गुणनखण्ड एवं गुणज कक्षा 6 गणित

गुणनखण्ड एवं गुणज

गुणनखंड

2 x 5 = 10 में 2 तथा 5 का भाग 10 में पूरी तरह चला जाता है। किसी संख्या के गुणनखंड वे संख्याएँ हैं जो उस संख्या को पूरी तरह विभाजित करें।

10 / 2 = 5
10/ 5 = 2

अर्थात 2 तथा 5,10 के गुणनखण्ड है किसी संख्या के गुणनखंड उस संख्या की सभी भाजक संख्याएँ होगी।
प्रत्येक संख्या कम से कम 1 व स्वयं से अवश्य विभाजित होती है।
जैसे: 12 में 1 का भाग पूरी तरह चला जाता है। 12 में 12 का भाग पूरी तरह चला जाता है।

भाज्य संख्याएँ

वह संख्या जिनमें 1 तथा उसी संख्या के अतिरिक्त अन्य संख्याओं से पूरा-पूरा भाग दिया जा सकता है, भाज्य संख्या कहलाती है।
12, संख्या 1,2, 3, 4, 6, 12 से पूर्णतया विभाजित हो जाता है।

अभाज्य संख्याएँ

वह संख्या जिसका गुणनखंड केवल 1 तथा स्वयं वही संख्या हो अभाज्य संख्या कहलाती है। जैसे: 13 में केवल 1 एवं 13 का पूरा-पूरा भाग जाता है, अन्य किसी संख्या का नहीं अतः 13 एक अभाज्य संख्या है इसी प्रकार 2, 3, 5, … इत्यादि अभाज्य संख्याएँ हैं।

सह अभाज्य संख्याएँ

8 के गुणनखंड = 1,2,4,8
15 के गुणनखंड = 1,3,5,15
उक्त दोनो संख्याओं के गुणनखण्डों को देखने पर यह स्पष्ट होता हैं कि केवल 1 ही है जो 8 और 15 का उभयनिष्ठ गुणनखंड है। 1 के अतिरिक्त और कोई संख्या ऐसी नहीं है जो 8 और 15 का उभयनिष्ठ गुणनखंड हो। ऐसी स्थिति में संख्याएँ 8 और 15 सह अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। ऐसी संख्याएँ जिनका केवल एक ही उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 हो, सह अभाज्य संब्याएँ कहलाती हैं।

संख्याओं के अन्य प्रकार

सम संख्या: वे संख्याएँ जो 2 से पूर्णतः विभाजित होती हैं सम संख्या कहलाती है।
जैसे: 2, 4, 6, 8, 10, 12
विषम संख्या: वे संख्याएँ जो 2 से पूर्णतः विभाजित नहीं होती हैं विषम संख्या कहलाती है।
जैसे: 1, 3, 5, 7, 9, 11 … इत्यादि।

अभाज्य गुणनखंड ( अपवर्तक ) ज्ञात करना

विभाज्यता के नियम (divisibility rule)

विभाज्यता के नियम (divisibility rule) उन विधियों को कहते हैं जो सरलता से बता देते हैं कि कोई प्राकृतिक संख्या किसी दूसरी संख्या से विभाजित हो सकती है या नहीं।

विभाजक	विभाजन की शर्त/शर्तें	उदाहरण
1	स्वत:	सभी पूर्णांक 1 से विभाज्य हैं।
2	संख्या का अन्तिम अंक सम (0, 2, 4, 6, or 8) हो।	1,294: इसमें अन्तिम अंक 4 सम है।
3	दी हुई संख्या के सभी अंकों का योग 3 से विभाजित हो। बहुत बड़ी संख्याओं (जिनके अंकों का योग भी बड़ी संख्या हो) के लिये यह नियम अंकों के योग पर भी लागू किया जाता है।	405:6+3+6=15 जो कि 3 से विभाज्य है। 16,499,205,854,376 के अंकों का योग 69 है; 6 + 9 = 15, 1 + 5 = 6, जो स्पष्टत: 3 से विभाज्य है।
4	संख्या के इकाई स्थान के अंक में दहाई स्थान के अंक का दो गुना जोड़िये। (दहाई स्थान के बांये के सारे अंकों का इसके लिये कोई महत्व नहीं है।)	5,096: 6 + (2 × 9) = 24
	अन्तिम दों अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो।	40832: 32 is divisible by 4.
	यदि दहाई स्थान पर स्थित अंक सम हो तथा इकाई स्थान पर 0, 4, या 8 हो।यदि दहाई स्थान का अंक विषम हो तथा इकाई स्थान पर 2, या 6.	40832: 3 विषम है, तथा अन्तिम अंक 2 है।
5	अन्तिम अंक 0 या 5.	490: अतिम अंक 0 है।
6	संख्या 2 और 3 दोनो से विभक्त होती हो।	1,458: 1 + 4 + 5 + 8 = 18, 1 + 8 = 9, अत: संख्या 3 से विभाज्य है और साथ ही अन्तिम अंक सम होने के कारण 2 से भी विभाज्य है। इसलिये यह संख्या 6 से विभाज्य है।
	अन्तिम अंक में अन्य अंकों के योग का चौगुना जोड़ें।	198: (1 + 9) × 4 + 8 = 48
7	निम्नलिखित प्रक्रिया करने के बाद प्राप्त संख्या 7 से विभाज्य होनी चाहिये:
	दायें से बायें तरफ संख्या के अंकों का तीन-तीन का समूह बनाकर इनका एकान्तर योग निकालिये।	1,369,851: 851 – 369 + 1 = 483 = 7 × 69
	अन्तिम अंक का दोगुना, बाकी संख्या से घटाइये और जांचिये कि परिणाम 7 से विभाज्य है या नहीं।	483: 48 – (3 × 2) = 42 = 7 x 6.
	या, अन्तिम संख्या के पाँच गुने में बाकी बची संख्या को जोड़िये.	483: 48 + (3 × 5) = 63 = 7 x 9.
8	निम्नलिखित प्रक्रिया करने के बाद प्राप्त संख्या 8 से विभाज्य होनी चाहिये:
	यदि ‘सैकड़ा’ के स्थान वाला अंक सम है तो अन्तिम दो अंकों से बनी संख्या की परीक्षा कीजिये कि यह 8 से विभाज्य है या नहीं।	624: 24.
	यदि सैकड़ा के स्थान पर वाला अंक विषम है तो अन्तिम दो अंकों से बनी संख्या में 4 जोड़कर परीक्षा कीजिये कि यह 8 से विभाज्य है या नहीं।.	352: 52 + 4 = 56.
	इकाई स्थान के अंक को छोड़कर जो संख्या बचती है उसके दोगुने में इकाई वाला अंक जोड़िये और परीक्षा कीजिये कि यह 8 से विभाज्य है या नहीं।	56: (5 × 2) + 6 = 16.
	संख्या के केवल अन्तिम तीन अंकों से बनी संख्या की परीक्षा कीजिये और देखिये कि यह 8 से विभाज्य है या नहीं।	34152: केवल 152 के विभाज्यता की परीक्षा कीजिये: 19 x 8
9	सभी अंकों का योगफल 9 से विभाज्य होना चाहिये। बड़ी संख्याओं के लिये यह क्रिया बार-बार की जा सकती है अर्थात अंकों का योग भी बड़ा हो तो उसकी भी इसी रीति से परीक्षा की जाती है। अन्तिम परिणाम 9 आना चाहिये।	2,880: 2 + 8 + 8 + 0 = 18: 1 + 8 = 9.
10	अन्तिम अंक शून्य (0) होना चाहिये।	130: अन्तिम अंक 0 है।
11	निम्नलिखित प्रक्रियाओं के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्या 11 से विभाज्य होनी चाहिये:
	एकानतर अंकों (एक-एक अंक छोड़कर) का योग-घटाना कीजिये और देखिये कि यह 11 से विभाजित होता है या नहीं।	918,082: 9 – 1 + 8 – 0 + 8 – 2 = 22.
	दायें से बायें तरफ संख्या के अंकों को दो-दो के समूह में योग कीजिये और देखिये कि यह 11 से विभाजित होता है या नहीं।	627: 6 + 27 = 33.
	अन्तिम अंक को बाकी बचे अंकों से बनी संख्या से घटाइये और देखिये कि यह 11 से विभाजित होता है या नहीं।	627: 62 – 7 = 55.
12	जो संख़्या,3 और 4 दोनो से विभाज्य़ हो	324: it is divisible by 3 and by 4.
	अंतिम अंक को शेष के दोगुने से घटाएं।	324: (32 × 2) − 4 = 60.
13
	अंकों को दाएं से बाएं तीन के वैकल्पिक ब्लॉक में जोड़ें, फिर दो योग घटाएं।	2,911,272: − (2 + 272) + 911 = 637
	शेष में अंतिम अंक का 4 गुना जोड़ें।	637: 63 + (7 × 4) = 91, 9 + (1 × 4) = 13.

अभ्यास

दो क्रमागत संख्याओं का महत्तम समपबर्तक क्या होगा?

दो छोटे टेंकरों में क्रमशः 85 और 68 लीटर पेट्रोल आता है। उस मापने वाले बर्तन की अधिकतम धरिता ज्ञात कीजिए जिससे प्रत्येक टेंकर का पेट्रोल पूरा-पूरा मापा जा सके।

वह बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 389, 436 और 542 को भाग देने पर क्रमशः 4,7, और 3 शेष बचे।

एक विद्यालय की कक्षा 6, 7, 8 में क्रमशः 220, 176 तथा 132 छात्र हैं। अधिक से अधिक छात्रों के समूह बनाएँ जो प्रत्येक कक्षा में बन सके तथा प्रत्येक समूह में छात्रों की संख्या समान हो।

हमीदा के पास 527 सेब, 646 चीकू व 748 संतरे है। इन्हें बराबर-बराबर फलों के ढेरों में रखना है। बड़े से बड़े ढेर में कितने फल होंगे? कुल कितने ढेर बनेंगे?

गुणज

दी गई सख्याओं का सबस छोटा समान अपवर्त्य हो दी गई सख्याओं का लघुतम समापवर्त्य कहलाता है।
दो या दो से अधिक संख्याओं का ल.स. वह छोटी से छोटी संख्या है जिसमें दी गई प्रत्येक संख्या का पूरा-पूरा भाग चला जाता है।

अभाज्य गुणनखंड और भाग विधि से ल.स. ज्ञात करना

दो संख्याओं के गुणनफल तथा ल.स. एवं म.स. के मध्य संबंध

दो संख्याएँ 12 और 16 है।

प्रथम संख्या x द्वितीय संख्या = म. स. x ल. स.
12 x 16 = 4 x 48 =192

अभ्यास

55 मीटर लम्बे एवं 22 मीटर चौड़े मैदान में वर्गाकार दरियां बिछानी है एक ही नाप की कम से कम बिछाई जाने वाली दरियां की संख्या ज्ञात कीजिए? (संकेत – म.स. ज्ञात करें)

6 घंटियाँ एक साथ बजना प्रारंभ हुई यदि वे क्रमशः 2, 4, 6, 8, 10, 12 सेकेंड के अंतराल में बजती है तो 30 मिनट में कितनी बार इकट्ठी बजेगी? (संकेत – ल.स. ज्ञात करें)