गुणज एवं गुणनखण्ड

अपवर्त्य (गुणज)-

3 और 6 संख्या 18 के गुणनखंड है । इसे हम इस प्रकार भी कहते हैं कि यहाँ 18, संख्या 3 और 6 का गुणज अथवा अपवर्त्य (Multiple) है।

इसी प्रकार 48 = 4 x 12 यह दर्शाता है कि 4 और 12, संख्या 48 के अपवर्तक हैं तथा 48, 4 और 12 का एक
अपवर्त्य है। अपवर्त्य को गुणज भी कहते हैं।
किसी संख्या में प्राकृतिक संख्याओं (1, 2, 3, …… ) से गुणा करने पर उस संख्या के विभिन्न गुणज अथवा अपवर्त्य प्राप्त होते हैं।
2 के गुणज अथवा अपवर्त्य-2, 4, 6, ……
5 के गुणज अथवा अपवर्त्य-5,10, 15, ……
16 के अपवर्त्य- 16,32,48, 64, …… आदि।

संख्या	अपवर्त्य
3 6 9	3,6,9,12,15,18 …… 6,12,18, …… 9,18,27, ……

तीनों संख्याओं के कौन-कौन से अपवर्त्य समान हैं?

तीनों संख्याओं में संख्या 18 समान अपवर्त्य है।
अतः उपरोक्त संख्या का समापवर्त्य 18 है।

संख्या	अपवर्त्य
1 8 13 18 25	1, 2, 3, … 8, 16, 24,. 13, 26, 39, 18, 36, 54, 25, 50, 75,

संख्याओं के समान अपवर्त्यों को उनका समापवर्त्य कहते हैं।

उपरोक्त सारणी से,

• कोई संख्या अपने प्रत्येक अपवर्तक का अपवर्त्य होती है।
• किसी संख्या का प्रत्येक अपवर्त्य उस संख्या से बड़ा या उसके बराबर होता है।
• प्रत्येक संख्या स्वयं का एक अपवर्त्य है।
• किसी संख्या के अपवर्त्यों की संख्या असीमित होती है।
  यह भी जाने-
  किसी भी संख्या में से उसके अंकों का योगफल घटाने पर प्राप्त अन्तर सदैव 9 का अपवर्त्य होता है।
  उदाहरणार्थ कोई एक संख्या 4253 लेते हैं। अब देखते है कि इस संख्या के अंकों का योगफल
  =4+2+5+3=14
  अब संख्या 4253 में से अंकों का योगफल 14 घटाने पर प्राप्त अन्तर
  =4253-14
  =4239
  =9×471
  अतः अंतर 9 का अपवर्त्य है।

जब आप 8 में 5 का गुणा करते हैं तो गुणनफल 40 प्राप्त होता है।

यहाँ 8 x 5 = 40 में, 8 गुण्य, 5 गुणक तथा 40 गुणनफल है। 8 व 5 को 40 का गुणनखंड कहते हैं।

प्रत्येक पंक्ति में गोलियों की संख्या समान हो। गोलियों को निम्नांकित विधियों से व्यवस्थित कर सकता है-

प्रत्येक पंक्ति में 1 गोली
पंक्तियों की संख्या = 12
गोलियों की कुल संख्या = 1x 12 =12

प्रत्येक पंक्ति में 2 गोलियाँ
पंक्तियों की संख्या = 6
गोलियों की कुल संख्या=2x 6 = 12

प्रत्येक पंक्ति में 3 गोलियाँ
पंक्तियों की संख्या = 4
गोलियों की संख्या = 3x 4= 12

प्रत्येक पंक्ति में 4 गोलियाँ
पंक्तियों की संख्या = 3
गोलियों की संख्या = 4x 3 = 12

प्रत्येक पंक्ति में 6 गोलियाँ
पंक्तियों की संख्या = 2
गोलियों की संख्या= 6x 2= 12

प्रत्येक पंक्ति में 12 गोलियाँ, पंक्तियों की संख्या= 1
गोलियों की संख्या = 12×1 = 12

इस प्रकार 1, 2, 3, 4, 6 और 12 संख्या 12 के गुणनखंड या विभाजक हैं। इन्हें 12 के अपवर्तक कहा जाता है।

प्रत्येक पंक्ति में 5, 7, 8, 9, 10, 11 गोलियाँ रखने पर प्रत्येक पंक्ति में गोलियों की संख्या समान नहीं होगी।

अपवर्तक-

कोई संख्या जिन-जिन संख्याओं से पूरी-पूरी विभाजित हो जाती है वे संख्याएं उस संख्या की अपवर्तक कहलाती है।
आइए अब सारणी के माध्यम से अपवर्तक के कुछ रोचक तथ्यों पर विचार करते हैं-

संख्या	अपवर्तक
2 8 15 70 84	1,2 1,2,4,8 1,3,5,15 1,2,5,7,70 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84

महत्तम समापवर्तक’ वह अधिकता संख्या है, जो दी गई संख्याओं को पूर्णतया विभाजित करती है।

जैसे :- संख्याएँ 10, 20, 30 का महत्तम समापवर्तक 10 है।

किसी संख्या को पूर्णतया विभाजित करने वाली संख्या को उस संख्या का गुणनखंड कहते हैं और गुणनखंड को अपवर्तक भी कहा जाता है।
नीचे दी गई सारणी को देखकर निष्कर्ष निकालिए-

संख्या	अपवर्तक
48 64 72	1,2,3,4,6,8,12,16,24,48 1,2,4,8,16,32,64 1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72

समापवर्तक-

उपरोक्त सारणी को देखकर निष्कर्ष निकालेगें कि तीनों संख्याओं में 2, 4 तथा 8 समान अपवर्तक है। इस प्रकार समान अपवर्तक को ही समापवर्तक कहते हैं।
अतः उपरोक्त संख्या का समापवर्तक 2,4 व 8 है।

उपर्युक्त सारिणी को देखकर यह निष्कर्ष निकलता है कि-

• 1 प्रत्येक संख्या का अपवर्तक है।
• प्रत्येक संख्या स्वयं का अपवर्तक होती है।
• किसी संख्या का प्रत्येक अपवर्तक उस संख्या का एक पूर्ण विभाजक है।
• किसी दी हुई संख्या के अपवर्तकों की संख्या सीमित होती है।
• किसी संख्या का प्रत्येक अपवर्तक उस संख्या से छोटा या उसके बराबर होता है।

समापवर्तक (Common Factor) :- ऐसी संख्या जो दो या दो से अधिक संख्याओं में से प्रत्येक को पूरी-पूरी विभाजित करें।

जैसे :- 10, 20, 30 का समापवर्तक 2, 5, 10 है।