(b). (a) में दी गई परिस्थिति में A का क्रय मूल्य = D का क्रय मूल्य × 100/(100 + x) × 100/(100 + y) + 100/(100 + z)
उदाहरण 9. यदि उमेश किसी वस्तु को 20% लाभ पर श्याम को, श्याम उसे 10% लाभ पर उमेश को बेचता हैं। यदि उमेश का क्रय मूल्य 660 रु. हैं। तो पंकज का क्रय मूल्य क्या होगा?
उदाहरण 10. मोहन किसी वस्तु को 40% लाभ पर ओमप्रकाश को बेचता हैं और ओमप्रकाश उस वस्तु को 20% लाभ पर मोहन को बेचता हैं। यदि मोहन का क्रय मूल्य 1000 रु. हैं। तो दुर्गेश का क्रय मूल्य क्या होगा?
किसी वस्तु का क्रय मूल्य 4000 हैं, और उस वस्तु का विक्रय मूल्य 4200 रुपए हैं वस्तु का लाभ बताइए? A. 5% लाभ B. 7% लाभ C. 5% हानि D. 7% हानि
हल:- प्रश्नानुसार, लाभ = विक्रय मूल्य – क्रय मूल्य लाभ = 4200 – 4000 = 200 लाभ = लाभ / क्रय मूल्य × 100 200 / 4000 × 100 5% लाभ Ans. 5% लाभ
Q.6
एक पुस्तक का क्रय मूल्य 500 रुपए हैं, और विक्रय मूल्य 650 रुपये हैं, तो बेचने पर कितने रुपये और कितने प्रतिशत का लाभ होगा? A. 20% B. 30% C. 10% D. 40%
हल:- प्रश्नानुसार, लाभ = विक्रय मूल्य – क्रय मूल्य लाभ = 650 – 500 लाभ = 150 लाभ = लाभ / क्रय मूल्य × 100 लाभ = 150/500 × 100 = 30% Ans. 30%
Q.7
किसी वस्तु को 250 रुपए में बेचने से 25 प्रतिशत लाभ होता हैं उसे कितने रुपए में बेचे ताकि 20 प्रतिशत की हानि हो? A. 160 रुपए B. 150 रुपए C. 170 रुपए D. 180 रुपए
एक व्यापारी 7.5 पैसा/किलोग्राम चीनी बेच कर 25 प्रतिशत हानि उठता हैं 10 प्रतिशत लाभ कमाने हेतु चीनी कितने रुपए में बेची जानी चाहिए? A. 11 रुपए/किलोग्राम B. 15 रुपए/किलोग्राम C. 17 रुपए/किलोग्राम D. 19 रुपए/किलोग्राम
एक बेईमान व्यापारी अपने सामानों को 4% हानि पर बेचने का दावा करता हैं। लेकिन 1 किलोग्राम के स्थान पर 840 ग्राम बाट का प्रयोग करता हैं। बताइए उसे कितना प्रतिशत लाभ होगा? A. 14 ²⁄₇ % B. 15 ⁴⁄₅ % C. 12 ⁶⁄₇ % D. 18 ⁹⁄₁₁ %
एक आदमी ने एक घोड़ा 12000 रु में बेचा जिससे उसे घोड़े पर 20% लाभ हुआ तथा उसने एक गाय 12000 रु में बेची जिससे गाय पर 20% की हानि हुई तो पूरे लेने देन में उस आदमी को क्या मिला? A. 1000 रु. हानि B. 1000 रु. लाभ C. 2000 रु. लाभ D. ना लाभ हुआ न हानि।
एक दुकानदार 26 किलोग्राम चाय जिसका भाव 20 रु. प्रति किलोग्राम हैं। के साथ 30 किलोग्राम चाय जिसका भाव 36 रु. प्रति किलोग्राम हैं मिलाता हैं। वह मिश्रण को 30 रु. प्रति किलोग्राम के भाव से बेचता हैं उसका लाभ प्रतिशत हैं? A. 5% B. 6% C. 7% D. 8%
हल:- प्रश्नानुसार, दोनों प्रकार के चाय का कुल मूल्य = (26 × 20) + (30 × 36) = 1600 रु. तथा मिश्रण का विक्रय मूल्य = 30 × (26 + 30) = 1680 रु. लाभ प्रतिशत = (1680 – 1600)/1600 × 100 = 5% Ans. 5%
Q.12
किसी खिलौने को 450 रु. में बेचने से हुआ लाभ 320 रु. में बेचने पर हुई हानि से 30 रु. अधिक हैं। खिलौने का क्रय मूल्य क्या हैं? A. 350 रु. B. 370 रु. C. 390 रु. D. 410 रु.
माना कि क्रय मूल्य = x रु. प्रश्नानुसार, (450 – x) – (x – 320) = 30 770 – 2x = 30 x = 370 रु. Ans. 370 रु.
Q.13
श्यामू ने एक पुराना स्कूटर 4700 रुपए में खरीदा और 800 रुपए उसकी मरम्मत में खर्च किया यदि वह स्कूटर को 5,800 रुपए में बेचता हैं तो श्यामू को कितने प्रतिशत लाभ हुआ? A. 60/11 लाभ B. 68/13 लाभ C. 60/11 हानि D. 63/7 हानि
हल:- प्रश्नानुसार, क्रय मूल्य = 4700 विक्रय मूल्य = 5800 = 4700 + 800 = 5500 – 5800 = 300 रुपए लाभ लाभ प्रतिशत = 300/5500 × 100 = 60/11 लाभ Ans. 60/11 लाभ
Q.14
मैंने एक चित्र 225 रुपए में खरीदा उसकी सजावट में 15 रुपए खर्च किए यदि मैंने उसे 300 रुपए में बेचा मुझे कितने प्रतिशत का लाभ हुआ? A. 10% B. 20% C. 25% D. 40%
हल:- प्रश्नानुसार, क्रय मूल्य = 225 सजावट में खर्च किए रुपए = 225 + 15 = 240 विक्रय मूल्य = 300 – 240 = 60 रुपए लाभ लाभ प्रतिशत = 60/300 × 100 = 20 Ans. 20% लाभ
Q.15
20 वस्तुओं का क्रय मूल्य 30 वस्तुओं के विक्रय मूल्य के समान हैं, तो लाभ/हानि% क्या होगा? A.50/3 % B. 200/3 % C. 100/3 % D. 221/13 %
हल:- प्रश्नानुसार, 30 – 20 = 10 P/L% = 10/30 × 100 = 100/3 % loss Ans. 100/3 %
Q.16
20 वस्तुओं का विक्रय मूल्य, 30 वस्तुओं के क्रय मूल्य के समान हैं, तो लाभ/हानि% क्या होगा? A. 20% लाभ B. 25% लाभ C. 35% लाभ D. 50% लाभ
हल:- प्रश्नानुसार, 30 – 20 = 10 P/L% = 10/20 × 100 = 50 % Ans. 50% लाभ
Q.17
जब 12 वस्तुओं का क्रय मूल्य 16 वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर हो तो कितने प्रतिशत हानि होगी? A. 10% हानि B. 15% हानि C. 25% हानि D. 35% हानि
जब 25 वस्तुओं का क्रय मूल्य 20 वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर हो तो कितने प्रतिशत लाभ होगा? A. 15% लाभ B. 25% लाभ C. 35% लाभ D. 55% लाभ
हल:- प्रश्नानुसार, 25 – 20 = 5 P/L% = 5/20 × 100 = 25% Ans. 25% लाभ
Q.19
एक दुकानदार जब किसी वस्तु को खरीदता हैं, तब 12 प्रतिशत बेईमानी करता हैं, जब वस्तुओं को बेचता हैं, तब भी 12 प्रतिशत की बेईमानी करता हैं, तो बताइए उसने कुल कितने प्रतिशत लाभ किया? A. 25.44 B. 22.55 C. 12.60 D. 28.90
एक दुकानदार जब वस्तु को खरीदता हैं, तब 5 प्रतिशत का लाभ कमाता हैं, और जब वस्तु को बेचता हैं, तो 20 प्रतिशत लाभ कमाता हैं? A. 20% B. 30% C. 26% D. 40%
हल:- प्रश्नानुसार, 105 × 105/100 = 126 = 126 – 100 लाभ = 26% Ans. 26%
Q.21
एक व्यक्ति जब वस्तु को खरीदता हैं, तब वह 15 प्रतिशत बेहमानी करता हैं, जब वस्तु को बेचता हैं, तब 20 प्रतिशत बेहमनी करता हैं? A. 20% B. 30% C. 38% D. 48%
हल:- प्रश्नानुसार, 115 × 120/100 = 23 × 6 = 138 = 138 – 100 = 38% Ans. 38% लाभ
Q.22
यदि दो गाय में प्रत्येक को 4,675 रुपए में बेचा गया तथा एक पर 15 प्रतिशत लाभ और दूसरे 15 पर प्रतिशत हानि हुई, तो बताइए कि कुल कितने प्रतिशत हानि हुई? A. 20.09% हानि B. 2.25% हानि C. 22.5% हानि D. 125.5% हानि
Note:- यदि इस प्रकार के प्रश्न में X% का लाभ और X% का ही हानि हो तब (x²/100) करेंगे, और ऐसी अवस्था में सदैव हानि ही होती हैं।
Q.23
यदि दो पंखों में से प्रत्येक का विक्रय मूल्य समान हैं, तथा एक को 10 प्रतिशत हानि और 5 प्रतिशत लाभ पर बेचा जाए तो कुल कितने प्रतिशत लाभ या हानि होगी? A. 3.5% B. 5.5% C. 4.8% D. 6.2%
एक दुकानदार दो T. V. सेट को एक समान मूल्य पर बेचता हैं, एक पर 20 प्रतिशत लाभ और दूसरे पर 20 प्रतिशत हानि होती हैं? A. 2% हानि B. 3% हानि C. 4% हानि D. 5% हानि
एक व्यक्ति दो वस्तुओं में से प्रत्येक को 99 रुपए में बेचता हैं एक पर उसे 10 की हानि और दूसरी पर उसे 10 प्रतिशत लाभ हुआ ? A. 2% हानि B. 1% हानि C. 3% हानि D. 5% हानि
एक व्यक्ति दो वस्तुएं एक सामान मूल्य पर बेचता हैं पहली वस्तु पर उसे 20 प्रतिशत लाभ और दूसरी वस्तु पर 25 प्रतिशत लाभ होता हैं, यदि पहली वस्तु को 10000 रुपए में खरीदा गया था तो बताइए दूसरी वस्तु को कितने रुपए में खरीदा? A. 2400 B. 4800 C. 9600 D. 6400
मोहन अपनी दो गाय समान मूल्य पर बेचता हैं एक गाय पर उसे 10 प्रतिशत की हानि और दूसरी पर उसे 5 प्रतिशत की हानि होती हैं, यदि पहली गाय को 9,500 रुपए में खरीद गया तो दूसरी गाय को कितने रुपए में खरीदा? A. 12000 B. 6000 C. 9000 D. 18000
हल:- प्रश्नानुसार, पहली वस्तु का क्रय मूल्य / दूसरी वस्तु का क्रय मूल्य = दूसरी वस्तु के विक्रय मूल्य/पहली वस्तु के विक्रय मूल्य 9500/x = 95/90 95x = 8550 x = 8550/95 x = 9000 Ans. 9000
Q.28
राजेश अपनी दो कार एक समान मूल्य पर बेचता हैं एक पर उसे 10 प्रतिशत लाभ और 20 प्रतिशत हानि हैं, यदि दूसरी कार 1,21000 में खरीद तो बताइए दूसरी को कितने रुपए में खरीद? A. 44,000 B. 66,000 C. 88,000 D. 99,000
हल:- प्रश्नानुसार, पहली वस्तु का क्रय मूल्य / दूसरी वस्तु का क्रय मूल्य = दूसरी वस्तु के विक्रय मूल्य/पहली वस्तु के विक्रय मूल्य 1,21000/x = 110/80 110 x = 1,21000 × 80 x = 1,21000 × 80/110 x = 1100 × 80 x = 88,000 Ans. 88,000
Q.29
ब्रिजेश ने दो साइकिल एक समान मूल्य पर बेची पहली उसे 20 हानि और 25 लाभ हुआ यदि पहली साइकिल 6250 में खरीदी तो दूसरी साइकिल कितने में खरीदी? A. 4,000 B. 6,000 C. 8,000 D. 10,000
हल:- प्रश्नानुसार, पहली वस्तु का क्रय मूल्य / दूसरी वस्तु का क्रय मूल्य = दूसरी वस्तु के विक्रय मूल्य/पहली वस्तु के विक्रय मूल्य 6250/x = 125/80 125 x = 6250 × 80 x = 6250 × 80/125 x = 80 × 40 x = 4,000 Ans. 4,000
Q.30
राम ने एक वस्तु 1000 रुपए में खरीदी और उस वस्तु को 20 प्रतिशत लाभ के साथ श्याम को बेचा श्याम ने 10 प्रतिशत हानि के साथ मोहन को बेचा मोहन ने इसे कितने में खरीद? A. 1260 B. 1580 C. 1690 D. 1080
मोहन ने एक वस्तु 1080 रुपए में खरीदी और उस वस्तु को 20 प्रतिशत लाभ के साथ श्याम को बेचा श्याम ने 10 प्रतिशत हानि के साथ मोहन को बेचा मोहन ने इसे कितने में खरीदा? A. 100 B. 1000 C. 2000 D. 2003
रीता अपना मकान 400000 रुपए में खरीदकर 25 प्रतिशत लाभ के साथ रीता को बेचता हैं सीता ने 10 प्रतिशत लाभ पर गीता को यदि गीता 5 प्रतिशत लाभ लेकर संगीता को बेचती हैं तो बताइए संगीता को मकान के कितने पैसे मिले? A. 5,77,500 B. 3,77,500 C. 2,67,900 D. 4,98,800
A ने एक कंप्यूटर 40,000 में खरीदा और B को 4 प्रतिशत हानि पर बेचा और C को 5 प्रतिशत लाभ के साथ बेचा, लाभ प्रतिशत बताइए? A. 55, 500 B. 40,320 C. 25, 900 D. 58, 800
एक व्यक्ति किसी वस्तु को 10 प्रतिशत लाभ पर बेचता हैं, यदि वह 15 प्रतिशत लाभ पर बेचे तो उसे 200 रूपए अधिक प्राप्त होते हैं, उस वस्तु का क्रय मूल्य क्या हैं? A. 1000 B. 2000 C. 3000 D. 4000
महेश ने एक घड़ी 10 प्रतिशत हानि पर बेची यदि उसे 5 प्रतिशत हानि पर बेचता तो उसे 60 रुपए अधिक प्राप्त होते महेश ने घड़ी कितने में खरीदी? A. 900 B. 1800 C. 1200 D. 700
दो वस्तुओं का सम्मिलित क्रय मूल्य 1500 रु. हैं तथा विक्रय मूल्य समान हैं। यदि एक को 20% हानि पर तथा दूसरे को 30% हानि पर बेचा गया। 30% हानि पर बेचे जाने वाले वस्तु का क्रय मूल्य ज्ञात कीजिए? A. 500 रु. B. 800 रु. C. 1300 रु. D. 1500 रु.
हल:- प्रश्नानुसार, x = -20, y = -30 क्रय मूल्य = 100 + x/(100 + x + y) × z = 100 – 20/(200 – 30 – 20) × 1500 = 80/150 × 1500 = 800 Ans. 800
Q37.
यदि राम 10 रु. में 15 के भाव से कुछ आम खरीद कर 15 रु. में 100 के भाव से बेच देता हैं। प्रतिशत लाभ अथवा हानि ज्ञात करें? A. 110% B. 150% C. 225% D. 250%
प्रतिशत लाभ = (y² – x²)/x² × 100 = (15)² – (10)²/(10)² × 100 = 225 – 100/100 × 100 = 125/100 × 100 = 125% Ans. 125%
Q.38
4 रुपए में 5 बटन खरीद कर 5 रुपए में 4 बटन बेचे जाते है, बताइए कितने प्रतिशत लाभ या हानि हुई? A. 11.60% B. 45.90% C. 56.25% D. 87.56%
प्रतिशत लाभ = (y² – x²)/x² × 100 = (5)² – (4)²/(4)² × 100 = 25 – 16/16 × 100 = 9/16 × 100 = 56.25% Ans. 56.25 प्रतिशत लाभ
Q.39
रीता ने 10 रुपए में 15 खिलौने खरीद कर 15 रुपए में 10 खिलौने बेंच दिए बताइए उसे कितने प्रतिशत लाभ हुआ? A. 120 प्रतिशत लाभ B. 125 प्रतिशत लाभ C. 135 प्रतिशत लाभ D. 140 प्रतिशत लाभ
प्रतिशत लाभ = (y² – x²)/x² × 100 = (15)² – (10)²/(10)² × 100 = 225 – 100/100 × 100 = 125/100 × 100 = 125% Ans. 125 प्रतिशत लाभ
Q.40
1 रुपये में 12 टाफियां बेचने से 1 व्यक्ति को 20 प्रतिशत की हानि होती हैं, तो 20 प्रतिशत का लाभ प्राप्त करने के लिए 1 रुपए में कितनी टाफियां बेची जाएगी? A. 2 टाफियां B. 5 टाफियां C. 8 टाफियां D. 10 टाफियां
किसी वस्तु के विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य का अनुपात 5:4 हैं, बताइए वस्तु को बेचने पर कितने प्रतिशत लाभ हुआ? A. 25% लाभ B. 27% लाभ C. 25% हानि D. 27% हानि
हल:- प्रश्नानुसार, विक्रय मूल्य = 5 क्रय मूल्य = 4 लाभ = 1/4 × 100 लाभ = 25% Ans. 25% लाभ
Q.42
120 वस्तु को बेचने पर उसके 30 वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर लाभ प्राप्त होता हैं बताइए कितने प्रतिशत लाभ प्राप्त होता हैं? A. 20% लाभ B. 27% लाभ C. 20% हानि D. 27% हानि
हल:- प्रश्नानुसार, L% = y/x – y × 100 हानि% = 30/150 × 100 हानि = 20% Ans. 20% हानि
Q.43
क्रय मूल्य पर 20% लाभ विक्रय मूल्य पर कितने प्रतिशत लाभ के समान होगा? A. 25% B. 16 2/3% C. 40% D. 80%
हल:- प्रश्नानुसार, विक्रय मूल्य पर प्रतिशत लाभ = 20/120 × 100 = 16 2/3%
Q.44
विक्रय मूल्य पर 30% का लाभ क्रय मूल्य पर कितने प्रतिशत लाभ के समान होगा? A. 42 6/7% B. 47 2/7% C. 30 % D. 16 2/3 %
हल:- प्रश्नानुसार, विक्रय मूल्य पर प्रतिशत लाभ = 30/70 × 100 300/7 = 42 6/7%
Q.45
8 किताबें प्रत्येक 200 से 250 रु. के मूल्य पर खरीदे जाते हैं तथा 300 से 425 रु. तक बेचे जाते हैं। तो अधिक से अधिक प्राप्त लाभ होगा? A. 250 रु. B. 400 रु. C. 1600 रु. D. 1800 रु.
अधिकतम लाभ = 425 – 200 = 225 रु. 8 किताबों को बेचने पर अधिकतम लाभ = 225 × 8 = 1800 रु.
Q.46
एक वस्तु का क्रय मूल्य विक्रय मूल्य का 40% हैं। विक्रय मूल्य क्रय मूल्य का कितना प्रतिशत हैं? A. 40% B. 60% C. 240% D. 250%
माना कि विक्रय मूल्य = 100 रु. क्रय मूल्य = 40 रु. वि.मू. क्रय मूल्य का प्रतिशत = 100/40 × 100 = 250% Ans. 250%
Q.47
एक आदमी ने कुछ संतरे 2.85 रुपए में मोल खरीदे। उनमें से कुछ संतरे 1.52 रु. में बिना लाभ के बेच दिए। अब उस आदमी के पास कम से कम कितने संतरे हैं? A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
2.85 रु. और 1.52 रु. का महत्तम समापवर्तक = 0.19 एक संतरे का मूल्य = 0.19 रु. शेष संतरे की संख्या = (2.85 – 1.52)/0.19 = 7 Ans. 7
Q.48
यदि किसी वस्तु का क्रय मूल्य, विक्रय मूल्य का 5/7 भाग हैं। तो प्रतिशत लाभ या हानि होगी? A. 40% लाभ B. 30% हानि C. 25% लाभ D. 20% हानि
4, 3, 2 तथा 7 का औसत क्या हैं? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
हल:- प्रश्नानुसार, औसत = राशियों का योग / राशियों की संख्या = (4 + 3 + 2 + 7)/4 = 16/4 = 4 Ans. 4
Q.2
6, 5, 4, 3, 8, 7 तथा 9 का औसत बताइए? A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
हल:- प्रश्नानुसार, औसत = राशियों का योग / राशियों की संख्या = (6 + 5 + 4 + 3 + 8 + 7 + 9)/7 = 42/7 = 6 Ans. 6
Q.3
2.5, 3.7, 4.8 तथा 5.2 का औसत बताइए? A. 2.05 B. 4.05 C. 40.5 D. 4.80
हल:- प्रश्नानुसार, औसत = राशियों का योग / राशियों की संख्या = (2.5 + 3.7 + 4.8 + 5.2)/4 = 16.2/4 = 4.05 Ans. 4.05
Q.4
1.5, 2.7, 3.8, 4.3, 5, 12.7 का औसत बताइए? A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
हल:- प्रश्नानुसार, औसत = राशियों का योग / राशियों की संख्या = (1.5 + 2.7 + 3.8 + 4.3 + 5 + 12.7)/6 = 30/6 = 5 Ans. 5
Q.5
यदि a, b, c, d, e पाँच क्रमागत प्राकृत संख्याएँ हों, तो उनका औसत क्या होगा? A. 5(a + 4) B. (abcde)/5 C. 5(a + b + c + d + e) D. a + 4
हल:- प्रश्नानुसार, b = a + 2, c = a + 4, d = a + 6, तथा e = a + 8 दी गई संख्याओं का औसत = राशियों का योग / राशियों की संख्या = (a + a + 2 + a + 4 + a + 6 + a + 8)/5 = 5a + 20 = 5(a + 4) Ans. 5(a + 4)
Q.6
1 से 11 तक की प्राकृत संख्याओं का औसत क्या होगा? A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
हल:- प्रश्नानुसार, n = 11 लगातार n तक की प्राकृत संख्याओं का औसत = (n + 1)/2 औसत = (11 + 1)/2 = 12/2 = 6 Ans. 6
Q.7
1 से 25 तक की प्राकृत संख्याओं का औसत क्या होगा? A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
हल:- प्रश्नानुसार, n = 25 लगातार n तक की प्राकृत संख्याओं का औसत = (n + 1)/2 औसत = (25 + 1)/2 = 26/2 = 13 Ans. 13
Q.8
1 से 30 तक कि पूर्ण संख्याओं का औसत क्या होगा? A. 10 B. 12 C. 14 D. 15
हल:- प्रश्नानुसार, n = 30 लगातार लगातार n तक की पूर्ण संख्याओं का औसत = n/2 औसत = 30/2 = 15 Ans. 15
Q.9
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 तथा 20 का औसत क्या होगा? A. 11 B. 13 C. 15 D. 17
हल:- प्रश्नानुसार, n = 20 लगातार n तक की सम संख्याओं का औसत = (n + 2)/2 औसत = (20 + 2)/2 = 22/2 = 11 Ans. 11
Q.10
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, तथा 15 का औसत क्या होगा? A. 8 B. 10 C. 12 D. 15
हल: प्रश्नानुसार, n = 15 लगातार n तक की प्राकृत विषम संख्याओं का औसत = (n + 1)/2 = ( 15 + 1 ) / 2 = 16 / 2 = 8 Ans. 8
Q.11
लगातार 11 विषम संख्याओं का औसत क्या होगा? A. 9 B. 11 C. 13 D. 15
हल:- प्रश्नानुसार, n = 11 लगातार n तक विषम संख्याओं का औसत = n Ans. 11
Q.12
लगातार 10 सम संख्याओं का औसत क्या होगा? A. 9 B. 11 C. 13 D. 15
हल:- प्रश्नानुसार, n = 10 लगातार n तक सम संख्याओं का औसत = n + 1 औसत = 10 + 1 औसत = 11 Ans. 11
Q.13
2, 5, 8, 11, 14, 17 और 20 औसत क्या होगा? A. 9 B. 11 C. 13 D. 15
हल:- प्रश्नानुसार, औसत = (पहली संख्या + अंतिम संख्या) / 2 औसत = (2+20)/2 औसत = 22/2 औसत = 11 Ans. 11
Q.14
8 अभाज्य संख्याओं का औसत क्या हैं? A. 4.890 B. 8.984 C. 9.625 D. 10.789
हल:- प्रश्नानुसार, प्रथम 8 अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 हैं। औसत = (2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19)/8 = 77/8 = 9.625 Ans. 9.625
Q.15
7 क्रमिक संख्याओं का औसत 20 हैं, इनमें सबसे बड़ी संख्या होगी? A. 20 B. 23 C. 26 D. 29
हल:- प्रश्नानुसार, 7 क्रमिक संख्याओं में चौथी संख्या 20 होगी। अतः सबसे बड़ी (अर्थात सातवीं) संख्या = 20 + 3 Ans. 23
Q.16
एक साइकिल वाला 3 घण्टे में 30 किलोमीटर दूरी तय करता हैं तो उसकी औसत चाल होगी? A. 10 B. 20 C. 15 D. 25
हल:- औसत चाल = 30/3 औसत चाल = 10 Ans. 10 किलोमीटर/घण्टा
Q.17
प्रथम 25 प्राकृत संख्याओं के वर्गों का औसत बताइए? A. 5,525 B. 7,895 C. 9,453 D. 6,965
हल:- प्रश्नानुसार, n = 25 प्रथम n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का औसत = (n + 1) (2n + 1)/6 = 25 (25 + 1) (2 × 25 + 1)/6 = 25 × 26 × (50 + 1)/6 = (25 × 26 × 51)/6 = 25 × 13 × 17 = 5,525 Ans. 5,525
Q.18
प्रथम 50 प्राकृत संख्याओं के वर्गों का औसत बताइए? A. 42,952 B. 42,925 C. 42,295 D. 42,592
हल:- प्रश्नानुसार, n = 50 प्रथम n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का औसत = (n + 1) (2n + 1)/6 = 50 (50 + 1) (2 × 50 × 1)/6 = 50 × 51 × (100 + 1) / 6 = (50 × 51 × 101)/6 = 25 × 17 ×101 Ans. 42,925
Q.19
प्रथम 20 प्राकृत संख्याओं के घनों का औसत ज्ञात कीजिए? A. 1,254 B. 2,205 C. 2,678 D. 3,245
हल:- प्रश्नानुसार, n = 20 प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के घनों का औसत = n(n + 1)²/4 = n(n + 1)²/4 = 20(20 + 1)²/ 4 = 20(21)²/4 = 20 × 21 × 21/4 = 5 × 21 × 21 = 2,205 Ans. 2,205
Q.20
प्रथम 70 प्राकृत संख्याओं के घनों का औसत ज्ञात कीजिए? A. 34,856.8 B. 76,654.9 C. 32,512.5 D. 88,217.5
हल:- प्रश्नानुसार, n = 70 प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के घनों का औसत = n(n + 1)²/4 = 70(70 + 1)²/4 = 70(71)²]/4 = (70 × 71 × 71)/4 = (35 × 71 × 71)/2 = 1,76,435/2 Ans. 88,217.5
Q.21
6 संख्याओं का औसत 12 हैं। यदि प्रत्येक संख्या में से 2 घटा दिया जाए तो नया औसत होगा A. 10 B. 12 C. 14 D. 18
हल:- प्रश्नानुसार, 6 संख्याओं का औसत = 12 अभीष्ट औसत = 12 – 2 = 10 Ans. 10
Q.22
दस संख्याओं 22, 20, 18, 16, 14, 12, 10, 8, 6 और 4 का औसत 13 हैं। यदि प्रत्येक संख्या में 4 जोड़ दिया जाए, तो नया औसत होगा? A. 19 B. 17 C. 52 D. 53
हल:- प्रश्नानुसार, अभीष्ट औसत = 13 + 4 = 17 Ans. 17
Q.23
7 संख्याओं का औसत 7 हैं। यदि प्रत्येक संख्या को 7 से गुणा कर दे तो नई संख्याओं का औसत हैं? A. 10 B. 12 C. 14 D. 18
हल:- प्रश्नानुसार, अभीष्ट औसत = 7 × 7 = 49 Ans. 49
Q.24
8 संख्याओं का औसत 21 हैं। यदि प्रत्येक संख्या को 8 से गुणा कर दिया जाए तो नई संख्याओं का औसत होगा? A. 160 B. 162 C. 164 D. 168
हल:- प्रश्नानुसार, अभिष्ट औसत = 21 × 8 = 168 Ans. 168
Q.25
दो संख्याओं का औसत M हैं। इनमें से एक संख्या N हो, तो दूसरी संख्या क्या होगी? A. 2N B. 2M C. M – N D. 2M – N
हल:- माना, कि दूसरी संख्या = x तब (x + N)/2 = M x = 2M – N Ans. 2M – N
Q.26
25 शिक्षकों की औसत उम्र 50 वर्ष हैं, 10 शिक्षकों को और सम्मिलित हो जाने पर औसत उम्र 45 वर्ष हो जाती हैं, नए शिक्षकों की औसत उम्र क्या हैं? A. 24.8 B. 30.5 C. 32.5 D. 40.8
हल:- प्रश्नानुसार, 25 शिक्षकों की कुल उम्र = 25 × 50 = 1250 वर्ष 10 शिक्षकों को और सम्मिलित होने पर कुल उम्र = 35 × 45 = 1575 वर्ष नए शिक्षकों की कुल उम्र = 1575 – 1250 = 325 वर्ष 10 शिक्षकों की औसत उम्र = 325/10 Ans. 32.5
Q.27
8 संख्याओं का औसत 56 हैं, तीन संख्याएँ क्रमशः 49, 57 तथा 72 हैं, तो शेष 5 संख्याओं का औसत बताइए? A. 50 B. 54 C. 60 D. 65
हल:- प्रश्नानुसार, 8 संख्याओं का औसत = 56 8 संख्याओं का कुल योग = 56 × 8 = 448 रूपए तीन संख्याओं का योग = 49 + 57 + 72 = 178 रूपए शेष पाँच संख्याओं का योग = 448 – 178 = 270 अतः शेष पाँच संख्याओं का औसत = 270/5 Ans. 54
Q.28
जब 17 संख्याएँ क्रमवार लगायी गई, तो उनका औसत 19 होता हैं, इनमें से प्रथम 9 संख्याओं का औसत 17 होता हैं, जबकि अंतिम 9 संख्याओं का औसत 21 होता हैं उनमें से 9 वां अंक कौन-सा हैं? A. 19 B. 23 C. 25 D. 27
हल:- प्रश्नानुसार, 17 संख्याओं का योग = 17 × 19 = 323 प्रथम 9 संख्याओं का योग = 9 × 17 = 153 अंतिम 9 संख्याओं का योग = 9 × 21 = 189 9 वीं संख्या = 153 + 189 – 323 = 342 – 323 Ans. 19
Q.29
एक क्रिकेट खिलाड़ी की 10 परियों के रनों का औसत 32 था, खिलाड़ी अगली पारी में कितने रन बनाए, ताकि उसके रनों का औसत 4 अधिक हो जाए? A. 72 B. 76 C. 78 D. 80
हल:- प्रश्नानुसार, 10 पारियों के रनों का औसत = 32 10 परियों के रनों का योग = 32 × 10 = 320 माना, 11 वीं पारी में x रन बनाए गए (320 + x)/11 = 36 320 + x = 36 × 11 320 + x = 396 x = 396 – 320 x = 76 Ans. 76
Q.30
आठ संख्याओं का औसत 20 हैं, पहली दो संख्याओं का औसत 31/2 तथा अगली तीन संख्याओं का औसत 64/3 हैं, यदि 6 वी संख्या 7 वीं से 4 कम तथा 8 वीं से 7 कम हो, तो 8 वीं संख्या क्या होगी? A. 20 B. 25 C. 30 D. 35
हल:- प्रश्नानुसार, 8 संख्याओं का औसत = 20 8 संख्याओं का योग = 160 2 संख्याएँ का योग = (31/2) × 2 = 31 3 संख्याओं का योग = (64/3) × 3 = 64 माना, छठी संख्या= x सातवीं संख्या = x + 4 आठवीं संख्या = x + 7 3x + 11 + 31 + 64 = 160 x = 54/3 x = 18 आठवीं संख्या = 18 + 7 Ans. 25
Q.31
एक कक्षा में 30 छात्र हैं, इनमें से 10 छात्रों की औसत आयु 12.5 वर्ष हैं तथा शेष 20 छात्रों की औसत आयु 13.1 वर्ष हैं, पूरी कक्षा के छात्रों की औसत आयु कितनी हैं? A. 10.8 B. 11.9 C. 12.9 D. 14.8
हल:- प्रश्नानुसार, 10 छात्रों की औसत आयु = 12.5 वर्ष 10 छात्रों की कुल आयु = 125 वर्ष 20 छात्रों की औसत आयु = 13.1 वर्ष 20 छात्रों की कुल आयु = 262 वर्ष 30 छात्रों की कुल आयु = 125 + 262 कुल आयु = 387 वर्ष 30 छत्रों की औसत आयु = 387/30 Ans. 12.9 वर्ष
Q.32
छः संख्याओं का औसत 30 हैं, यदि प्रथम चार संख्याओं का औसत 25 तथा अंतिम तीन संख्याओं का औसत 35 हो, तो चौथी संख्या क्या हैं? A. 20 B. 25 C. 30 D. 35
हल:- प्रश्नानुसार, 6 संख्याओं का औसत = 30 6 संख्याओं का योग = 30 × 6 = 180 प्रथम चार संख्याओं का औसत = 25 प्रथम चार संख्याओं का योग = 25 × 4 = 100 अंतिम तीन संख्याओं का औसत = 35 अंतिम तीन संख्याओं का योग = 35 × 3 = 105 चौथी संख्या = 100 + 105 – 180 Ans. 25
Q.33
एक व्यक्ति एक स्थान से दूसरे स्थान तक 8 किलोमीटर/घण्टा की चाल से जाता हैं और 12 किलोमीटर/घण्टा की चाल से वापस आता हैं तो बताएं कि पूरी यात्रा की औसत चाल क्या होगी? A. 9.6 B. 7.8 C. 9.7 D. 9.5
हल:- प्रश्नानुसार, औसत चाल = (2 x y) / (x + y) औसत चाल = (2 × 8 × 12) / (8 + 12) औसत चाल = 192 / 20 Ans. 9.6 किलोमीटर/घण्टा
Q.34
5 बच्चों की औसत आयु 8 वर्ष हैं, यदि बच्चों की उम्र में पिता की आयु जोड़ दी जाती हैं, तो उनकी औसत उम्र 15 वर्ष हो जाती हैं, पिता की आयु कितनी हैं? A. 25 B. 50 C. 75 D. 100
हल:- प्रश्नानुसार, नए व्यक्ति की आयु = (नया औसत × नयी संख्या) – (पुराना औसत × पुरानी संख्या) पिता की आयु = (15 × 6) – (8 × 5) = 90 – 40 Ans. 50 वर्ष
Q.35
यदि 10 आदमियों की औसत आयु 30 वर्ष तथा 30 आदमियों की औसत आयु 40 वर्ष हो तो कुल आदमियों की औसत आयु होगी? A. 45.8 B. 78.9 C. 37.5 D. 86.9
लंबाई के मात्रक: क्षेत्रफल और आयतन की माप (Units of length)
लंबाई मापने के लिए उपयोग की जाने वाली सबसे आम इकाइयाँ इस प्रकार हैं:
लंबाई के SI मात्रक :
10 मिलीमीटर= 1 सेंटीमीटर 10 डेसीमीटर= 1 मीटर 10 डेकामीटर= 1 हेक्टोमीटर 10 सेंटीमीटर= 1 डेसीमीटर 10 मीटर =1 डेकामीटर 10 हेक्टोमीटर =1 किलोमीटर
किलोमीटर (km)
हेक्टोमीटर (hm)
डेसीमीटर (dam)
मीटर (m)
डेसीमीटर (dm)
सेंटीमीटर(cm)
मिलीमीटर (mm)
1000
100
10
1
1/10
1/100
1/1000
क्षेत्रफल की माप :
100 वर्ग मिलीमीटर= 1 वर्ग सेंटीमीटर 100 वर्ग डेसीमीटर =1 वर्ग मीटर 100 वर्ग डेकामीटर= 1 वर्ग हेक्टोमीटर 100 वर्ग किलोमीटर =1 मिरिया मीटर 100 वर्ग सेंटीमीटर= 1 वर्ग डेसीमीटर 100 वर्ग मीटर =1 वर्ग डेकामीटर 100 वर्ग हेक्टोमीटर =1 वर्ग किलोमीटर
= 1 मीटर + 1 मीटर + 1 मीटर + 1 मीटर = 100 सेंटीमीटर + 100 सेंटीमीटर + 100 सेंटीमीटर + 100 सेंटीमीटर = 100 x 4 सेंटीमीटर या 4 x 100 सेंटीमीटर = 400 सेंटीमीटर
एक थान में 25 मीटर 45 सेन्टीमीटर कपड़ा आता है, तो ऐसे 8 थान में कितने मीटर कपड़ा आएगा?
झण्डी बनाने के लिए प्राची के पास 42 मीटर 70 सेन्टीमीटर रस्सी है। निशा के पास 38 मीटर 85 सेन्टीमीटर रस्सी है। बताओ दोनों के पास कुल कितनी लम्बी रस्सी है?
रेखा को अपने कमरे में 8 रस्सियाँ बांधनी है। यदि कमरे की लम्बाई 4 मीटर 16 से.मीटर है तो उसे कम से कम कितनी लम्बी रस्सी की आश्यकता होगी?
एक दुकानदार ने 32 मीटर 46 सेन्टीमीटर कपड़े के थान से 18 मीटर 50 सेन्टीमीटर कपड़ा बेच दिया। बताओ उसके पास अब कितना कपड़ा शेष रहा?
1 दिन = 23 घण्टा, 56 मिनट और 4.09 सेकण्ड = 24 घण्टा (लगभग)
1 वर्ष = 365 दिन, 5 घण्टे, 48 मिनट और 45.51 सेकण्ड
1 साधारण वर्ष = 365 दिन = 52 सप्ताह + 1 दिन = 1 विषम दिन
1 अधिवर्ष = 366 दिन= 52 सप्ताह +2 दिन= 2 विषम दिन
1 सप्ताह = 7 दिन
1 महीना = 28/29/30/31 दिन
100 वर्ष = 76 साधारण वर्ष + 24 अधिवर्ष = 76 x1+24 x 2 =76+48 = 124 विषम दिन = 17 सप्ताह + 5 दिन = 5 विषम दिन
फरवरी (साधारण वर्ष) = 28 दिन =0 विषम दिन
फरवरी (अधिवर्ष) = 29 दिन = । विषम दिन
जनवरी/मार्च/मई/जुलाई/अगस्त/अक्टूबर/दिसम्बर = 31 दिन
= 3 विषम दिन
अप्रैल/जून/सितम्बर/नवम्बर = 30 दिन= 2 विषम दिन
शताब्दी वर्षों को छोड़कर प्रत्येक चौथा वर्ष अधिवर्ष होता है. प्रत्येक चौथा शताब्दी वर्ष अधिवर्ष होता है.
शताब्दी वर्ष को छोड़कर प्रत्येक सामान्य वर्ष अंक 4 से पूर्णतः विभाजित नहीं होते हैं.
ऐसा शताब्दी वर्ष, जो 400 से पूर्णतः विभाजित हो जाता है, वह अधिवर्ष होता है.
किसी भी दिन में 7 दिन जोड़ने या घटाने से वही दिन प्राप्त होता है.
साधारण वर्ष का पहला और अन्तिम दिन समान होता है.
लीप वर्ष का पहला और अन्तिम दिन समान होता है अर्थात्अन्तिम दिन एक दिन बढ़ जाता है.
साधारण क्रमागत वर्षों में किसी निश्चित तिथि के दिन कीतुलना में उसके ठीक अगले वर्ष में उस तिथि को एक दिन बढ़ जाता है.
क्रमागत लीप वर्ष अर्थात् अगला वर्ष लीप वर्ष हो, तो किसी निश्चित तिथि का दिन पहले वर्ष के दिन की तुलना में दो दिन बढ़ जाता है.
किसी शताब्दी का प्रथम दिन सोमवार, मंगलवार, बृहस्पतिवार, शुक्रवार या शनिवार हो सकता है.
किसी शताब्दी का अन्तिम दिन मंगलवार, बृहस्पतिवार या शनिवार नहीं हो सकता है, परन्तु बुधवार, शुक्रवार तथा रविवार हो सकता है.
किसी अधिवर्ष में मार्च तथा नवम्बर की पहली तारीख को एक ही दिन होता है.
किसी अधिवर्ष में फरवरी तथा अगस्त की पहली तारीख को एक ही दिन होता है.
जुलाई एवं अगस्त महीने ही लगातार 31 दिन के होते है.
किसी साधारण वर्ष में निम्नलिखित माह के प्रथम दिन समान होते हैं-जनवरी-अक्टूबर, फरवरी-मार्च, नवम्बर, अप्रैल-जुलाई तथा सितम्बर-दिसम्बर.
किसी लीप वर्ष में निम्नलिखित माह के प्रथम दिन समान होते हैं-जनवरी-अप्रैल, जुलाई, फरवरी-अगस्त, मार्च-नवम्बर तथा सितम्बर-दिसम्बर. (यह नियम मार्च से दिसम्बर तक लागू होता है.)
भारत का वित्तीय वर्ष 1 अप्रैल से प्रारम्भ होकर 31 मार्च को समाप्त होता है.
उदाहरण 1. किसी वर्ष 20 नवम्बर को शुक्रवार हो, तो उसी वर्ष 30 नवम्बर को कौनसा दिन होगा ? हल : हर सात दिन बाद वही दिन होता है. 20+7 = 27. अतः 27 नवम्बर को भी शुक्रवार होगा. अतः 30 नवम्बर को 3 दिन बढ़ने पर सोमवार होगा.
दिन के 12 बजे का समय
दोपहर या मध्याह्न
दोपहर 12 बजे से मध्यरात्रि 12 बजे तक का समय
अपराह्न (p.m.)
रात्रि के 12 बजे का समय
मध्यरात्रि
मध्यरात्रि 12 बजे से दोपहर 12 बजे तक का समय
पूर्वाह्न (a.m.)
अभ्यास
नेहा का विद्यालय 7:00 बजे पूर्वाह्न में लगता है और 11:00 बजे पूर्वाह्न में बंद होता है। बताओ विद्यालय कुल कितने घण्टे लगता है?
एक बस अंबिकापुर से 4:00 बजे पूर्वाह्न में चलती है और 7 घण्टे में जशपुर पहुँचती है। बताओ बस किस समय जशपुर पहुँचती है?
एक नाटक अपराह्न 8:00 बजे शुरू हुआ और अपराह्न 11:00 बजे समाप्त हुआ। नाटक कितने समय तक चला?
सुनीति अपना गृह कार्य 6:20 बजे अपराहन में शुरू करके 8:20 बजे अपराह्न में समाप्त किया। बताओ उसे गृह कार्य करने में कितना समय लगा?
पूर्ण संख्या : पूर्ण संख्याओं पर संक्रियाएँ (Whole Number)
प्राकृतिक संख्याओं (1, 2, 3, 4, ……) में शून्य (0) को सम्मिलित करने पर जो संख्याएँ प्राप्त होती हैं, पूर्ण संख्याएँ कहलाती हैं। पूर्ण संख्याओं को W से प्रदर्शित करते हैं। या फिर इसे इस तरह से भी परिभाषित किया जा सकता हैं “शून्य ‘0’ से लेकर अनंत तक की संख्याओं को पूर्ण संख्याएँ कहते हैं।” उदाहरण: 0, 1, 2, 3, 4, ……। ∞ आदि
स्मरणीय बिंदु:
शून्य (0) सबसे छोटी एवं पहली पूर्ण संख्या है।
सभी प्राकृतिक संख्याएँ पूर्ण-संख्याएँ हैं।
चूंकि प्रत्येक पूर्ण संख्या से बड़ी पूर्ण संख्याएँ होती हैं अतः कोई भी पूर्ण संख्या सबसे बड़ी पूर्ण संख्या नहीं होती है।
पूर्ण संख्याओं के गुण
प्राकृत संख्या के सभी गुण पूर्ण संख्याओं के लिए भी सही हैं।
सबसे छोटी पूर्ण संख्या 0 है।
संख्या रेखा पर 0 से दाहिने ओर क्रमशः पूर्ण संख्या बढ़ते क्रम में दिखायी गयी है। अर्थात् 0+1 = 1,1+1 =2, … , 101 + 1 = 102, 102 + 1 = 103, 103 + 1 = 104, … , इत्यादि।
संख्या रेखा पर दाहिने ओर से बाँए ओर का क्रम घटते क्रम में है, जैसे ….. 4,3,2,1,0
सबसे बड़ी पूर्ण संख्या नहीं दिखाई जा सकती। क्योंकि यदि आप कोई बड़ी से बड़ी संख्या सोचते हैं तो उसमें एक जोड़ कर उसकी अगली बड़ी संख्या प्राप्त की जा सकती है। जो उस संख्या की परवर्ती संख्या होगी।
योग का संवरक गुण:
जब किसी दो पूर्ण संख्याओं का आपस में जोड़ा जाता हैं तो प्राप्त योगफल सदैव पूर्ण संख्या होता है, यह पूर्ण संख्याओं के योग का संवरक प्रगुण है।
उदाहरणार्थ:-11 + 9 = 20 इन दोनों संख्याओं का योग 20 एक पूर्ण संख्या है।
योग का क्रम-विनिमेय गुण:
जब किसी दो पूर्ण संख्याओं को जोड़ा जाता हैं तो उनके योगफल पर संख्याओं के क्रम का कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, इसे ही योग का क्रम-विनिमेय प्रगुण है।
उदाहरणार्थ: 14 + 33 = 47 33 + 14 = 4
योग का तत्समक अवयव:
किसी पूर्ण संख्या में यदि शून्य को जोड़ा जाता है तो योगफल वही संख्या प्राप्त होती है। इसी कारण शून्य को पूर्ण संख्याओं में योग का तत्समक अवयव कहते हैं।
शून्य को पूर्ण संख्याओं के लिए योज्य तत्समक भी कहते हैं। उदाहरणार्थ: 3 + 0 = 0 + 3 = 3
योग का साहचर्य गुण:
तीन पूर्ण संख्याओं को क्रम में जोड़ते समय किन्हीं दो पूर्ण संख्याओं का समूह पहले बना लेने से योगफल में अंतर नहीं पड़ता है, यह योग संक्रिया का साहचर्य प्रगुण है।
गणना करते समय 10 संकेतों 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 का उपयोग किया जाता है तथा गणना का कार्य 1 से प्रारंभ होता है। इन्हीं अंकों को मिलाकर प्राकृत संख्याएँ लिखी जाती हैं। गणना के लिए जिन संख्याओं का उपयोग किया जाता है उन्हें प्राकृत संख्या(Natural Number) कहते हैं। प्राकृत संख्याओं के समूह को N से दर्शाते हैं। अर्थात् प्राकृत संख्या (N) = 1,2,3, …. आदि।
सबसे छोटी प्राकृत संख्या 1 है।
प्राकृतिक संख्याओं का फार्मूला
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का औसत = (n+1) /2
लगातार n तक विषम प्राकृतिक संख्या का योग = (n/2+1)
प्रथम n प्राकृतिक सम संख्याओं का औसत = n+1
प्रथम n प्राकृतिक विषम संख्याओं का औसत = n
लगातार n तक विषम प्राकृतिक संख्याओं का औसत = (n+1) /2
सबसे बड़ी प्राकृत संख्या कौन-सी है?
प्राकृत संख्या 1 से अनंत तक होती है जिसमे सबसे छोटी संख्या ज्ञात करना संभव है किंतु बड़ी संख्या मुस्किल है. यदि कोई संख्या दिया हो, तो बड़ी संख्या ज्ञात किया जा सकता है. अतः सबसे बड़ी प्राकृत संख्या स्व अनंत होता है.
सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या कौन सी है?
प्राकृत संख्या 0 से बड़ी और 1 से शुरू होती है. अर्थात, सबसे छोटी प्राकृत संख्या 1 होता है.
0 सबसे छोटी प्राकृत संख्या है?
वास्तव में, 0 से छोटी कोई संख्या नही होती है. क्योंकि, प्राकृत संख्या तो 1 से शुरू ही होती है.
क्या सभी प्राकृत संख्या पूर्ण संख्या है?
0 से अनंत तक की सभी प्राकृत संख्या पूर्ण संख्या होती है. अर्थात, सभी धनात्मक प्राकृत संख्याएँ पूर्ण संख्या होती है.
क्या कोई ऐसी पूर्ण संख्या है जो प्राकृतिक संख्या नहीं है?
हाँ, 0 एक ऐसी पूर्ण संख्या है जो प्राकृतिक संख्या नही है. क्योंकि, प्राकृत संख्या 1 से शुरू होती है.
प्राकृत संख्याओं के गुण (Properties of Natural numbers)
दो प्राकृत संख्याओं का आपस में योग करने से या गुणा करने पर प्राकृत संख्या ही प्राप्त होती है।
दो प्राकृत संख्याओं का आपस में व्यवकलन (घटाना) या भाग करने से सदैव प्राकृत संख्या प्राप्त नही होती है।
दो प्राकृत संख्याओं को किसी भी क्रम में जोड़ सकते हैं। दो प्राकृत संख्याओं को किसी भी क्रम में गुणा कर सकते हैं। अर्थात प्राकृत संख्याओं के लिए क्रमविनिमय का नियम योग व गुणन संक्रिया में लागू होता है जबकि घटाने एवं भाग संक्रिया पर लागू नही होता।
प्राकृत संख्याओं के लिए साहचार्य नियम योग एवं गुणा संक्रिया में लागू होता है जबकि घटाने एवं भाग संक्रिया में लागू नहीं होता।
प्राकृत संख्याओं के लिए गुणा का योग व अन्तर पर बंटन (वितरण) होता है।
किसी प्राकृत संख्या मे एक से गुणा या भाग करने पर संख्या का मान नही बदलता।
इस प्रकार a,b,c तीन प्राकृत संख्याओं के लिए
(a+b) एक प्राकृत संख्या है।
(axb) एक प्राकृत संख्या है।
a-b सदैव एक प्राकृत संख्या हो आवश्यक नही है।
a+b सदैव एक प्राकृत संख्या हो, जरूरी नही है।
Questions
41600 तथा 41006 में कौन सी संख्या बड़ी है?
1 से 100 के बीच की संख्याएँ लिखने के लिए कितने बार 9 का प्रयोग करना पड़ता है?
चार अंकों की सबसे बड़ी प्राकृत संख्या तथा तीन अंकों की सबसे छोटी प्राकृत संख्या के बीच का अंतर निकालिए ?
सम और विषम संख्या : अंतर और योगफल ( Even and Odd Number)
सम संख्या: वे संख्याएँ जो 2 से पूर्णतः विभाजित होती हैं सम संख्या कहलाती है। जैसे: 2, 4, 6, 8, 10, 12 विषम संख्या: वे संख्याएँ जो 2 से पूर्णतः विभाजित नहीं होती हैं विषम संख्या कहलाती है। जैसे: 1, 3, 5, 7, 9, 11 … इत्यादि।
सम और विषम संख्या का योगफल
सम संख्या (Even Number) और विषम संख्या (Odd Number) के योगफल से संबंधित नियम सरल हैं। इसे समझने के लिए निम्नलिखित फार्मूले उपयोग किए जा सकते हैं:
1. सम + सम = सम
दो सम संख्याओं का योगफल हमेशा एक सम संख्या होती है।
उदाहरण: 4+6=10 (सम संख्या)
2. विषम + विषम = सम
दो विषम संख्याओं का योगफल हमेशा एक सम संख्या होती है।
उदाहरण: 3+5=8 (सम संख्या)
3. सम + विषम = विषम
एक सम और एक विषम संख्या का योगफल हमेशा एक विषम संख्या होती है।
उदाहरण: 4+5=9 (विषम संख्या)
लगातार सम और विषम संख्याओं के योग
लगातार सम संख्याओं और लगातार विषम संख्याओं के योग के लिए निम्नलिखित सूत्र उपयोग किए जाते हैं:
1. लगातार दो सम संख्याओं का योगफल:
लगातार दो सम संख्याओं के बीच अंतर 2 होता है।
यदि पहली सम संख्या x है, तो दूसरी सम संख्या x+2 होगी।
योगफल = x+(x+2)=2x+2
उदाहरण: 6 और 8 के लिए: 6+8=2(6)+2=12+2=14
2. लगातार दो विषम संख्याओं का योगफल:
लगातार दो विषम संख्याओं के बीच भी अंतर 2 होता है।
यदि पहली विषम संख्या y है, तो दूसरी विषम संख्या y+2 होगी।
योगफल = y+(y+2)=2y+2
उदाहरण: 7 और 9के लिए: 7+9=2(7)+2=14+2=16
3. लगातारn सम संख्याओं का योगफल:
यदि लगातार n सम संख्याओं का योग निकालना है, तो इसका फार्मूला होगा:
योगफल = n(n+1)
उदाहरण: पहली 3 सम संख्याओं (2, 4, 6) का योग: 3(3+1)=3×4=12
4. लगातारn विषम संख्याओं का योगफल:
यदि लगातार n विषम संख्याओं का योग निकालना है, तो इसका फार्मूला होगा:
योगफल = n2
उदाहरण: पहली 3 विषम संख्याओं (1, 3, 5) का योग: 32=9
सारांश:
लगातार दो सम या विषम संख्याओं का योग 2x+2 के रूप में होता है।
लगातार n सम संख्याओं का योग n(n+1) होता है।
लगातार n विषम संख्याओं का योग n2 होता है।
5. लगातार n प्राकृत संख्याओं का योगफल:
लगातार प्राकृत संख्याओं (Natural Numbers) का योग निकालने के लिए एक सामान्य सूत्र होता है, जिसे समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है:
योगफल = n(n+1)/2
जहाँ n वह संख्या है, जहाँ तक योग निकालना है।
उदाहरण:
1. यदि आपको 1 से 10 तक की प्राकृत संख्याओं का योग निकालना है, तो n = 10 होगा:
योगफल = 10(10+1)/2
10 x 11/2 = 110/2 = 55
2. यदि आपको 1 से 20 तक की प्राकृत संख्याओं का योग निकालना है, तो n = 20 होगा:
योगफल = 20(20+1)/2 = 20 x 21/2 = 420/2 = 210
सारांश:
पहली n प्राकृत संख्याओं का योग निकालने के लिए फार्मूला है:
योगफल = n(n+1)/2
इस फार्मूले का उपयोग किसी भी संख्या तक की प्राकृत संख्याओं का योग निकालने के लिए किया जा सकता है।
यहाँ सम और विषम संख्याओं, उनके अंतर, लगातार योगफल, और प्राकृत संख्याओं के लगातार योगफल से संबंधित MCQs दिए गए हैं:
MCQ:
1. सम और विषम संख्या का अंतर:
यदि 12 और 7 का अंतर निकाला जाए, तो परिणाम क्या होगा?
a) 5 (सम संख्या)
b) 6 (सम संख्या)
c) 5 (विषम संख्या)
d) 4 (सम संख्या)
उत्तर: c) 5 (विषम संख्या)
किसी विषम संख्या से सम संख्या घटाने पर परिणाम कैसा होगा?
a) हमेशा विषम संख्या
b) हमेशा सम संख्या
c) कभी विषम कभी सम
d) हमेशा शून्य
उत्तर: a) हमेशा विषम संख्या
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही है?
a) दो सम संख्याओं का अंतर विषम होता है।
b) दो विषम संख्याओं का अंतर विषम होता है।
c) विषम संख्या और सम संख्या का अंतर विषम होता है।
d) सम संख्या और विषम संख्या का अंतर सम होता है।
उत्तर: c) विषम संख्या और सम संख्या का अंतर विषम होता है।
2. लगातार सम और विषम संख्याओं का योगफल:
लगातार दो सम संख्याओं का योग निकालने का फार्मूला क्या है?
a) 2x
b) 2x+1
c) 2x+2
d) x+2
उत्तर: c) 2x+2
यदि x=8 हो, तो लगातार दो सम संख्याओं का योगफल क्या होगा?
a) 16
b) 18
c) 20
d) 22
उत्तर: b) 18
लगातार दो विषम संख्याओं का योगफल क्या होगा?
a) 2x+2
b) 2x+1
c) 2x
d) x+1
उत्तर: a) 2x+2
लगातार विषम संख्याओं 11 और 13 का योग क्या होगा?
a) 22
b) 24
c) 26
d) 28
उत्तर: b) 24
3. लगातार प्राकृत संख्याओं का योगफल:
पहली n प्राकृत संख्याओं का योगफल निकालने का फार्मूला क्या है?
a) n(n+1)/2
b) n(n+2)/2
c) n(n+1)
d) n(n+2)
उत्तर: a) n(n+1)/2
पहली 10 प्राकृत संख्याओं का योगफल क्या होगा?
a) 50
b) 55
c) 60
d) 65
उत्तर: b) 55
लगातार n विषम संख्याओं का योगफल क्या होता है?
a) n(n+1)
b) n2
c) 2n
d) 2n+1
उत्तर: b) n2
पहली 5 विषम संख्याओं का योगफल क्या होगा?
a) 25
b) 15
c) 9
d) 36
उत्तर: a) 25
4. प्राकृत संख्याओं का लगातार योगफल:
यदि पहली 7 प्राकृत संख्याओं का योग निकाला जाए, तो परिणाम क्या होगा?
a) 21
b) 28
c) 15
d) 35
उत्तर: b) 28
1 से 100 तक की प्राकृत संख्याओं का योगफल क्या होगा?
भारतीय गणना प्रणाली (Indian Numbering System) एक परंपरागत गणना प्रणाली है जो भारतीय उपमहाद्वीप में व्यापक रूप से उपयोग की जाती है। यह प्रणाली विशेष रूप से बड़ी संख्याओं को समूहित करने के तरीके में अद्वितीय है। यहाँ पर संख्या को अलग-अलग समूहों में विभाजित किया जाता है, जैसे लाख, करोड़, अरब, आदि।
भारतीय गणना प्रणाली (Indian Number System)
भारतीय गणना प्रणाली में स्थानिक मूल्य (Place Value) निम्नलिखित है:
एकक (Units): 1
दहाई (Tens): 10
सैकड़ा (Hundreds): 100
हजार (Thousands): 1,000
दस हजार (Ten Thousands): 10,000
लाख (Lakhs): 1,00,000
दस लाख (Ten Lakhs): 10,00,000
करोड़ (Crores): 1,00,00,000
दस करोड़ (Ten Crores): 10,00,00,000
भारतीय गणना प्रणाली की प्रमुख विशेषताएँ:
स्थानिक मूल्य (Place Value): प्रत्येक अंक का मान उसकी स्थिति के अनुसार बदलता है, जैसे संख्या 52,43,876 में:
6 एकक (Units)
7 दहाई (Tens)
8 सैकड़ा (Hundreds)
3 हजार (Thousands)
4 दस हजार (Ten Thousands)
2 लाख (Lakhs)
5 दस लाख (Ten Lakhs)
संख्या विभाजन (Number Grouping):
बड़ी संख्याओं को पढ़ने और समझने में आसानी के लिए इन्हें लाख, करोड़, आदि में विभाजित किया जाता है। उदाहरण के लिए, 1,23,45,678 को “एक करोड़ तेईस लाख पैंतालीस हजार छह सौ अठहत्तर” पढ़ा जाता है।
अद्वितीय नामकरण (Unique Naming):
भारतीय प्रणाली में बड़ी संख्याओं के लिए विशेष नाम होते हैं, जैसे लाख (Lakh) और करोड़ (Crore), जो अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली में नहीं पाए जाते।
उदाहरण:
1,00,000 को “एक लाख” कहा जाता है।
10,00,000 को “दस लाख” कहा जाता है।
1,00,00,000 को “एक करोड़” कहा जाता है।
10,00,00,000 को “दस करोड़” कहा जाता है।
भारतीय गणना प्रणाली की यह संरचना इसे बड़ी संख्याओं को सरलता से पढ़ने और समझने में सहायक बनाती है।
भारतीय गणना प्रणाली (Indian Number System) से संबंधित कुछ महत्वपूर्ण MCQ निम्नलिखित हैं:
1. भारतीय गणना प्रणाली में एक लाख (1,00,000) को क्या कहा जाता है?
(A) Ten Thousand
(B) Lakh
(C) Million
(D) Crore उत्तर: (B) Lakh
2. भारतीय गणना प्रणाली में 10 करोड़ (10,00,00,000) को क्या कहा जाता है?
(A) Million
(B) Billion
(C) Crore
(D) Trillion उत्तर: (C) Crore
3. भारतीय गणना प्रणाली में हजार का स्थान किसके बाद आता है?
(A) इकाई
(B) दहाई
(C) सैकड़ा
(D) लाख उत्तर: (C) सैकड़ा
4. निम्नलिखित में से कौन-सा सही संख्या है जो भारतीय गणना प्रणाली के अनुसार लिखी गई है?
(A) 123,456,789
(B) 1,23,45,678
(C) 12,345,678
(D) 1,234,567 उत्तर: (B) 1,23,45,678
5. भारतीय गणना प्रणाली में “अरब” के बाद कौन-सा स्थान आता है?
(A) खरब
(B) लाख
(C) करोड़
(D) नील उत्तर: (A) खरब
6. भारतीय गणना प्रणाली में 1 लाख की तुलना में 10 करोड़ कितनी बड़ी संख्या है?
(A) 10 गुना
(B) 100 गुना
(C) 1,000 गुना
(D) 10,000 गुना उत्तर: (D) 10,000 गुना
7. 7 अंकों की सबसे छोटी संख्या भारतीय गणना प्रणाली के अनुसार क्या है?
(A) 1,00,000
(B) 1,00,00,000
(C) 10,00,000
(D) 10,000 उत्तर: (C) 10,00,000
8. भारतीय गणना प्रणाली में ‘दस लाख’ को अंग्रेजी में क्या कहा जाता है?
(A) Hundred Thousand
(B) One Million
(C) Ten Million
(D) One Billion उत्तर: (B) One Million
9. भारतीय गणना प्रणाली में एक अरब (1,00,00,00,000) कितने करोड़ होते हैं?
(A) 10 करोड़
(B) 100 करोड़
(C) 1,000 करोड़
(D) 10,000 करोड़ उत्तर: (B) 100 करोड़
10. भारतीय गणना प्रणाली में 10 के स्थान पर क्या अंक होता है?
अंतर्राष्ट्रीय गणना प्रणाली, जिसे आमतौर पर अरबी अंक प्रणाली (Arabic Numerals System) के नाम से जाना जाता है, वर्तमान में विश्वभर में सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली गणना प्रणाली है। इस प्रणाली में निम्नलिखित अंक शामिल होते हैं: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, और 9।
अंतर्राष्ट्रीय गणना प्रणाली (Arabic Numerals System)
यह प्रणाली दशमलव (Decimal) प्रणाली पर आधारित है, जिसका आधार 10 है। इसमें संख्याओं को एक निश्चित स्थान पर रखकर उनकी मान्यता की जाती है। उदाहरण के लिए:
एकांक स्थान (Units place)
दहाई स्थान (Tens place)
सैकड़ा स्थान (Hundreds place)
हजार स्थान (Thousands place)
मिलियन स्थान (Million place) आदि।
यहाँ अंतरराष्ट्रीय गणना प्रणाली पर आधारित कुछ MCQ (Multiple Choice Questions) दिए गए हैं, जो छात्रों के लिए सहायक हो सकते हैं:
1. निम्नलिखित में से कौन-सा संख्या सही रूप से अंतरराष्ट्रीय प्रणाली में लिखा गया है?
A. 1,000,000 B. 10,00,000 C. 1,00,00,000 D. 1000000
उत्तर: A. 1,000,000
2. अंतरराष्ट्रीय गणना प्रणाली में 1,000,000 को किस रूप में पढ़ा जाता है?
A. दस लाख B. एक मिलियन C. दस मिलियन D. एक अरब
उत्तर: B. एक मिलियन
3. निम्नलिखित में से कौन-सा अंतरराष्ट्रीय अंकन प्रणाली का सही स्वरूप है?
A. Ones, Tens, Hundreds, Thousands, Lakhs B. Ones, Tens, Hundreds, Thousands, Millions, Billions C. Ones, Tens, Hundreds, Thousands, Lakhs, Crores D. Ones, Tens, Hundreds, Thousands, Millions, Crores
उत्तर: B. Ones, Tens, Hundreds, Thousands, Millions, Billions
4. 52,763,841 को अंतरराष्ट्रीय प्रणाली में कैसे पढ़ा जाएगा?
A. पचास दो लाख, सत्ताईस हजार, छः सौ इक्यासी B. पचपन मिलियन, सात लाख, छियासठ हजार, आठ सौ इक्यासी C. पचास मिलियन, सात लाख, छिहत्तर हजार, आठ सौ इक्यासी D. पचास दो मिलियन, सत्तर हजार, छियासी हजार, आठ सौ इक्यासी
उत्तर: C. पचास मिलियन, सात लाख, छिहत्तर हजार, आठ सौ इक्यासी
5. अंतरराष्ट्रीय अंक प्रणाली में “Billions” के बाद कौन-सा स्थान आता है?
A. Trillions B. Millions C. Thousands D. Quadrillions
उत्तर: A. Trillions
6. 7,654,321 को अंतरराष्ट्रीय अंक प्रणाली में क्या कहा जाएगा?
A. सात मिलियन, छः लाख, पचास चार हजार, तीन सौ इक्यासी B. सात मिलियन, छः लाख, पचपन हजार, तीन सौ इक्यासी C. सात मिलियन, छः लाख, पचास चार हजार, तीन सौ इक्कीस D. सात मिलियन, छः लाख, पचास चार हजार, तीन सौ इक्यावन
उत्तर: C. सात मिलियन, छः लाख, पचास चार हजार, तीन सौ इक्कीस
7. 1 Billion में कितने Millions होते हैं?
A. 100 B. 1,000 C. 10 D. 1
उत्तर: C. 1,000
8. 123,456,789 को अंतरराष्ट्रीय अंकन प्रणाली में कैसे पढ़ेंगे?
A. एक सौ तेईस मिलियन, चार लाख, पचास छः हजार, सात सौ इक्यासी B. एक सौ तेईस मिलियन, चार लाख, छप्पन हजार, सात सौ इक्यासी C. एक सौ तेईस मिलियन, चालीस छः लाख, छप्पन हजार, सात सौ इक्यासी D. एक सौ बीस तीन मिलियन, चालीस पांच हजार, छप्पन हजार, सात सौ इक्यासी
उत्तर: B. एक सौ तेईस मिलियन, चार लाख, छप्पन हजार, सात सौ इक्यासी
9. निम्नलिखित में से कौन-सा संख्या अंतरराष्ट्रीय अंकन प्रणाली का हिस्सा नहीं है?
A. Millions B. Billions C. Lakhs D. Trillions
उत्तर: C. Lakhs
10. अंतरराष्ट्रीय प्रणाली में 12,345,678 को कैसे विभाजित किया जाएगा?
A. 12 Million, 345 Thousand, 678 B. 12 Billion, 345 Million, 678 Thousand C. 12 Thousand, 345 Hundred, 678 D. 12 Crores, 345 Lakhs, 678 Thousands
रोमन गणना प्रणाली (Roman Numerals System) एक प्राचीन गणना प्रणाली है जिसमें अंकों को वर्णमाला द्वारा दर्शाया जाता है। यह प्रणाली रोमन सभ्यता द्वारा प्रयोग की जाती थी और आज भी कुछ विशेष संदर्भों में उपयोग की जाती है।
रोमन गणना प्रणाली(Roman Numerals System)
रोमन गणना प्रणाली में, प्रमुख रोमन संख्याओं के वर्ण हैं: I, V, X, L, C, D, और M, जो निम्नलिखित मानों को दर्शाते हैं:
I = 1
V = 5
X = 10
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1000
रोमन गणना प्रणाली: नियम
रोमन गणना प्रणाली में कुछ नियम होते हैं:
एक संकेत के दाईं ओर एक संकेत का अधिकार वहीं होता है। जैसे, II = 2, VIII = 8।
छोटे संकेत, जैसे I, X, C, इस उदाहरण में, बड़े संकेत, जैसे V, L, D, और M,
यदि एक छोटा संकेत एक बड़े संकेत के बाईं ओर होता है, तो यह बड़े संकेत से घटाया जाता है। उदाहरण के लिए:
IV = 4 (5 – 1)
IX = 9 (10 – 1)
XL = 40 (50 – 10)
XC = 90 (100 – 10)
CD = 400 (500 – 100)
CM = 900 (1000 – 100)
एक ही संकेत को लगातार तीन से अधिक बार उपयोग नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, 4 को IIII नहीं, बल्कि IV लिखा जाता है।
इन नियमों के आधार पर, रोमन अंकों को संयोजित कर किसी भी संख्या को लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए:
1987 = MCMLXXXVII
M = 1000
CM = 900
L = 50
XXX = 30
VII = 7
4000 को रोमन संख्या में IV̅ लिखा जाता है।
यहाँ IV̅ में “I” से पहले “V” का अर्थ 4 होता है, और ऊपर की रेखा ( – ) संख्या को 1000 से गुणा करती है।
यहाँ पर रोमन अंक प्रणाली पर आधारित कुछ महत्वपूर्ण MCQ दिए गए हैं:
प्रश्न 1: रोमन अंक “XVI” का दशमलव मान क्या है?
A) 14
B) 16
C) 18
D) 20 उत्तर: B) 16
प्रश्न 2: रोमन अंक “L” का दशमलव मान क्या है?
A) 100
B) 500
C) 50
D) 5 उत्तर: C) 50
प्रश्न 3: रोमन अंक “C” किस संख्या का प्रतीक है?
A) 50
B) 100
C) 150
D) 200 उत्तर: B) 100
प्रश्न 4: निम्नलिखित में से कौन सा सही रोमन अंक है?
A) IIII
B) IV
C) IIV
D) VV उत्तर: B) IV
प्रश्न 5: रोमन अंक “D” का दशमलव मान क्या है?
A) 1000
B) 500
C) 50
D) 100 उत्तर: B) 500
प्रश्न 6: रोमन अंक “IX” किस संख्या का प्रतिनिधित्व करता है?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10 उत्तर: C) 9
प्रश्न 7: रोमन अंक “XL” का दशमलव मान क्या है?
A) 30
B) 40
C) 60
D) 90 उत्तर: B) 40
प्रश्न 8: रोमन अंक “MCMXC” किस संख्या का प्रतीक है?
A) 1900
B) 1990
C) 1950
D) 2000 उत्तर: B) 1990
प्रश्न 9: निम्नलिखित में से कौन सा रोमन अंक “94” को सही ढंग से दर्शाता है?
A) XCIV
B) IXIV
C) LXXXXIV
D) IC उत्तर: A) XCIV
प्रश्न 10: 2023 को रोमन अंकों में कैसे लिखा जाता है?
संख्या पद्धति(NUMBER SYSTEM): सूत्र व महत्वपूर्ण तथ्य
संख्या पद्धति ((NUMBER SYSTEM)के सूत्र
लगातार प्राकृत संख्याओं के योग = n(n + 1)/2
लगातार सम संख्याओं के योग = n/2 (n/2 + 1)
लगातार विषम संख्याओं के योग = (n/2 + 1)²
दो क्रमागत पदों का अंतर समान हो तो योग = पदों की संख्या (पहला पद + अंतिम पद)/2
लगातार प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग = n(n + 1)(2n + 1)/6
लगातार प्राकृत संख्याओं के घनों का योग = [n(n + 1)/2]²
प्रथम से n तक कि सम संख्याओं का योग = n(n + 1)
प्रथम से n तक कि विषम संख्याओं का योग = n²
भागफल = भाज्य ÷ भाजक (पूर्ण विभाजन में)
भाज्य = भागफल × भाजक (पूर्ण विभाजन में)
भाजक = भाज्य ÷ भागफल (पूर्ण विभाजन में)
भागफल = (भाज्य – शेषफल) ÷ भाजक (अपूर्ण विभाजन में)
भाज्य = भागफल × भाजक + शेषफल (अपूर्ण विभाजन में)
भाजक = (भाज्य – शेषफल) ÷ भागफल (अपूर्ण विभाजन में)
संख्या पद्धति के महत्वपूर्ण बिंदु
संख्या 1 न तो भाज्य है और न अभाज्य
ऐसी संख्या जो अभाज्य हो एवं सम संख्या हो केवल 2 है।
वे दो अभाज्य संख्याएँ जिनके बीच केवल एक सम संख्या होती है।
जिसमें अभाज्य जोड़ा जाए कहलाती है। जैसे : 5 व 7, 3 व 5, 11 व 13, 17 व 19, 29 व 31 आदि।
सभी प्राकृत संख्याएँ, पूर्ण, पूर्णाक, परिमेय एवं वास्तविक होती हैं।
सभी पूर्ण संख्याएँ, पूर्णांक, परिमेय एवं वास्तविक होती हैं।
सभी पूर्णाक, परिमेय एवं वास्तविक होते हैं।
सभी पूर्णांक, परिमेय एवं अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक होती हैं।
अभाज्य (रूढ़) एवं यौगिक, सम तथा विषम संख्या होती हैं।
सभी पूर्णाक, परिमेय एवं अपरिमेय संख्याएँ ऋणात्मक एवं धनात्मक दोनों होती हैं।
प्राकृत ( अभाज्य, यौगिक, सम एवं विषम ) एवं पूर्ण संख्याएँ कभी भी ऋणात्मक नहीं होती हैं।
भिन्न संख्याएँ परिमेय होती हैं।
2 के अतिरिक्त सभी अभाज्य (रूढ़) संख्याएँ विषम होती हैं।
0 ऋणात्मक एवं धनात्मक नहीं है।
शून्य ( 0 ) में किसी भी संख्या का भाग देने पर शून्य आता है अतः 0/a = 0 (यहाँ पर a वास्तविक संख्या है)
किसी भी संख्या में शून्य का भाग देना परिभाषित नहीं है अर्थात् यदि किसी भी संख्या में शून्य का भाग देते हैं, तो भागफल अनन्त (Infinite या Non Defined) आता है, अतः a/0 = ∞ (Infinite)
किसी संख्या में किसी अंक का जो वास्तविक मान होता है, उसे जातीय मान कहते हैं, जैसे: 5283 में 2 का जातीय मान 2 है।
किसी संख्या में किसी अंक का स्थान के अनुसार जो मान होता है उसे उसका स्थानीय मान कहते हैं, जैसे – 5283 में 2 का स्थानीय मान 200 है।
दो परिमेय संख्याओं का योगफल अथवा गुणनफल सदैव एक परिमेय संख्या होती है।
दो अपरिमेय संख्याओं का योगफल अथवा गुणनफल कभी परिमेय संख्या तथा कभी अपरिमेय संख्या होता है।
एक परिमेय संख्या तथा एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल अथवा योगफल सदैव एक अपरिमेय संख्या होता है।
π एक अपरिमेय संख्या है।
दो परिमेय संख्याओं या दो अपरिमेय संख्याओं के बीच अनन्त परिमेय संख्याएँ या अनन्त अपरिमेय संख्याएँ हो सकती हैं।
परिमेय संख्या को दशमलव निरूपण या तो सीमित होता है या असीमित आवर्ती होता है, जैसे:- 3/4 = 0.75 ( सीमित ) 11/3 = 3.666 (असीमित आवर्ती)
अपरिमेय संख्या का दशमलव निरूपण अनन्त व अनावर्ती होता है, जैसे:- √3, √2
प्रत्येक सम संख्या का वर्ग एक सम संख्या होती है तथा प्रत्येक विषम संख्या का वर्ग एक विषम संख्या होती है।
यदि दशमलव संख्याएँ 0.x तथा 0.xy के रूप में दी होती हैं , तो इन्हें परिमेय संख्या p/q के रूप में निम्नवत् बदलते हैं।
0.x = x/10 तथा 0.xy = xy/100 अर्थात् दशमलव के बाद 1 अंक है , तो 10 का , दो अंक हैं, तो 100 का, तीन अंक हैं, तो 1000 का भाग देने पर दशमलव संख्या परिमेय (भिन्न) बन जाती है।
यदि अशान्त ( अनन्त ) आवर्ती दशमलव संख्याएँ 0.x तथा xy के रूप की हैं , तो इन्हें परिमेय संख्या p/q के रूप में निम्नवत् बदलते हैं।
0.x̅ = x/9 तथा 0. x̅x̅ = xx/99 अर्थात् दशमलव के बाद 1 अंक बार सहित हो , तो 9 का , दो अंक बार सहित हों तो 99 का , तीन अंक हों तो 999 का भाग करके दशमलव संख्या परिमेय में बदल जाती है।
यदि अशान्त आवर्ती दशमलव संख्याएँ 0.xy तथा 0.xyz के रूप की हों , तो इन्हें परिमेय संख्या p/q के रूप में निम्नवत् बदलते हैं – 0.x̅y̅ (xy – x)/90 तथा 0.x̅y̅z̅ = (xyz – x)/990 (यहाँ x , y , z प्राकृतिक अंक हैं)
किसी भी पहाड़े का योग उस संख्या (पहाड़े) के 55 गुने के बराबर होता है। अर्थात् n के पहाड़े का योगफल = 55n
विभाज्यता के नियम (divisibility rule) उन विधियों को कहते हैं जो सरलता से बता देते हैं कि कोई प्राकृतिक संख्या किसी दूसरी संख्या से विभाजित हो सकती है या नहीं।
विभाज्यता के नियम (Divisibility Rule)
विभाजक
विभाजन की शर्त/शर्तें
उदाहरण
1
स्वत:
सभी पूर्णांक 1 से विभाज्य हैं।
2
संख्या का अन्तिम अंक सम (0, 2, 4, 6, or 8) हो।
1,294: इसमें अन्तिम अंक 4 सम है।
3
दी हुई संख्या के सभी अंकों का योग 3 से विभाजित हो। बहुत बड़ी संख्याओं (जिनके अंकों का योग भी बड़ी संख्या हो) के लिये यह नियम अंकों के योग पर भी लागू किया जाता है।
405:6+3+6=15 जो कि 3 से विभाज्य है। 16,499,205,854,376 के अंकों का योग 69 है; 6 + 9 = 15, 1 + 5 = 6, जो स्पष्टत: 3 से विभाज्य है।
4
संख्या के इकाई स्थान के अंक में दहाई स्थान के अंक का दो गुना जोड़िये। (दहाई स्थान के बांये के सारे अंकों का इसके लिये कोई महत्व नहीं है।)
5,096: 6 + (2 × 9) = 24
अन्तिम दों अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो।
40832: 32 is divisible by 4.
यदि दहाई स्थान पर स्थित अंक सम हो तथा इकाई स्थान पर 0, 4, या 8 हो।यदि दहाई स्थान का अंक विषम हो तथा इकाई स्थान पर 2, या 6.
40832: 3 विषम है, तथा अन्तिम अंक 2 है।
5
अन्तिम अंक 0 या 5.
490: अतिम अंक 0 है।
6
संख्या 2 और 3 दोनो से विभक्त होती हो।
1,458: 1 + 4 + 5 + 8 = 18, 1 + 8 = 9, अत: संख्या 3 से विभाज्य है और साथ ही अन्तिम अंक सम होने के कारण 2 से भी विभाज्य है। इसलिये यह संख्या 6 से विभाज्य है।
अन्तिम अंक में अन्य अंकों के योग का चौगुना जोड़ें।
198: (1 + 9) × 4 + 8 = 48
7
निम्नलिखित प्रक्रिया करने के बाद प्राप्त संख्या 7 से विभाज्य होनी चाहिये:
दायें से बायें तरफ संख्या के अंकों का तीन-तीन का समूह बनाकर इनका एकान्तर योग निकालिये।
1,369,851: 851 – 369 + 1 = 483 = 7 × 69
अन्तिम अंक का दोगुना, बाकी संख्या से घटाइये और जांचिये कि परिणाम 7 से विभाज्य है या नहीं।
483: 48 – (3 × 2) = 42 = 7 x 6.
या, अन्तिम संख्या के पाँच गुने में बाकी बची संख्या को जोड़िये.
483: 48 + (3 × 5) = 63 = 7 x 9.
8
निम्नलिखित प्रक्रिया करने के बाद प्राप्त संख्या 8 से विभाज्य होनी चाहिये:
यदि ‘सैकड़ा’ के स्थान वाला अंक सम है तो अन्तिम दो अंकों से बनी संख्या की परीक्षा कीजिये कि यह 8 से विभाज्य है या नहीं।
624: 24.
यदि सैकड़ा के स्थान पर वाला अंक विषम है तो अन्तिम दो अंकों से बनी संख्या में 4 जोड़कर परीक्षा कीजिये कि यह 8 से विभाज्य है या नहीं।.
352: 52 + 4 = 56.
इकाई स्थान के अंक को छोड़कर जो संख्या बचती है उसके दोगुने में इकाई वाला अंक जोड़िये और परीक्षा कीजिये कि यह 8 से विभाज्य है या नहीं।
56: (5 × 2) + 6 = 16.
संख्या के केवल अन्तिम तीन अंकों से बनी संख्या की परीक्षा कीजिये और देखिये कि यह 8 से विभाज्य है या नहीं।
34152: केवल 152 के विभाज्यता की परीक्षा कीजिये: 19 x 8
9
सभी अंकों का योगफल 9 से विभाज्य होना चाहिये। बड़ी संख्याओं के लिये यह क्रिया बार-बार की जा सकती है अर्थात अंकों का योग भी बड़ा हो तो उसकी भी इसी रीति से परीक्षा की जाती है। अन्तिम परिणाम 9 आना चाहिये।
2,880: 2 + 8 + 8 + 0 = 18: 1 + 8 = 9.
10
अन्तिम अंक शून्य (0) होना चाहिये।
130: अन्तिम अंक 0 है।
11
निम्नलिखित प्रक्रियाओं के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्या 11 से विभाज्य होनी चाहिये:
एकानतर अंकों (एक-एक अंक छोड़कर) का योग-घटाना कीजिये और देखिये कि यह 11 से विभाजित होता है या नहीं।
918,082: 9 – 1 + 8 – 0 + 8 – 2 = 22.
दायें से बायें तरफ संख्या के अंकों को दो-दो के समूह में योग कीजिये और देखिये कि यह 11 से विभाजित होता है या नहीं।
627: 6 + 27 = 33.
अन्तिम अंक को बाकी बचे अंकों से बनी संख्या से घटाइये और देखिये कि यह 11 से विभाजित होता है या नहीं।
627: 62 – 7 = 55.
12
जो संख़्या,3 और 4 दोनो से विभाज्य़ हो
324: it is divisible by 3 and by 4.
अंतिम अंक को शेष के दोगुने से घटाएं।
324: (32 × 2) − 4 = 60.
13
इन उदाहरणों से प्राप्त संख्या 13 से विभाज्य होनी चाहिए, इस प्रकार:
अंकों को दाएं से बाएं तीन के वैकल्पिक ब्लॉक में जोड़ें, फिर दो योग घटाएं।
2,911,272: − (2 + 272) + 911 = 637
शेष में अंतिम अंक का 4 गुना जोड़ें।
637: 63 + (7 × 4) = 91, 9 + (1 × 4) = 13.
14
यह 2 और 7 से विभाज्य है।
224: it is divisible by 2 and by 7.
अंतिम दो अंकों को शेष के दोगुने में जोड़ें। उत्तर 14 से विभाज्य होना चाहिए।
364: (3 × 2) + 64 = 70.
विभाज्यता नियम 1
प्रत्येक संख्या 1 से विभाज्य है। 1 के लिए विभाज्यता नियम में कोई शर्त नहीं है। किसी भी संख्या को 1 से विभाजित करने पर संख्या स्वयं प्राप्त होगी, चाहे वह संख्या कितनी भी बड़ी क्यों न हो। उदाहरण के लिए, 3, 1 से विभाज्य है और 3000 भी 1 से पूर्णतः विभाज्य है।
2 का विभाज्यता नियम
यदि कोई संख्या सम है या ऐसी संख्या जिसका अंतिम अंक सम संख्या है यानी 0 सहित 2,4,6,8, तो वह हमेशा 2 से पूर्णतः विभाज्य होती है।
उदाहरण: 508 एक सम संख्या है और 2 से विभाज्य है, लेकिन 509 एक सम संख्या नहीं है, इसलिए यह 2 से विभाज्य नहीं है। 508 2 से विभाज्य है या नहीं, इसकी जांच करने की प्रक्रिया इस प्रकार है:
संख्या 508 पर विचार करें
बस अंतिम अंक 8 लें और इसे 2 से विभाजित करें
यदि अंतिम अंक 8, 2 से विभाज्य है तो संख्या 508 भी 2 से विभाज्य है।
3 के लिए विभाज्यता नियम
3 के लिए विभाज्यता नियम कहता है कि कोई संख्या 3 से पूर्णतः विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।
308, 3 से विभाज्य है या नहीं ?
अंकों का योग लें (अर्थात् 3+0+8= 11)। अब जांचें कि योग 3 से विभाज्य है या नहीं। यदि योग 3 का गुणज है, तो मूल संख्या भी 3 से विभाज्य है। यहाँ, चूँकि 11, 3 से विभाज्य नहीं है, 308 भी 3 से विभाज्य नहीं है।
इसी प्रकार, 516 पूर्णतः 3 से विभाज्य है क्योंकि इसके अंकों का योग अर्थात 5+1+6=12, 3 का गुणज है।
4 का विभाज्यता नियम
यदि किसी संख्या के अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य हैं, तो वह संख्या 4 का गुणज है और 4 से पूर्णतः विभाज्य है।
उदाहरण: संख्या 2308 लें।
अंतिम दो अंकों यानी 08 पर विचार करें। चूँकि 08, 4 से विभाज्य है, मूल संख्या 2308 भी 4 से विभाज्य है।
5 का विभाज्यता नियम
वे संख्याएँ, जिनके अंतिम अंक 0 या 5 हैं, हमेशा 5 से विभाज्य होती हैं। उदाहरण: 10, 10000, 10000005, 595, 396524850, आदि।
6 का विभाज्यता नियम
जो संख्याएँ 2 और 3 दोनों से विभाज्य हैं, वे 6 से भी विभाज्य हैं। अर्थात्, यदि दी गई संख्या का अंतिम अंक सम है और उसके अंकों का योग 3 का गुणज है, तो दी गई संख्या भी 6 का गुणज है।
उदाहरण: 630, संख्या 2 से विभाज्य है क्योंकि अंतिम अंक 0 है। अंकों का योग 6+3+0 = 9 है, जो 3 से भी विभाज्य है। इसलिए, 630, 6 से विभाज्य है।
7 के लिए विभाज्यता नियम
उदाहरण: क्या 1073, 7 से विभाज्य है?
बताए गए नियम से संख्या में से 3 हटाकर उसे दोगुना कर दें, जो 6 हो जाए।
शेष संख्या 107 हो जाती है, अत: 107-6 = 101।
प्रक्रिया को एक बार और दोहराने पर, हमारे पास 1 x 2 = 2 है।
शेष संख्या 10 – 2 = 8.
चूँकि 8, 7 से विभाज्य नहीं है, इसलिए संख्या 1073, 7 से विभाज्य नहीं है।
8 का विभाज्यता नियम
यदि किसी संख्या के अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य हैं, तो वह संख्या 8 से पूर्णतः विभाज्य है।
उदाहरण: संख्या 24344 लें। अंतिम दो अंकों यानी 344 पर विचार करें। चूँकि 344 8 से विभाज्य है, मूल संख्या 24344 भी 8 से विभाज्य है।
9 का विभाज्यता नियम
9 से विभाज्यता का नियम 3 से विभाज्यता नियम के समान है। अर्थात, यदि संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं 9 से विभाज्य है।
उदाहरण: 78532 पर विचार करें, क्योंकि इसके अंकों (7+8+5+3+2) का योग 25 है, जो 9 से विभाज्य नहीं है, इसलिए 78532, 9 से विभाज्य नहीं है।
10 का विभाज्यता नियम
10 के लिए विभाज्यता नियम कहता है कि कोई भी संख्या जिसका अंतिम अंक 0 है, वह 10 से विभाज्य है।
उदाहरण: 10, 20, 30, 1000, 5000, 60000, आदि।
11 के लिए विभाज्यता नियम
यदि किसी संख्या के वैकल्पिक अंकों के योग का अंतर 11 से विभाज्य है, तो वह संख्या 11 से पूर्णतः विभाज्य है।
अर्थात, विषम स्थानों के अंकों का योग – सम स्थानों के अंकों का योग = 0 या 11 का गुणज
यह जांचने के लिए कि क्या 2143 जैसी संख्या 11 से विभाज्य है, नीचे निम्नलिखित प्रक्रिया दी गई है।
वैकल्पिक अंकों को समूहित करें अर्थात जो अंक विषम स्थानों पर हैं उन्हें एक साथ और सम स्थानों के अंकों को एक साथ रखें। यहां 24 और 13 दो समूह हैं।
प्रत्येक समूह के अंकों का योग अर्थात 2+4=6 और 1+3= 4 लें
अब योगों का अंतर ज्ञात करें; 6-4=2
यदि अंतर 11 से विभाज्य है, तो मूल संख्या भी 11 से विभाज्य है। यहां 2 वह अंतर है जो 11 से विभाज्य नहीं है।
इसलिए, 2143 11 से विभाज्य नहीं है।
किसी संख्या की 11 से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिए कुछ और शर्तें हैं। उन्हें यहां उदाहरणों की सहायता से समझाया गया है:
यदि किसी संख्या के अंकों की संख्या सम है तो शेष संख्या में से पहला अंक जोड़ें और अंतिम अंक घटा दें।
उदाहरण: 3784
अंकों की संख्या = 4
अब, 78 + 3 – 4 = 77 = 7 × 11
इस प्रकार, 3784 11 से विभाज्य है।
यदि किसी संख्या के अंकों की संख्या विषम है तो शेष संख्या में से पहला और अंतिम अंक घटा दें।
उदाहरण: 82907
अंकों की संख्या = 5
अब, 290 – 8 – 7 = 275 × 11
इस प्रकार, 82907 11 से विभाज्य है।
संख्या के दाएँ सिरे से बाएँ सिरे तक दो अंकों के समूह बनाएँ और परिणामी समूहों को जोड़ें। यदि योग 11 का गुणज है, तो संख्या 11 से विभाज्य है।
उदाहरण: 3774 := 37 + 74 = 111 := 1 + 11 = 12
3774 11 से विभाज्य नहीं है.
253 := 2 + 53 = 55 = 5 × 11
253 11 से विभाज्य है.
संख्या के अंतिम अंक को शेष संख्या से घटाएं। यदि परिणामी मान 11 का गुणज है, तो मूल संख्या 11 से विभाज्य होगी।
उदाहरण: 9647
9647 := 964 – 7 = 957
957 := 95 – 7 = 88 = 8 × 11
इस प्रकार, 9647 11 से विभाज्य है।
12 का विभाज्यता नियम
यदि संख्या 3 और 4 दोनों से विभाज्य है, तो वह संख्या 12 से पूर्णतः विभाज्य है।
उदाहरण: 5864
अंकों का योग = 5 + 8 + 6 + 4 = 23 (3 का गुणज नहीं)
अंतिम दो अंक = 64 (4 से विभाज्य)
दी गई संख्या 5864 4 से विभाज्य है लेकिन 3 से नहीं; इसलिए, यह 12 से विभाज्य नहीं है।
13 के लिए विभाज्यता नियम
किसी भी संख्या के लिए, यह जांचने के लिए कि क्या वह 13 से विभाज्य है, हमें संख्या के अंतिम अंक का चार गुना शेष संख्या में जोड़ना होगा और प्रक्रिया को तब तक दोहराना होगा जब तक आपको दो अंकों की संख्या नहीं मिल जाती। अब जांचें कि वह दो अंकों की संख्या 13 से विभाज्य है या नहीं। यदि यह विभाज्य है, तो दी गई संख्या 13 से विभाज्य है।
उदाहरण के लिए: 2795 → 279 + (5 x 4)
→ 279 + (20)
→ 299
→ 29 + (9 x 4)
→ 29 + 36
→65
संख्या 65, 13 से विभाज्य है, 13 x 5 = 65.
यहाँ विभाज्यता के नियमों (Divisibility Rules) से संबंधित कुछ MCQs दिए गए हैं:
MCQ:
1. 123456 संख्या को किससे विभाजित करने के लिए विभाज्यता का नियम है: “अंतिम अंक 2, 4, 6, 8 या 0 होना चाहिए”?
(a) 2
(b) 3
(c) 5
(d) 9
उत्तर : a) 2
2. किसी संख्या को 3 से विभाजित करने के लिए कौन-सा विभाज्यता नियम है?
(a) अंतिम अंक 0 या 5 होना चाहिए।
(b) सभी अंकों का योग 3 से विभाज्य होना चाहिए।
(c) अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य होने चाहिए।
(d) संख्या का अंतिम अंक 2, 4, 6, 8 या 0 होना चाहिए।
उत्तर : b) सभी अंकों का योग 3 से विभाज्य होना चाहिए।
3. 5432 संख्या को 5 से विभाजित करने के लिए कौन-सा नियम लागू होगा?
(a) सभी अंकों का योग 5 होना चाहिए।
(b) अंतिम अंक 0 या 5 होना चाहिए।
(c) अंतिम दो अंक 25 से विभाज्य होने चाहिए।
(d) संख्या 4 से विभाज्य होनी चाहिए।
उत्तर : b) अंतिम अंक 0 या 5 होना चाहिए।
4. संख्या 1236 को 4 से विभाजित करने के लिए कौन-सा विभाज्यता नियम है?
(a) अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य होने चाहिए।
(b) अंतिम तीन अंक 4 से विभाज्य होने चाहिए।
(c) सभी अंकों का योग 4 से विभाज्य होना चाहिए।
(d) अंतिम अंक 4 होना चाहिए।
उत्तर : a) अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य होने चाहिए।
5. संख्या 176 को 8 से विभाजित करने के लिए कौन-सा विभाज्यता नियम लागू होता है?
(a) अंतिम दो अंक 8 से विभाज्य होने चाहिए।
(b) अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य होने चाहिए।
(c) सभी अंकों का योग 8 से विभाज्य होना चाहिए।
(d) अंतिम अंक 0 या 8 होना चाहिए।
उत्तर : b) अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य होने चाहिए।
6. 396 को 9 से विभाजित करने का नियम क्या है?
(a) सभी अंकों का योग 9 से विभाज्य होना चाहिए।
(b) अंतिम अंक 9 होना चाहिए।
(c) अंतिम दो अंक 9 से विभाज्य होने चाहिए।
(d) संख्या का अंतिम अंक 0 या 9 होना चाहिए।
उत्तर : a) सभी अंकों का योग 9 से विभाज्य होना चाहिए।
7. संख्या 132 को 6 से विभाजित करने के लिए कौन-सा नियम लागू होता है?
(a) संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए।
(b) अंतिम अंक 6 होना चाहिए।
(c) सभी अंकों का योग 6 होना चाहिए।
(d) अंतिम दो अंक 6 से विभाज्य होने चाहिए।
उत्तर : a) संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए।
8. संख्या 3725 को 25 से विभाजित करने के लिए कौन-सा विभाज्यता नियम है?
(a) अंतिम अंक 0 या 5 होना चाहिए।
(b) अंतिम दो अंक 25 से विभाज्य होने चाहिए।
(c) सभी अंकों का योग 25 से विभाज्य होना चाहिए।
(d) अंतिम तीन अंक 25 से विभाज्य होने चाहिए।
उत्तर : b) अंतिम दो अंक 25 से विभाज्य होने चाहिए।
9. किसी संख्या को 11 से विभाजित करने का विभाज्यता नियम क्या है?
(a) सभी अंकों का योग 11 से विभाज्य होना चाहिए।
(b) अंतिम अंक 11 होना चाहिए।
(c) वैकल्पिक अंकों के योग का अंतर 11 से विभाज्य होना चाहिए।
(d) अंतिम दो अंक 11 से विभाज्य होने चाहिए।
उत्तर : c) वैकल्पिक अंकों के योग का अंतर 11 से विभाज्य होना चाहिए।
10. संख्या 17250 को 10 से विभाजित करने का नियम क्या है?
(a) अंतिम अंक 5 होना चाहिए।
(b) अंतिम अंक 0 होना चाहिए।
(c) अंतिम दो अंक 10 से विभाज्य होने चाहिए।
(d) संख्या का अंतिम अंक 2 या 5 होना चाहिए।
उत्तर : b) अंतिम अंक 0 होना चाहिए।
ये MCQs छात्रों को विभाज्यता के नियमों को समझने में मदद करेंगे।
(1) शून्य कोण: वह कोण जिसका माप 0° हो शून्य कोण कहलाता है।
(2) सरल कोण: वह कोण जिसका माप 180° हो सरल कोण कहलाता है।
(3) न्यूनकोण: वह कोण जो 0° से बड़ा तथा 90° से छोटा हो, न्यूनकोण कहलाता है।
(4) समकोण: वह कोण जिसकी माप 90° हो समकोण कहलाता है। समकोण में एक भुजा दूसरी भुजा पर लम्ब होती है।
(5)अधिक कोण: एक कोण जिसका माप 90° से अधिक परन्तु 180° से कम हो अधिक कोण कहलाता है।
(6) प्रतिवर्ती कोण (वृहत् कोण): वह कोण जिसका माप समकोण 180° से अधिक तथा 360° से कम हो, प्रतिवर्ती कोण कहलाता है।
(7) सम्पूर्ण कोण: यदि कोई किरण अपने प्रारम्भिक बिन्दु के चारों ओर एक पूरा चक्कर लगाने के बाद अपने प्रारम्भिक स्थिति से सम्पाती हो जाए तो इस प्रकार बना कोण सम्पूर्ण कोण कहलाता है। यह कोण 360° का होता है।
यहां कुछ अनुपात एवं समानुपात पर आधारित सरल से जटिल MCQ प्रश्न दिए गए हैं, जो नवोदय प्रवेश परीक्षा के लिए उपयुक्त हैं:
सरल प्रश्न:
दो संख्याओं का अनुपात 5:3 है। यदि दूसरी संख्या 27 है, तो पहली संख्या क्या होगी?
(A) 45
(B) 15
(C) 40
(D) 9
उत्तर: (A) 45
तीन संख्याओं का अनुपात 2:3:5 है। यदि उनकी कुल योग 100 है, तो तीसरी संख्या क्या होगी?
(A) 20
(B) 30
(C) 50
(D) 40
उत्तर: (C) 50
मध्यम कठिनाई:
एक ट्रक और एक कार की गति का अनुपात 4:5 है। यदि ट्रक 80 किमी/घंटा की गति से चल रही है, तो कार की गति कितनी होगी?
(A) 60 किमी/घंटा
(B) 90 किमी/घंटा
(C) 100 किमी/घंटा
(D) 120 किमी/घंटा
उत्तर: (C) 100 किमी/घंटा
यदि तीन संख्याओं का अनुपात 1:2:3 है और तीसरी संख्या 48 है, तो पहली संख्या क्या होगी?
(A) 8
(B) 16
(C) 24
(D) 12
उत्तर: (D) 12
जटिल प्रश्न:
एक कक्षा में लड़के और लड़कियों का अनुपात 7:5 है। यदि कक्षा में कुल 60 छात्र हैं, तो कितने लड़के हैं?
(A) 25
(B) 35
(C) 30
(D) 40
उत्तर: (B) 35
A और B का अनुपात 4:5 है। यदि A की संख्या को 25% बढ़ाया जाए और B की संख्या को 10% घटाया जाए, तो नया अनुपात क्या होगा?
(A) 5:4
(B) 5:6
(C) 6:5
(D) 7:6
उत्तर: (C) 6:5
एक क्रिकेट टीम के खिलाड़ियों की ऊँचाई का औसत अनुपात 6:5 है। यदि एक खिलाड़ी की ऊँचाई 180 सेमी है, तो दूसरी खिलाड़ी की ऊँचाई क्या होगी?
(A) 150 सेमी
(B) 160 सेमी
(C) 170 सेमी
(D) 175 सेमी
उत्तर: (B) 150 सेमी
Here are some multiple-choice questions (MCQs) on Ratio and Proportion in Hindi:
Ratio and Proportion MCQ
प्रश्न 1: दो संख्याएँ 3:5 के अनुपात में हैं। यदि इनका योग 80 है, तो छोटी संख्या क्या है?
a) 30 b) 35 c) 40 d) 25
उत्तर: a) 30
प्रश्न 2: यदि 20 से 30 का अनुपात ज्ञात करें, तो वह क्या होगा?
a) 2:3 b) 3:2 c) 4:3 d) 5:3
उत्तर: a) 2:3
प्रश्न 3: तीन संख्याएँ 2:3:5 के अनुपात में हैं। यदि उनका कुल योग 100 है, तो सबसे बड़ी संख्या क्या होगी?
a) 20 b) 30 c) 40 d) 50
उत्तर: c) 40
प्रश्न 4: A और B का अनुपात 4:7 है। यदि A की संख्या 20 है, तो B की संख्या क्या होगी?
a) 30 b) 35 c) 25 d) 40
उत्तर: b) 35
प्रश्न 5: 100 ग्राम मिठाई में चीनी और आटा का अनुपात 3:2 है। मिठाई में चीनी की मात्रा कितनी होगी?
a) 60 ग्राम b) 40 ग्राम c) 50 ग्राम d) 30 ग्राम
उत्तर: d) 30 ग्राम
प्रश्न 6: यदि 12, 16, और 20 का अनुपात ज्ञात करें, तो वह क्या होगा?
a) 3:4:5 b) 2:3:4 c) 1:2:3 d) 4:5:6
उत्तर: a) 3:4:5
प्रश्न 7: एक कक्षा में लड़के और लड़कियों का अनुपात 5:7 है। यदि कक्षा में कुल 36 लड़कियाँ हैं, तो लड़कों की संख्या क्या होगी?
a) 20 b) 24 c) 30 d) 32
उत्तर: b) 24
प्रश्न 8: एक वस्तु की कीमत 2000 रुपये है। यदि कीमत को 3:4 के अनुपात में बढ़ाया जाए, तो नई कीमत क्या होगी?
a) 2500 रुपये b) 2400 रुपये c) 2600 रुपये d) 3000 रुपये
उत्तर: d) 3000 रुपये
These MCQs can be used for practice in understanding Ratio and Proportion concepts in Hindi. Would you like to explore more, or focus on a specific difficulty level?
प्रश्न 16. यदि 1/36.18 = 0.0276 हो, तो 1/0.0003618 का मान क्या होगा?
हल:- यहाँ 1/36.18 में दशमलव का स्थान (हर – अंश) = 2 – 0 = 2 फिर 1/0.0003618 में दशमलव का स्थान = 7 – 0 = 7 अतः (+5) के लिए पाँच शून्य और रखे जाएंगे। 1/0.0003618 = 0.0276 × 100000 = 2760 उत्तर:- 2760
प्रश्न 17. यदि 1/36.18 = 0.0276 हो, तो 1/3618 का मान ज्ञात करें? हल: यहाँ 1/36.18 में दशमलव का स्थान (हर – अंश) = 2 – 0 = 2 और फिर 1/3618 = 0 – 2 = -2 (-2) के लिए हम परिणाम में 2 अंक पहले दशमलव बैठा देंगे। 1/3618 = 0.000276 उत्तर:- 0.000276
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