (x² – x – 6)
    (x² – x – 6) = x² – 3x + 2x – 6
    (x² – x – 6) = x(x – 3) + 2(x – 3)
    (x² – x – 6) = (x – 3)(x + 3)
    (x² + 3x – 18) = (x² + 3x – 18)
    (x² + 3x – 18) = x² + 6x – 3x – 18
    (x² + 3x – 18) = x (x + 6) – 3(x + 6)
    (x² + 3x – 18) = (x – 3)(x + 6)
    म.स. = 1 = (x – 3)
    म.स. = 1 = (x – a)
    x – 3 = x – a
    x – x – a = – 3
    – a = – 3
    a = 3
    Ans. 3

    Q.27 1295/1591 को जब निम्नतम पद में से घटाया जाए तो संख्या प्राप्त होगी?
    A. 35/37
    B. 37/43
    C. 35/43
    D. 43/35

    हल:- प्रश्नानुसार,
    1295 और 1591 महत्तम समापवर्तक = 37
    (1295÷37)/(1591÷37)
    Ans. 35/43

    Q.28 a²−1, a³−1 और 8a³−8a का महत्तम समापवर्तक हैं?
    A. a + 1
    B. a – 1
    C. a² + 1
    D. a² – 1

    हल:- प्रश्नानुसार,
    a²−1 = (a + 1)(a – 1)
    a³−1 = (a – 1)(a² + a +1)
    8a³−8a = 8a (a -1)(a² + a +1)
    महत्तम समापवर्तक = (a – 1)
    Ans. a – 1