अनुपात और समानुपात के सूत्र

अनुपात और समानुपात के सूत्र [Ratio and Proportion Formulas]

अनुपात (Ratio) :-

समान प्रकार की दो राशियों / वस्तुओं के बीच सम्बन्ध को अनुपात कहते हैं।

दो राशियों का अनुपात एक भिन्न के बराबर होता है , अतः यह प्रदर्शित करता है कि एक राशि दूसरी राशि से कितनी गुनी कम या अधिक है।

माना, एक राशि x तथा दूसरी राशि y है, तब इनके बीच अनुपात = x : y

अनुपात के प्रकार

x तथा y के बीच मध्यानुपात = √x. y
x तथा y के बीच तृतीयानुपात = y²/x
x तथा y का विलोमानुपात = 1/x : 1/y = y : x

मिश्रित अनुपात

दो समान अनुपातों के मिश्रित अनुपात को वर्गानुपात कहते हैं।
जैसे :- a : b का वर्गानुपात = a² : b²

किसी अनुपात के वर्गमूल को वर्गमूलानुपाती कहते हैं।
जैसे :- a : b का वर्गमूलानुपाती = √a : √b

किसी अनुपात के तृतीय घात को घनानुपाती कहते हैं।
जैसे :- a : b का घनानुपाती = a³ : b³

किसी अनुपात के घनमूल को घनमूलानुपाती कहते हैं।
जैसे :- a : b का घनमूलानुपाती = ∛a : ∛b

किसी अनुपात के उल्टे को व्युत्क्रमानुपाती कहते हैं।
जैसे :- a : b का व्युत्क्रमानुपाती = 1/a : 1/b

जब दो अनुपात परस्पर समान होते हैं , तो वे समानुपाती (Proportional) कहलाते हैं।
जैसे :- a : b = c : d हो, तब a, b, c तथा d समानुपाती हैं

विलोमानुपाती (Invertendo) उस अनुपात को कहते हैं , जो स्थान बदल लें।
जैसे :- a : b = c : d का विलोमानुपात b : a :: d : c

अर्थात् a/b = c/d या b/a = d/c

अनुपात के कुछ विशेष गुण :-

• अनुपात में पहली संख्या अर्थात् x को पूर्ववर्ती (Antecedent) तथा दूसरी संख्या अर्थात् y को अनुवर्ती (Consequent) कहते हैं। x : y = x/y
• अनुपात हमेशा समान इकाई की संख्या के बीच होता हैं।
• जैसे :- रुपया : रुपया, किग्रा : किग्रा, घण्टा : घण्टा, सेकण्ड : सेकण्ड आदि।
• यदि दो अनुपात x : y तथा P : Q दिए गए हैं, तो Px : Qy मिश्रित अनुपात में कहलाएंगे।

दो संख्याओं a तथा b का मध्य समानुपाती (Mean proportional):–

माना मध्य समानुपाती x है, तब a : x :: x : b (सही स्थिति)
हल:- x² = a.b ⇒ x = √a.b
अतः दो संख्याओं a तथा b का मध्य समानुपाती = √a.b होता हैं।
यदि a : b :: C : d हो , तो a : c :: b : d एकान्तरानुपात (Altermendo) कहलाता है अर्थात् a/b = c/d या a/c = b/d (एकान्तरानुपात)
यदि a : b :: c : d हो, तो (a + b) : b :: (c + d) : d योगानुपात (Componendo) कहलाता है।
अर्थात् a/b = c/d, तब (a + b)b = (c + d)d (योगानुपात)
या a/b + 1 c/d + 1 ⇒ (a + b)/b = (c + d)/d
यदि a : b :: c : d हो , तब ( a – b ) : b :: ( c – d ) : d अन्तरानुपात ( Dividendo ) कहलाता है।
अर्थात् a/b = c/d ⇒ a/b – 1 = c/d – 1
⇒ (a – b)/b = (c – d)/d (अन्तरानुपात)

योगान्तरानुपात (Componendo and Dividendo) :

योगानुपात तथा अन्तरानुपात का सम्मिलन है।
यदि a : b :: c : d हो , तब ( a + b ) : ( a – b ) :: ( c + d ) : ( c – d ) योगान्तरानुपात है

दो संख्याओं a तथा b का तृतीय समानुपाती (Third Proportional) –

माना दो संख्याओं a तथा b का तृतीय समानुपाती x है। तब a : b = b : x (सही स्थिति)
हल:- a/b : b/x ⇒ b2 = ax
∴ x = b²/a
अतः दो संख्याओं a तथा b का तृतीय समानुपाती b²/a होता है।
तीन संख्याओं a , b तथा c का चतुर्थ समानुपाती ( Fourth Proportional ) माना a , b तथा c का चतुर्थ समानुपाती x है, तब
a : b = c : r ( सही स्थिति )
हल:- a/b = c/x
⇒ a.x = bc
⇒ x bc/a
अतः तीन संख्याओं a , b तथा c का चतुर्थ समानुपाती = bc/a होता है।