‘लड़का’ से राजेश, सतीश, दिनेश आदि सभी ‘लड़कों का बोध होता है।
‘पशु-पक्षयों’ से गाय, घोड़ा, कुत्ता आदि सभी जाति का बोध होता है।
‘वस्तु’ से मकान कुर्सी, पुस्तक, कलम आदि का बोध होता है।
‘नदी’ से गंगा यमुना, कावेरी आदि सभी नदियों का बोध होता है।
‘मनुष्य’ कहने से संसार की मनुष्य-जाति का बोध होता है।
‘पहाड़’ कहने से संसार के सभी पहाड़ों का बोध होता हैं।
भाववाचक संज्ञा
जिन शब्दों से किसी प्राणी या पदार्थ के गुण, भाव, स्वभाव या अवस्था का बोध होता है, उन्हें भाववाचक संज्ञा कहते हैं। जैसे- उत्साह, ईमानदारी, बचपन, आदि । इन उदाहरणों में ‘उत्साह’ से मन का भाव है। ‘ईमानदारी’ से गुण का बोध होता है। ‘बचपन’ जीवन की एक अवस्था या दशा को बताता है। अतः उत्साह, ईमानदारी, बचपन, आदि शब्द भाववाचक संज्ञाए हैं।
भाववाचक संज्ञाओं का निर्माण जातिवाचक संज्ञा, विशेषण, क्रिया, सर्वनाम और अव्यय शब्दों से बनती हैं। भाववाचक संज्ञा बनाते समय शब्दों के अंत में प्रायः पन, त्व, ता आदि शब्दों का प्रयोग किया जाता है.
(1) जातिवाचक संज्ञा से भाववाचक संज्ञा बनाना
जातिवाचक संज्ञा
भाववाचक संज्ञाा
जातिवाचक संज्ञा
भाववाचक संज्ञाा
स्त्री-
स्त्रीत्व
भाई-
भाईचारा
मनुष्य-
मनुष्यता
पुरुष-
पुरुषत्व, पौरुष
शास्त्र-
शास्त्रीयता
जाति-
जातीयता
पशु-
पशुता
बच्चा-
बचपन
दनुज-
दनुजता
नारी-
नारीत्व
पात्र-
पात्रता
बूढा-
बुढ़ापा
लड़का-
लड़कपन
मित्र-
मित्रता
दास-
दासत्व
पण्डित-
पण्डिताई
अध्यापक-
अध्यापन
सेवक-
सेवा
विशेषण से भाववाचक संज्ञा बनाना
विशेषण
भाववाचक संज्ञा
विशेषण
भाववाचक संज्ञा
लघु-
लघुता, लघुत्व, लाघव
वीर-
वीरता, वीरत्व
एक-
एकता, एकत्व
चालाक-
चालाकी
खट्टा-
खटाई
गरीब-
गरीबी
गँवार-
गँवारपन
पागल-
पागलपन
बूढा-
बुढ़ापा
मोटा-
मोटापा
नवाब-
नवाबी
दीन-
दीनता, दैन्य
बड़ा-
बड़ाई
सुंदर-
सौंदर्य, सुंदरता
भला-
भलाई
बुरा-
बुराई
ढीठ-
ढिठाई
चौड़ा-
चौड़ाई
लाल-
लाली, लालिमा
बेईमान-
बेईमानी
सरल-
सरलता, सारल्य
आवश्यकता-
आवश्यकता
परिश्रमी-
परिश्रम
अच्छा-
अच्छाई
गंभीर-
गंभीरता, गांभीर्य
सभ्य-
सभ्यता
स्पष्ट-
स्पष्टता
भावुक-
भावुकता
अधिक-
अधिकता, आधिक्य
गर्म-
गर्मी
सर्द-
सर्दी
कठोर-
कठोरता
मीठा-
मिठास
चतुर-
चतुराई
सफेद-
सफेदी
श्रेष्ठ-
श्रेष्ठता
मूर्ख-
मूर्खता
राष्ट्रीय
राष्ट्रीयता
(3) क्रिया से भाववाचक संज्ञा बनाना
क्रिया
भाववाचक संज्ञा
क्रिया
भाववाचक संज्ञा
खोजना-
खोज
सीना-
सिलाई
जीतना-
जीत
रोना-
रुलाई
लड़ना-
लड़ाई
पढ़ना-
पढ़ाई
चलना-
चाल, चलन
पीटना-
पिटाई
देखना-
दिखावा, दिखावट
समझना-
समझ
सींचना-
सिंचाई
पड़ना-
पड़ाव
पहनना-
पहनावा
चमकना-
चमक
लूटना-
लूट
जोड़ना-
जोड़
घटना-
घटाव
नाचना-
नाच
बोलना-
बोल
पूजना-
पूजन
झूलना-
झूला
जोतना-
जुताई
कमाना-
कमाई
बचना-
बचाव
रुकना-
रुकावट
बनना-
बनावट
मिलना-
मिलावट
बुलाना-
बुलावा
भूलना-
भूल
छापना-
छापा, छपाई
बैठना-
बैठक, बैठकी
बढ़ना-
बाढ़
घेरना-
घेरा
छींकना-
छींक
फिसलना-
फिसलन
खपना-
खपत
रँगना-
रँगाई, रंगत
मुसकाना-
मुसकान
उड़ना-
उड़ान
घबराना-
घबराहट
मुड़ना-
मोड़
सजाना-
सजावट
चढ़ना-
चढाई
बहना-
बहाव
मारना-
मार
दौड़ना-
दौड़
गिरना-
गिरावट
कूदना-
कूद
समूहवाचक संज्ञा
जिस संज्ञा शब्द से वस्तु के समूह या समुदाय का बोध हो, उसे समूहवाचक संज्ञा कहते है। जैसे- व्यक्तियों का समूह- भीड़, जनता, सभा, कक्षा; वस्तुओं का समूह- गुच्छा, कुंज, मण्डल, घौद।
द्रव्यवाचक संज्ञा
जिन संज्ञा शब्दों से किसी धातु, द्रव या पदार्थ का बोध हो, उन्हें द्रव्यवाचक संज्ञा कहते है। जैसे- ताम्बा, पीतल, चावल, घी, तेल, सोना, लोहा आदि।
संज्ञा के रूपान्तर
लिंग के आधार पर संज्ञाओं का रूपान्तर होता है।
नर खाता है- नारी खाती है। लड़का खाता है- लड़की खाती है।
वचन के अनुसार
लड़का खाता है- लड़के खाते हैं। लड़की खाती है- लड़कियाँ खाती हैं। एक लड़का जा रहा है- तीन लड़के जा रहे हैं।
कारक- चिह्नों के अनुसार
लड़का खाना खाता है- लड़के ने खाना खाया। लड़की खाना खाती है- लड़कियों ने खाना खाया।
वह शब्द समूह जिससे पूरी बात समझ में आ जाये, ‘वाक्य’ कहलाता हैै। जैसे- विजय खेल रहा है, बालिका नाच रही है।
वाक्य के भाग
वाक्य के दो भेद होते है- (1)उद्देश्य (Subject) (2)विद्येय (Predicate)
उद्देश्य
वाक्य का वह भाग है, जिसमें किसी व्यक्ति या वस्तु के बारे में कुछ कहा जाए, उसे उद्देश्य कहते हैं।
जैसे- पूनम किताब पढ़ती है। सचिन दौड़ता है। इस वाक्य में पूनम और सचिन के विषय में बताया गया है। अतः ये उद्देश्य है। उद्देश्य के रूप में संज्ञा, सर्वनाम, विशेषण, क्रिया-विशेषण क्रियाद्योतक और वाक्यांश आदि आते हैं। जैसे- 1. संज्ञा- मोहन गेंद खेलता है। 2. सर्वनाम- वह घर जाता है। 3. विशेषण- बुद्धिमान सदा सच बोलते हैं। 4. क्रिया-विशेषण- पीछे मत देखो। 5. क्रियार्थक संज्ञा- तैरना एक अच्छा व्यायाम है। 6. वाक्यांश- भाग्य के भरोसे बैठे रहना कायरों का काम है। 7. कृदन्त- लकड़हारा लकड़ी बेचता है।
विद्येय
उद्देश्य के विषय में जो कुछ कहा जाता है, उसे विद्येय कहते है। जैसे- पूनम किताब पढ़ती है। इस वाक्य में ‘किताब पढ़ती’ है विधेय है क्योंकि पूनम (उद्देश्य )के विषय में कहा गया है।
विशेष-आज्ञासूचक वाक्यों में विद्येय तो होता है किन्तु उद्देश्य छिपा होता है। जैसे- वहाँ जाओ। खड़े हो जाओ।
विधेय के भाग- विधेय के छः भाग होते है- (i) क्रिया-वह हाथ में ‘गेंद लिए’ जाता है। (ii) क्रिया के विशेषण-मोहन ‘धीरे-धीरे’ पढ़ता है (iii) कर्म- वह ‘रामायण’ पढ़ता है। (iv) कर्म के विशेषण या कर्म से संबंधित शब्द (v) पूरक (vi)पूरक के विशेषण।
पूरक के रूप में आनेवाला शब्द संज्ञा, विशेषण, सम्बन्धवाचक तथा क्रिया-विशेषण होता हैं। जैसे- 1. संज्ञा : मेरा बड़ा भाई ‘दुकानदार’ है। 2. विशेषण : वह आदमी ‘सुस्त’ है। 3. सम्बन्धवाचक : ये पाँच सौ रुपये ‘तुम्हारे’ हुए। 4. ‘क्रिया-विशेषण’ : आप ‘कहाँ’ थे।
भाषा की सबसे छोटी इकाई ध्वनि है। और इस ध्वनि को वर्ण कहते है। जैसे- अ, ई, व, च, क, ख् इत्यादि। वर्णों के समूह को वर्णमाला कहते हैं। हिंदी भाषा में वर्ण दो प्रकार के होते है- (1)स्वर (vowel) (2) व्यंजन (Consonant)
वर्णमाला का ज्ञान
स्वर
जिन वर्णों के उच्चारण में फेफ़ड़ों की वायु बिना रुके (अबाध गति से) मुख से निकल जाए, उन्हें स्वर कहते हैं। इसके उच्चारण में कंठ, तालु का उपयोग होता है, जीभ, होठ का नहीं।
हिंदी वर्णमाला में 11 स्वर है जैसे- अ आ इ ई उ ऊ ए ऐ ओ औ ऋ
स्वर
मात्रा
शब्द-प्रयोग
अ
–
–
आ
ा
राम
इ
ि
दिन
ई
ी
तीर
ऋ
ृ
कृषक
उ
ु
गुलाब
ऊ
ू
फूल
ए
े
केला
ऐ
ै
मैना
ओ
ो
कोमल
औ
ौ
सौरभ
अयोगवाह
हिंदी वर्णमाला में ऐसे वर्ण जिनकी गणना न तो स्वरों में और न ही व्यंजनों में की जाती हैं। उन्हें अयोगवाह कहते हैं।
अं, अः अयोगवाह कहलाते हैं। वर्णमाला में इनका स्थान स्वरों के बाद और व्यंजनों से पहले होता है। अं को अनुस्वार बिन्दु ( ं ) तथा अः को विसर्ग ( ः) के रूप में लिखा जाता है।
व्यंजन
व्यंजन उन वर्णों को कहते हैं, जिनके उच्चारण में स्वर वर्णों की सहायता ली जाती है। जैसे- क, ख, ग, च, छ, त, थ, द, भ, म इत्यादि।
व्यंजन तीन प्रकार के होते है- (1)स्पर्श व्यंजन(Mutes) (2)अन्तःस्थ व्यंजन(Semivowels) (3)उष्म या संघर्षी व्यंजन(Sibilants)
स्पर्श व्यंजन
ये 25 व्यंजन होते है-
(1)कवर्ग- क ख ग घ ङ ये कण्ठ का स्पर्श करते है।
(2)चवर्ग- च छ ज झ ञ ये तालु का स्पर्श करते है।
(3)टवर्ग- ट ठ ड ढ ण (ड़, ढ़) ये मूर्धा का स्पर्श करते है।
(4)तवर्ग- त थ द ध न ये दाँतो का स्पर्श करते है।
(5)पवर्ग- प फ ब भ म ये होठों का स्पर्श करते है।
अन्तःस्थ व्यंजन
ये व्यंजन 4 होते है- य, र, ल, व। इनका उच्चारण जीभ, तालु, दाँत और ओठों के परस्पर सटाने से होता है, किन्तु कहीं भी पूर्ण स्पर्श नहीं होता। अतः ये चारों अन्तःस्थ व्यंजन ‘अर्द्धस्वर’ कहलाते हैं।
उष्म या संघर्षी व्यंजन
उष्म व्यंजनों का उच्चारण एक प्रकार की रगड़ या घर्षण से उत्पत्र उष्म वायु से होता हैं। ये भी 4 व्यंजन होते है- श, ष, स, ह।
संयुक्त व्यंजन:-
वर्णमाला में ऐसे व्यंजन वर्ण जो दो अक्षरों को मिलाकर बनाए गए है, वो संयुक्त व्यंजन कहलाते है।
प्रतिशत का अर्थ "प्रति सैंकड़ा" से है। प्रतिशत को भिन्न, दशमलव तथा अनुपात में व्यक्त कर सकते हैं एवं भिन्न, दशमलव तथा अनुपात को भी प्रतिशत में व्यक्त कर सकते हैं।
किसी भिन्न का हर यदि 100 हो तो वह भिन्न, अंश के प्रतिशत के बराबर होता है।
480 किलोग्राम का 15% कितना होगा।
सीता को 500 में से 250 अंक प्राप्त हुए। उसके प्राप्तांक का प्रतिशत ज्ञात कीजिए।
राम को 10 रु. की गणित की पुस्तक में 10% छूट मिलती है तो वह पुस्तक उसे कितने में मिलेगी?
एक शाला में 15 अगस्त के दिन कुल 300 टॉफियाँ लायी गयी। उनमें से 99% टॉफियाँ छात्रों में बाँटी गयी। बची हुई टॉफियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
यदि किसी रबर को खींचकर दुगुना लम्बा कर दिया जाता है, तो लम्बाई में वृद्धि प्रतिशत ज्ञात कीजिए।
किसी शहर की कुल जनसंख्या का 40% पुरुष 35% महिलाएँ और शेष बच्चे हैं। यदि बच्चों की संख्या 18,000 हो तो पुरुषों और महिलाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
किसी गाँव की जनसंख्या 3000 है, पहले वर्ष 10% बढ़ती है। एक वर्ष बाद उसमें 10% की कमी आती है तो जनसंख्या में होने वाली प्रतिशत बढ़ोतरी या कमी ज्ञात कीजिए।
अपने ज्यामिति बॉक्स में रखी परकार परकार में पेंसिल लगाकर उसको थोड़ा सा फैलाइए। परकार की नोंक को कॉपी के बीचों-बीच रखकर पेंसिल वाले सिरे को चारों ओर घुमाइए। ध्यान रहे परकार की नोंक कॉपी पर अपनी जगह से नहीं हटनी चाहिए। इस प्रकार बनी आकृति वृत्त कहलाती है।
जिस स्थान पर परकार की नोक आपने रखी थी वहाँ पेंसिल की सहायता से एक बिंदु बनाकर “O”लिखें यह बिन्दु “O” वृत्त का केन्द्र है। अब वृत्त पर कई बिंदु A,B,C एवं D बनाकर निम्न दूरियों को मापें
OA = OB = OC = OD =
OA,OB, OC एवं OD की लम्बाई समान है। ये सभी वृत की “त्रिज्या” हैं।
आपने वृत्त पर स्थित दो बिंदुओं को मिलाते हुए कई रेखाखण्डों को जीवा या चापकर्ण कहते हैं। सबसे बड़ी जीवा केन्द्र से होकर जाती है, व्यास कहलाती है केन्द्र से जाने वाली प्रत्येक जीवा सबसे लम्बी जीवा है और आप यह भी जानते हैं कि किसी बिन्दु से असंख्य रेखाखण्ड खींचे जा सकते हैं, इसलिए किसी वृत्त में भी असंख्य व्यास खींचे जा सकते हैं। किसी वृत्त का व्यास, त्रिज्या का दुगुना होता है। अर्थात् त्रिज्या व्यास की आधी होती है।’ किसी भी बन्द आकृति के घेरे की लम्बाई ही उस आकृति का परिमाप है।
प्रत्येक वृत्त का परिमाप तथा व्यास का अनुपात एक ही (स्थिरांक) होता है। इस स्थिरांक को ग्रीक अक्षर (π) (पाई) से दर्शाते हैं तथा इसका मान लगभग 2 या 3.14 के बराबर होता है।
अभ्यास
3.2 सेमी त्रिज्या के वृत्त में 6.4 सेमी की एक जीवा खीचिए।
एक वृत्त की रचना कीजिए जिसकी सबसे बड़ी जीवा की लम्बाई 8 सेमी है।
किसी वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है तो उसका परिमाप क्या होगा?
प्रश्न-1 नीचे दिये गये कथन सत्य हैं अथवा असत्य पहचानिए – एक बिन्दु से असंख्य रेखाखंड खींचे जा सकते हैं। दो बिन्दु से गुजरने वाली असंख्य सरल रेखाएँ खींची जा सकती हैं। रेखाखंड की केवल लम्बाई होती है, चौड़ाई नहीं। एक रेखाखंड में यदि चार बिन्दु लिए जाएं तो ये सभी बिन्दु संरेख बिन्दु होते हैं। तीन असंरेख बिन्दु से अधिकतम दो रेखाखंड खींचे जा सकते हैं।
किरण
किरण का एक प्रारंभिक बिंदु होता है और वह किसी एक दिशा में लगातार बढ़ती रहती है।
सरल रेखा
सरल रेखा दोनों दिशाओं में लगातार बढ़ती रहती है।
रेखाखंड
रेखाखंड सरल रेखा का एक निश्चित भाग है जिसका प्रारंभिक एवं अंतिम बिन्दु निश्चित होता है, तथा रेखाखंड को नापा जा सकता है।
सरल रेखा एवं किरण की लंबाई को मापा नहीं जा सकता।
दो रेखाएँ एक दूसरे को अधिकतम एक ही बिंदु पर काटती हैं।
एक बिन्दु से होकर असंख्य रेखाएँ खींची जा सकती हैं तथा एक बिंदु से असंख्य किरणें खींची जा सकती है।
किसी संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए हमने उसके अभाज्य गुणनखण्डों में से समान गुणनखण्डों के दो-दो के जोड़े बनायेंगे । प्रत्येक जोड़े में से एक-एक संख्या लेकर उनका गुणनफल ज्ञात कर लेंगे। यही दी गई संख्या का वर्गमूल होगा।
512 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
यदि एक वर्गाकार चित्र का क्षेत्रफल 2025 वर्ग सेमी हो तब चित्र की एक भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
एक व्यक्ति अपने बाग में 11025 आम के पौधे इस प्रकार लगाता है कि हर पंक्ति में उतने ही पौधे हैं जितनी पंक्तियाँ हैं तो बाग में कितनी पंक्तियाँ हैं?
भाग विधि से वर्गमूल ज्ञात करना
संख्या के इकाई की ओर से आरंभ करते हुए संख्याओं के जोड़े बनाइए। जोड़े बनाने के लिए संख्याओं के ऊपर एक छोटी सी आड़ी रेखा खींच सकते हैं। संख्या को भाग चिह्न के भीतर रखिए। अब ऐसा बड़ा से बड़ा भाजक ढूँढ़िए जिसका वर्ग संख्या के पहले जोड़े से बड़ा न हो।
भाजक और भागफल में वर्ग संख्या को रखते हुए उनके गुणनफल जोड़े के नीचे रखकर घटाइए।
भाजक में उतनी ही संख्या जोड़िए। योगफल को उसके नीचे लिखिए।
जो शेष बचा है , उसके आगे पूरी एक जोड़ी संख्या उतारकर रखिए। यह नया भाज्य बनेगा।
अब हमें भाजक के योगफल के आगे और भागफल के आगे एक ऐसी संख्या रखनी है जिससे उस संख्या और नए भाजक का गुणनफल अधिक न हो। यदि हम भागफल में जितनी संख्या रखें तो भाजक में भी उतनी ही संख्या रखेंगे, जिससे नया भाजक का निर्माण होगा।
क्रमशः भागफल में वर्ग संख्या को रखते हुए उनके गुणनफल जोड़े के नीचे रखकर घटाइए।
भाजक में उतनी ही संख्या जोड़िए। योगफल को उसके नीचे लिखिए। जब तक कि शेष 0 ना बच जाये।
भाग विधि से 625 का वर्गमूल ज्ञात करें।
घनमूल ज्ञात करना
किसी संख्या का घनमूल निकालने के लिए उसके अभाज्य गुणनखंण्डों में से समान गुणनखंण्डों के तीन-तीन के त्रिक (तिकड़ी) बनाएँगे तथा ऐसी प्रत्येक तिकड़ी से एक-एक संख्या लेकर उनका गुणनफल ज्ञात कर लेंगे। यही दी गई संख्या का घनमूल होगा। 512 का घनमूल ज्ञात कीजिए।
हमने सीखा (We Have Learnt)
यदि n कोई संख्या है तब nxn या n2 इसका वर्ग कहलाएगा और nxnxn या n3 इसका घन।
जिन संख्याओं के इकाई में 2,3,7 या 8 हो वे पूर्ण वर्ग संख्याएँ नहीं हो सकती हैं।
यदि पूर्ण वर्ग संख्या के अन्त में सम संख्या में शून्य हो तो वे भी पूर्ण वर्ग संख्या होगी।
सम संख्याओं के वर्ग एवं घन सदैव सम संख्याएँ एवं विषम संख्याओं के वर्ग एवं घन सदैव विषम संख्याएँ होती हैं।
किसी प्राकृत संख्या n का वर्ग, प्रारम्भिक n विषम संख्याओं के योगफल के बराबर होता है।
यदि तीन संख्याएँ इस प्रकार हो कि बड़ी संख्या का वर्ग शेष दोनों संख्याओं के वर्गों के योग के बराबर हो तब संख्याएँ पाइथागोरिय त्रिक कहलाती है। जैसे 32+ 42 = 52 अतः (3,4,5) पाइथोगोरीय त्रिक है।
वर्गमूल को ‘√ ‘चिह्न के द्वारा प्रदर्शित करते हैं। इस चिह्न को करणी चिह्न कहते हैं।
चर संख्या : चर संख्या वह संख्या होती है जिसका मान बदल सकता है या जो किसी निश्चित मान को प्रदर्शित नहीं करती है।
उदाहरण:
x, y, z जैसी संख्याएँ चर संख्याएँ हैं, क्योंकि इनका मान बदल सकता है।
समीकरण 2x+3=7 में x एक चर संख्या है, जिसका मान समीकरण के समाधान से प्राप्त किया जा सकता है।
समीकरण : ऐसे कथन जिनमें चरांक शामिल हों और दोनों पक्ष बराबर हों, समीकरण कहलाते हैं। इसमें बराबर के बायीं ओर के समस्त पदों को समीकरण का “बायाँ पक्ष” और दायें ओर के समस्त पदों को समीकरण का “दायाँ पक्ष” कहते हैं।
कथन को गणितीय व्यंजक के रूप में लिखना और हल करना
निम्नलिखित कथनों में चर संख्या का प्रयोग करके समीकरण में बदलिए-
किसी संख्या के दुगुने में से 3 कम करने पर 17 आता है।
किसी संख्या का छठा भाग 7 है।
किसी संख्या एवं 5 का अन्तर 8 है।
किसी संख्या में 7 का गुणा कर 5 घटाने से 9 बचता है।
एक वृत्त का व्यास उसकी त्रिज्या से दोगुना है।
एक आयत का क्षेत्रफल उसकी लम्बाई एवं चौड़ाई के गुणनफल के बराबर है।
विक्रय मूल्य, क्रय मूल्य तथा लाभ के योगफल के बराबर होता है।
किसी संख्या में दूसरी संख्या को जोड़ा गया है।
किसी संख्या में से 7 निकाले गए।
मिश्रधन, मूलधन तथा ब्याज के योगफल के बराबर होता है।
किसी संख्या का दोगुना 10 है संख्या क्या होगी?
किसी संख्या के दुगने में 35 जोड़ा जाए तब 85 प्राप्त होता है। वह संख्या क्या होगी ?
25 पैसे के कितने सिक्के 10 रु. के बराबर होगें ?
उमा के पास कुछ मीटर कपड़ा है। उसमें से 2-2 मीटर कपड़े के वह 4 पर्दे बना देती है उसके बाद भीउसके पास 5 मीटर कपड़े बचे रहते है तब प्रारंभ में उसके पास कितने मीटर कपड़े थे ?
किसी संख्या के आधे में से यदि 4 घटाये तब 6 प्राप्त होता है संख्या क्या होगी ?
किसी व्यक्ति या यातायात के साधन द्वारा इकाई चाल से चली गई दूरी उसके समय को निर्धारित करती हैं।
समय = दूरी / चाल
दूरी का सूत्र :-
किसी व्यक्ति या यातायात के साधन द्वारा स्थान परिवर्तन को तय की गई दूरी कहते हैं।
दूरी = चाल × समय
चाल का सूत्र :-
किसी व्यक्ति या यातायात के साधन द्वारा इकाई समय में चली गई दूरी, चाल कहलाती हैं।
चाल = दूरी / समय
चाल का मात्रक मीटर/सेंटीमीटर अथवा किलोमीटर/घण्टा होता हैं।
यदि चाल मीटर/सेंटीमीटर में हो तो,
किलोमीटर/घण्टा = 18/5 × मीटर/सेंटीमीटर
यदि चाल किलोमीटर/घण्टा में हो तो,
मीटर/सेंटीमीटर = 5/18 × किलोमीटर/घण्टा
समय, दूरी और चाल के सूत्र
समय = दूरी / चाल
दूरी का सूत्र : दूरी = चाल × समय
चाल का सूत्र : चाल = दूरी / समय
किलोमीटर/घण्टा = 18/5 × मीटर/सेंटीमीटर
मीटर/सेंटीमीटर = 5/18 × किलोमीटर/घण्टा
दोनों विपरीत दिशा में हो, तो सापेक्ष चाल = (a + b) किलोमीटर/घण्टा
दोनों समान दिशा में हो, तो सापेक्ष चाल = (a – b) किलोमीटर/घण्टा
दूरी = रेल की लम्बाई + प्लेटफॉर्म/पुल की लम्बाई
औसत चाल = (कुल चली गई दूरी) / (कुल लगा समय)
औसत चाल = (2 × x × y) / (x + y)
A तथा B के बीच की दूरी = (चालों का गुणनफल) × (समयान्तर) / (चालों में अंतर)
समय, दूरी और चाल से संबंधित महत्वपूर्ण बिंदु
चाल को किलोमीटर/घण्टा से मीटर/सेकेण्ड में बदलने के लिए 5/18 से गुणा तथा चाल को मीटर/सेकेंड से किलोमीटर/घण्टा में बदलने के लिए 18/5 से गुणा करते हैं।
औसत चाल = (कुल चली गई दूरी) / (कुल लगा समय)
यदि कोई वस्तु निश्चित दूरी को x किलोमीटर/घण्टा तथा पुनः उसी दूरी को y किलोमीटर/घण्टा की चाल से तय करती हैं, तो पूरी यात्रा के दौरान उसकी औसत चाल = (2 × x × y) / (x + y) किलोमीटर/घण्टा होगी।
यदि दो वस्तु एक ही दिशा में a किलोमीटर/घण्टा तथा b किलोमीटर/घण्टा की चाल से गति कर रही हैं, जिनका गति प्रारम्भ करने का स्थान तथा समय समान हैं, तो उनकी सापेक्ष चाल (a – b) किलोमीटर/घण्टा होगी।
यदि दो वस्तु विपरीत दिशा में a किलोमीटर/घण्टा तथा b किलोमीटर/घण्टा की चाल से गति कर रही हैं, जिनका गति प्रारम्भ करने का स्थान व समय समान हैं, तो उनकी सापेक्षिक चाल (a + b) किलोमीटर/घण्टा होगी।
यदि A तथा B चलो में अनुपात a : b हो तो एक ही दूरी तय करने में इनके द्वारा लिया गया समय का अनुपात b : a होगा।
जब एक व्यक्ति A से B तक x किलोमीटर/घण्टे की चाल से जाता हैं तथा t₁ समय देर से पहुँचता हैं तथा जब वह y किलोमीटर/घण्टे की चाल से चलता हैं तो t₂ समय पहले पहुँच जाता हैं तो A तथा B के बीच की दूरी = (चालों का गुणनफल) × (समयान्तर) / (चालों में अंतर) (X × Y) × (T₁ + T₂) / (Y – X) किलोमीटर।
समय, दूरी और चाल के सवाल
Q.1
सोहन 12 किलोमीटर/घण्टा की गति से कोई यात्रा 3 घण्टे में तय करता हैं तो कुल दूरी क्या है? A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
हल:- प्रश्नानुसार, दूरी = चाल × समय दूरी = 12 × 3 दूरी = 36 दूरी = 36 Ans. 36
Q.2
एक बस 120 किलोमीटर/घण्टा की दूरी 5/3 घण्टे में तय करती हैं बताइए उसकी चाल कितनी है? A. 60 B. 72 C. 85 D. 90
हल:- प्रश्नानुसार, चाल = दूरी / समय चाल = (120)/(5/3) चाल = (120 × 3)/5 चाल = 24 × 3 Ans. 72
Q.3
60 किलोमीटर/घण्टे की गति से चलती हुई एक गाड़ी 1440 किलोमीटर की दूरी 16 घण्टे में तय करती हैं, उसी गति से 480 किलोमीटर की दूरी को कितने समय मे तय करेगी? A. 48/9 B. 24/5 C. 34/3 D. 57/6
एक साइकिल 4 घण्टे में 14 किलोमीटर/घण्टे की गति से 56 किलोमीटर की दूरी तय करती हैं, उतने ही समय मे वह अपनी गति 7 किलोमीटर/घण्टा बढ़ा दे तो वह कितनी दूरी तय करेगी? A. 80 B. 84 C. 96 D. 104
एक व्यक्ति A से B तक कि दूरी को कार के द्वारा 45 किलोमीटर/घण्टे की गति से तय करता हैं जिसमें 9 घण्टा का समय लगता हैं, उतनी ही दूरी को वह 36 किलोमीटर/घण्टे में कितने समय मे पूरी करेगा? A. 24/7 B. 29/3 C. 49/4 D. 5713
एक बस A से B तक 30 किलोमीटर/घण्टे की गति से तथा B से A तक 20 किलोमीटर/घण्टे की गति से चलती हैं, यदि A से B और B से C तक कि दूरी 50 किलोमीटर हो तो बस की औसत चाल कितनी हैं? A. 20 B. 22 C. 24 D. 28
हल:- प्रश्नानुसार, औसत चाल = (2 × x × y) / (x + y) औसत चाल = (2 × 30 × 20) / (30 + 20) औसत चाल = (2 × 30 × 20) / 50 औसत चाल = 120 / 5 औसत चाल = 24 Ans. 24
Q.8
मोहन A से B तक 10 किलोमीटर/घण्टे की गति से तथा B से C तक 15 किलोमीटर/घण्टे की गति से तथा C से D तक 25 किलोमीटर/घण्टे की गति से चलता हैं तो बताइए उसकी औसत चाल क्या है? A. 230/65 B. 450/31 C. 240/23 D. 320/25
हल:- प्रश्नानुसार, औसत = (3 × x ×y × z) / (xy + yz + zx) औसत = (3 × 10 × 15 × 25) / (10× 15 + 15 × 25 + 25 10) औसत = (3 × 10 × 15 × 25) / (150 + 375 + 250) औसत = (30 × 375) / 775 औसत = 450 / 31 Ans. 450 / 31
Q.9
श्यामू 10 किलोमीटर की दूरी 5 किलोमीटर/घण्टे की गति से, 12 किलोमीटर की दूरी 4 किलोमीटर/घण्टे की गति से तथा 15 किलोमीटर की दूरी 3 किलोमीटर/घण्टे की गति से चलता हैं तो पूरी यात्रा में उसकी औसत चाल बताइए? A. 6.9 B. 5.7 C. 3.7 D. 4.8
हल:- प्रश्नानुसार, 10 किलोमीटर = 5 किलोमीटर/घण्टा 10/5 = 2 12 किलोमीटर = 4 किलोमीटर/घण्टा 12/4 = 3 15 किलोमीटर = 3 किलोमीटर/घण्टा 15/3 = 5 कुल दूरी = (10 + 12 + 15) = 37 कुल समय = (2 + 3 + 5) = 10 औसत = (कुल दूरी) / (कुल समय) औसत = 37/10 Ans. 3.7
Q.10
एक छात्र अपनी वास्तविक गति के 7/6 गति से चलकर अपने स्कूल 26 मिनिट पहले पहुँचता हैं तो वास्तविक समय कितना लगेगा? A. 2 घण्टे 4 मिनिट B. 3 घण्टे 2 मिनिट C. 1 घण्टे 2 मिनिट D. 4 घण्टे 6 मिनिट
हल:- प्रश्नानुसार, 7/6 की गति से जाता हैं 26 मिनिट में 26 × 7 = 182 7 – 6 = 1 = 182/1 = 182/60 Ans. 3 घण्टे 2 मिनिट।
Q.11
एक लड़का जब 20 किलोमीटर/घण्टे की गति से चलता हैं तब एक स्थान पर 5 मिनिट पहले पहुंच जाता हैं लेकिन जब 30 किलोमीटर/घण्टे की गति से चलता हैं, तब 11 मिनिट पहले पहुँच जाता हैं, उस स्थान की दूरी क्या हैं? A. 3 किलोमीटर/घण्टा B. 6 किलोमीटर/घण्टा C. 8 किलोमीटर/घण्टा D. 11 किलोमीटर/घण्टा
एक साइकिल सवाल एक निश्चित दूरी का आधा हिस्सा 6 किलोमीटर/घण्टे की गति से और बचा हुआ आधा हिस्सा 5 किलोमीटर/घण्टे की गति से चलकर कुल 11 घण्टे का समय लेता है दूरी ज्ञात कीजिए? A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
A और B की गति का अनुपात 5 : 4 हैं यदि किसी दूरी को तय करने में B, A से 2 घण्टे अधिक समय लेता हैं, तो बताइए दोनों वह दूरी कितने समय मे तय करेंगे? A. 3 घण्टे, 10 घण्टे B. 5 घण्टे, 7 घण्टे C. 8 घण्टे, 10 घण्टे D. 2 घण्टे, 5 घण्टे
हल:- प्रश्नानुसार, A : B गति = 5 : 4 समय = 4 : 5 1 = 2 घण्टे 4 × 2 = 8 घण्टे 5 × 2 = 10 घण्टे Ans. 8 घण्टे, 10 घण्टे।
Q.14
यदि एक साइकिल का पहिया 5.5 किलोमीटर चलने में 2500 चक्कर पूरा करता हैं तो पहिए का व्यास कितना हैं? A. 50 B. 60 C. 70 D. 80
हल:- प्रश्नानुसार, दूरी = परिधि × चक्कर 5.5 = 2πr × 2500 2πr = (5.5 × 100000) / 2500 2πr = 550000/2500 2 × 22/7 × r = 220 r = (220 × 7) / (2 × 22) r = 35 सेंटीमीटर D = 2r D = 35 × 2 D = 70 Ans. 70 सेंटीमीटर
घड़ी में 1 से 12 तक कि संख्याएँ लिखी होती हैं। घड़ी में 3 सुईयां होती हैं। इसमें एक छोटी सुई होती हैं जो घण्टा को दर्शाती हैं। एक बड़ी सुई होती हैं जो मिनट को दर्शाती हैं। और एक सेकंड की सुई होती हैं जो घड़ी के सेकण्ड दर्शाती हैं।
एक संख्या से अगली संख्या तक जाने की अवधि को 1 घण्टा कहते हैं। तथा घण्टा सुई के द्वारा डायल का पूरा चक्कर लगाने में 12 घण्टे का समय लगता हैं।
1 दिन = 24 घण्टे
1 घण्टा = 60 मिनट
1 मिनिट = 60 सेकण्ड
समय और घड़ी / Time and Clock
घड़ी एक ऐसा यंत्र हैं, जो घण्टे, मिनिट तथा सेकण्ड में समय के अंतराल को व्यक्त करता हैं घड़ी गोल आकृति की होती हैं जिसमें समय बताने के लिए सुइयाँ लगी होती हैं।
घड़ी के अवयव
सुईयों का मार्ग वर्त्ताकार होता हैं और यह 60 बराबर भागों में बटा होता हैं मिनट की सुई जितने भागों को पार करती हैं उतने ही मिनट का समय लेती हैं। जब मिनट की सुई 60 मिनट की दूरी तय करती हैं तब घण्टे की सुई 5 मिनट की दूरी तय करती हैं तथा इस दौरान 60 मिनट का समय लगता हैं। इस प्रकार मिनट की सुई 60 मिनट में घण्टे की सुई से 55 मिनट की अधिक दूरी तय करती हैं, अतः मिनट की सुई घण्टे की सुई से 1 मिनट की अधिक दूरी 60/55 मिनट में तय करेगी।
घड़ी के मुख्यतः चार अवयव होते हैं।
डायल (Dial)
घण्टे की सुई (Hour hand)
मिनिट की सुई (Minute hand)
सेकण्ड की सुई (Second hand)
घण्टों में समय
समय जब पूर्ण घण्टों में होता हैं तब मिनट की सुई 12 पर होती हैं।
आधे घण्टों में समय
जब समय आधे घण्टे (साढ़े) में होता हैं तो मिनट की सुई 6 पर होती हैं।
चौथाई घण्टों में समय
जब समय चौथाई घण्टे में होता हैं तो मिनट की सुई या तो 3 पर होगी या 9 पर होगी। जब मिनट की सुई 3 पर होती हैं तब समय सवा होता हैं। और जब मिनट की सुईं 9 पर होती हैं तब समय पौने नौ कहलाता हैं।
मिनटों में समय
मिनट की सुई अगली संख्या पर जाते हूए 5 छोटे भागों से गुजरती हैं। बीच की अवधि को मिनट कहते हैं। मिनट की सुई को घड़ी का पूरा चक्कर लगाने में 60 मिनट का समय लगता हैं।
घड़ी के सम्बन्धित महत्वपूर्ण बिंदु
1. घण्टे की सुई 1 घण्टे में 5 मिनट की दूरी तय करती हैं तथा 1 घण्टे में 30° का कोण बनाती हैं।
2. मिनट की सुई 1 मिनट में 1 मिनट की दूरी तय करती हैं तथा 1 मिनट में 6° का कोण बनाती हैं, मिनट की सुई 5 मिनट में 30° का कोण बनाती हैं।
3. प्रत्येक घण्टे में मिनट की सुई, घण्टे की सुई से 55 मिनट की अधिक दूरी तय करती हैं और यह दूरी घण्टे की सुई से दक्षिणावर्त (Clock wise) दिशा में मिनट की सुई तक मापी जाती हैं।
4. घण्टे तथा मिनट की सई के बीच प्रत्येक 5 मिनट की दूरी पर 30° का कोण बनता हैं।
5. घण्टे की सुई 12 घण्टे में 360° का कोण पूरा करती हैं।
6. मिनट की सुई 60 मिनट में 360° का कोण पूरा करती हैं।
7. घड़ी की सुइयाँ जब अपने वृत्ताकार मार्ग पर एक पूर्ण चक्कर लगाती हैं, तब उन्हें 360° घूमना पड़ता हैं, एक मिनिट की दूरी 6° के बराबर होती हैं।
8. प्रत्येक घण्टे में सुइयाँ एक ही दिशा के एक बार मिलती हैं, लेकिन 13 घण्टे में 11 बार तथा 24 घण्टे में 22 बार मिलती हैं।
9. प्रत्येक घण्टे में दोनों सुइयाँ दो बार समकोण बनाती हैं, लेकिन 12 घण्टे में 22 बार तथा 24 घण्टे में 44 बार समकोण बनाती हैं।
10. जब मिनट की सुई एक मिनट की दूरी तय करती हैं, तो घण्टे की सुई 1/2° के बराबर आगे बढ़ जाती हैं।
11. घड़ी की सुइयों की आपसी स्थिति में परिवर्तन तभी होगा जब उनके बीच की दूरी 60/13 मिनट हो।
12. प्रत्येक घण्टे में घड़ी की दोनों सुइयाँ आपस में एक बार मिलती हैं।
13. जब दोनों सुइयाँ एक दूसरे के साथ समकोण या 90° बना रही हों, तो एक-दूसरे से 15 मिनट-अंतराल की दूरी पर होती हैं और यह प्रति घण्टे में दो बार होता हैं।
14. जब दोनों सुइयाँ एक दूसरे की विपरीत दिशा में हो ये 30 मिनट अन्तराल से अलग होती हैं और यह प्रति घण्टा में एक बार होता हैं।
15. दोनों सुइयाँ एक सरल रेखा में होती हैं जब एक दूसरे को ढकने या एक दूसरे की विपरीत दिशा में होती हैं।
16. यदि ठीक 8 बजे हैं तथा घड़ी में उस समय 8 : 20 बज रहे है, तो हम कहते है कि घड़ी 20 मिनट तेज हैं।
17. यदि ठीक 8 बजे हैं तथा घड़ी में उस समय 7 : 40 बज रहे है, तो हम कहते है कि घड़ी 20 मिनट सुस्त हैं।
18. जब घड़ी की सुइयाँ सीधी घूमती हैं तो उसे clock-wise तथा जब वे उल्टी दिशा में घूमती हैं तब उन्हें anti-clockwise कहते हैं।
19. यदि मिनट की सुई घण्टे की सुई से पीछे रहे, तो अभीष्ट डिग्री = मिनिट और घण्टे के बीच की संख्या में अंतर × 30 + (मिनट/2)°
20. यदि मिनट की सुई घण्टे की सुई से आगे रहे, तो अभीष्ट डिग्री = मिनट और घण्टे के बीच की संख्या में अंतर × 30 – (मिनट/2)°
21. जब घड़ी में पूछा गया समय 12 बजे से कम हो तब उसे 11 : 60 से घटा कर उत्तर बताया जाएगा, और यदि समय में सेकण्ड का उपयोग भी किया गया हो तब उसे 11 : 59 : 60 से घटा कर उत्तर बताया जाएगा।
22. जब पूछा गया समय 12 बजे से अधिक हो तब उसे 23 : 60 से घटाकर उत्तर बताया जाएगा और यदि समय सेकण्ड के साथ हो तो उसे 23 : 59 : 60 से घटाकर उत्तर बताया जाएगा।
23. जब घड़ी में दिए गए किसी समय को क्षैतिज दर्पण में देखना हो तो उसे 17 : 90 से घटा कर उत्तर देंगे और समय सेकण्ड के साथ हो तो उसे 17 : 89 : 60 से घटा कर उत्तर देंगे।
घड़ी के सवाल
Q.1
दर्पण में देखने पर एक घड़ी 4 : 40 समय दर्शाती हैं, सही समय क्या हैं? A. 7 : 20 B. 5 : 25 C. 4 : 30 D. 8 : 20
हल:- (11 : 60) – (4 : 40) Ans. 7 : 20
Q.2
लम्बवत दर्पण में देखने पर एक घड़ी 12 : 16 : 28 समय दर्शाती हैं, सही समय क्या हैं? A. 7 : 20 : 24 B. 11 : 43 : 32 C. 14 : 30 : 30 D. 8 : 20 : 18
7 : 20 पर घड़ी में घण्टे और मिनिट के बीच में कितने डिग्री का कोण बनेगा? A. 100° B. 60.8° C. 120° D. 78.5°
हल:- प्रश्नानुसार, 30H – 11/2 M 30 × 7 – (11/2) × 20 210 – 110 Ans. 100°
Q.4
2 बजकर 20 मिनट पर घड़ी की दोनों सुइयों के बीच कितना कोण बनेगा? A. 100° B. 60° C. 50° D. 150°
हल:- प्रश्नानुसार, 20 मिनट में मिनट की सुई द्वारा बनाया गया कोण = 20 × 6° 120° 2 घण्टे 20 मिनट में घण्टे की सुई द्वारा बनाया गया कोण = 2 (20/60) × 30° 70° दोनों सुइयों के बीच का अभीष्ट कोण = 120° – 70° 50° Ans. 50°
Q.5
एक घड़ी क्रमशः एक बजे एक बार, दो बजे दो बार, तीन बजे तीन बार अर्थात जितना बजता हैं, घड़ी भी उतनी ही बार बजती हैं एक दिन में घड़ी कितनी बार बजेगी? A. 100 बार B. 160 बार C. 150 बार D. 156 बार
हल:- प्रश्नानुसार, 12 घण्टे में घड़ी के बजने की संख्या = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 78 बार 78 × 2 Ans. 156 बार।
Q.6
3 बजकर 35 मिनट पर दोनों सुइयों के बीच कितना कोण बनेगा? A. 72.5° B. 67.5° C. 102.5 D. 150.8°
हल:- प्रश्नानुसार, 35 मिनट में मिनट की सुई द्वारा बनाया गया कोण = 35 × 6° = 210° 3 घण्टे 35 मिनट में घण्टे की सुई द्वारा बनाया गया कोण = 3 + 35/60 × 30° = 3/1 + 7/12 × 30° = (36 + 7)/12 × 30° = 43/12 × 30 = (43 × 5)/2 = 215/2 = 107.5° दोनों सुइयों के बीच का अभीष्ट कोण = 210° – 107.5° = 102.5° Ans. 102.5
Q.7
4 : 20 पर घड़ी की दोनों सुइयों के बीच कितना कोण बनेगा? A. 10 B. 20 C. 50 D. 100
हल:- प्रश्नानुसार, 30H – 11/2 M 30 × 4 – (11/2) × 20 120 – 110 Ans. 10
Note:- ऐसे किसी भी प्रश्न में दिए गए समय में शुरुआत का समय ध्यान रखना और किसी भी प्रश्न के पूछे जाने पर उसी समय से उसका सम्बन्ध देखें, और ऐसा करने पर घड़ी में जो भी अंक निर्धारित किया जाएगा, उस की मिनट की स्थिति से 12/11 का गुणा करें।
Q.8
4 और 5 के बीच घड़ी की दोनों सुइयाँ कब सम्पाती होंगी? A. 10 : 135/6 B. 6 : 121/7 C. 5 : 120/21 D. 4 : 240/11
हल:- 4 : 20 × 12/11 Ans. 4 : 240/11
Q.9
4 और 5 के बीच घड़ी की दोनों सुइयाँ कब विपरीत होंगी? A. 6 : 500/21 B. 4 : 600/11 C. 5 : 400/7 D. 15 : 100/19
हल:- 4 : 50×(12/11) Ans. 4 : 600/11
Q.10
4 और 5 के बीच घड़ी की दोनों सुइयाँ कब 60° का कोण बनाएंगी? A. 4 : 120/11 B. 4 : 360/11 C. 4 : 120/11 , 4 : 360/11 D. 6 : 130/17
14 और 9 बजे के बीच घण्टे तथा मिनट की सुइयाँ कब एक-दूसरे के विपरीत होगी? A. 15 : 121/23 B. 10 : 110/17 C. 8 : 120/11 D. 6 : 135/19
हल:- जब दोनों सुइयाँ एक-दूसरे के विपरीत होंगी तो 180° का कोण बनेगा।
सूत्र:- M = (2/11)(H1 × 30 – A)
प्रश्नानुसार,
H1 = 8 , A° = 180
अतः M = (2/11)(8 × 30 – 180)
M = (2/11)(240 – 180)
M = (480 – 360)/11
M = 120/11
Ans. 8 : 120/11
Q.12
एक सही घड़ी सुबज के 8 बजे दर्शाती हैं, घड़ी को घण्टा की सुई दोपहर बाद 2 बजे तक कितनी डिग्री का कोण बनाती हैं? A. 100° B. 60° C. 180° D. 90°
हल:- प्रश्नानुसार, चूँकि घण्टा की सुई 12 घण्टे में 360° का कोण बनाती हैं। अतः सुबह 8 बजे से लेकर दोपहर 2 बजे तक 6 घण्टे हुए। अतः घण्टे की सुई इस 6 घण्टे में 180° का कोण बनाएगी। उत्तर:- 180°
Q.13
घड़ी A प्रत्येक दिन 1 मिनट लेट हो जाती हैं, जबकि घड़ी B प्रत्येक दिन 3/2 मिनट फास्ट हो जाती हैं, यदि घड़ी B घड़ी A की अपेक्षा 30 मिनट आगे हो, तो घड़ी B को घड़ी A की अपेक्षा 45 मिनट आगे होने में कितने दिन लगेंगे? A. 6 दिन B. 8 दिन C. 4 दिन D. 10 दिन
हल:- प्रश्नानुसार, घड़ी B घड़ी A से प्रति घण्टा आगे निकला समय = (1/24 + 1/16) 5/48 मिनट घड़ी B को 15 मिनट आगे बढ़ने में लगा समय = (48/5) × (15/24) 6 दिन Ans. 6 दिन
Q.14
एक दिन में घड़ी की दोनों सुइयाँ एक साथ होगीं? A. 12 बार B. 24 बार C. 22 बार D. 48 बार
हल:- प्रश्नानुसार दोनों सुइयों एक साथ होंगी 55/60 × 24 = 22 Ans. 22 बार
Q.15
रमेश की घड़ी रविवार को दोपहर 3 बजे सही समय से 5 मिनट पीछे थी और मंगलवार को दोपहर 3 बजे सही समय से 3 मिनट आगे थी, तो बताइए कि इस घड़ी ने सही समय कब दिखाया? A. सोमवार रात 9 बजे B. सोमवार सुबह 9 बजे C. मंगलवार दोपहर 3 बजे D. रविवार रात 9 बजे
हल:- प्रश्नानुसार, घड़ी रविवार दोपहर 3 बजे पीछे थी और मंगलवार दोपहर 3 बजे 3 मिनट आगे थी। इस प्रकार घड़ी कुल मिलाकर (5 + 3) = 8 मिनट आगे हुई। रविवार दोपहर 3 बजे से मंगलवार दोपहर 3 बजे तक कुल 48 घण्टे हुए। 48 घण्टे के अंदर = 8 मिनट तेज हुई 1 मिनट तेज होने में लिया समय = 6 घण्टे प्रारम्भ में घड़ी 5 मिनट पीछे थीं घड़ी सही समय तब बताएगी जब यह 5 मिनट आगे या तेज हो जाये। 2 मिनट तेज चलने में 6 घण्टे का समय लेती हैं। 5 मिनट तेज चलने में घड़ी द्वारा लिया गया समय = 6 × 5 30 घण्टे। अर्थात 30 घण्टे पर घड़ी जो 5 मिनट पीछे थी वह पूरा कर लेगी और सही समय बताएगी? अतः सोमवार रात 9 बजे घड़ी सही समय बताएगी। Ans. सोमवार रात 9 बजे।
Q.16
एक घड़ी क्रमशः एक बजे एक बार, दो बजे दो बार अर्थात जितना समय होता हैं घड़ी भी उतनी बार बजती हैं 24 घण्टे में घड़ी कितनी बार बजेगी? A. 156 बार B. 178 बार C. 124 बार D. 148 बार
हल:- प्रश्नानुसार, 12 घण्टे में घड़ी के बजने की संख्या 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 78 बार 24 घण्टे में घड़ी 78 × 2 156 बार बजेगी। Ans. 156 बार।
Q.17
दो घड़िया एक साथ 10 बजे बजना प्रारम्भ करती हैं, पहली घड़ी 18 सेकण्ड में तथा दूसरी घड़ी 27 सेकण्ड में बजती हैं, बताइए पहली घड़ी के छठे प्रहार तथा दूसरी घड़ी के चौथे प्रहार में कितने समय का अंतर होगा? A. 1 सेकण्ड B. 2 मिनट C. 5 सेकण्ड D. 6 मिनट
हल:- प्रश्नानुसार, 10 बजे प्रत्येक घड़ी के 10 स्ट्रोक के बीच 9 समय अंतराल होंगे। प्रथम घड़ी का प्रति समय अंतराल लगा समय = 18/9 सेकण्ड = 2 सेकेण्ड दूसरी घड़ी का प्रति समय अंतराल लगा समय = 27/9 सेकण्ड = 3 सेकण्ड प्रथम घड़ी के 6 प्रहार में लगा समय = 2 × (6 – 1) = 10 सेकण्ड दूसरी घड़ी के 4 प्रहार में लगा समय = 3 × (4 – 1) = 9 सेकण्ड अभीष्ट अंतर = (10 – 9) सेकण्ड 1 सेकण्ड Ans. 1 सेकण्ड
Q.18
एक बस स्टैण्ड से हर 30 मिनट पर दिल्ली के लिए एक बस रवाना होती हैं, एक पूछताछ क्लर्क ने एक यात्री को बताया कि एक बस 10 मिनट पहले ही छुटी हैं और अगली बस 9 : 35 पूर्वाह्न छूटेगी, पूछताछ क्लर्क ने यात्री को सूचना कितने बजे दी हैं? A. 9 : 10 पूर्वाह्न B. 8 : 55 पूर्वाह्न C. 9 : 08 पूर्वाह्न D. 9 : 15 पूर्वाह्न
हल:- प्रश्नानुसार, सूचना देने का समय (9 : 35 – 0 : 30) + 0 : 10 9 : 05 + 0 : 10 9 : 15 पूर्वाह्न Ans. 9 : 15 पूर्वाह्न।
Q.19
घड़ी A प्रत्येक दिन 1 मिनट लेट हो जाती हैं, जबकि घड़ी B प्रत्येक दिन 1½ मिनट फास्ट हो जाती हैं यदि घड़ी B घड़ी A की अपेक्षा 30 मिनट आगे हो, तो घड़ी B को घड़ी A की अपेक्षा 45 मिनट आगे होने में कितने दिन लगेंगे? A. 10 दिन B. 6 दिन C. 4 दिन D. 12 दिन
हल:- प्रश्नानुसार, घड़ी B, घड़ी A से प्रति घण्टा आगे निकला समय = (1/24 + 1/16) = (2 + 3)/48 = 5/48 मिनट घड़ी B को 15 मिनट आगे बढ़ने में लगा समय = 48/5 × 15/24 = 2 × 3 = 6 दिन Ans. 6 दिन
Q.20
3 और 4 बजे के बीच कब मिनट वाली सुई घण्टे वाली सुई से 4 मिनट पीछे होंगी? A. 3 : 12 बजे B. 3 : 10 बजे C. 3 : 25 बजे D. 3 : 15 बजे
हल:- प्रश्नानुसार, जब मिनट की सुई 11 मिनट की अधिक दूरी तय करेगी, तो वह घण्टे की सुई से 4 मिनट पीछे होंगी। अभीष्ट समय = 11 × 60/55 = 11 × 12/11 = 12 मिनट 3 बजकर 12 मिनट पर मिनट वाली सुई 4 मिनट पीछे होगी। Ans. 3 : 12 बजे
भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M) = अंशों का ल.स./हरों का म.स. भिन्नों का महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) = अंशों का म.स./हरों का ल.स. ल.स × म.स. = पहली संख्या × दूसरी संख्या ल.स. = (पहली संख्या × दूसरी संख्या) ÷ म.स. म.स. = (पहली संख्या × दूसरी संख्या) ÷ ल.स. पहली संख्या = (ल.स. × म.स) ÷ दूसरी संख्या दूसरी संख्या = (ल.स. × म.स) ÷ पहली संख्या
1. गुणज (Multiples):
12 का तीसरा गुणज क्या है?
a) 24
b) 36
c) 48
d) 60
उत्तर: b) 36
निम्नलिखित में से कौन-सा 7 का गुणज है?
a) 35
b) 25
c) 21
d) 19
उत्तर: a) 35 और c) 21
यदि x 4 का गुणज है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही है?
a) x का अंत 4 या 8 से होगा।
b) x का अंतिम अंक 0 या 5 होना चाहिए।
c) x का अंतिम अंक सम होना चाहिए।
d) x को 4 से विभाजित किया जा सकता है।
उत्तर: d) x को 4 से विभाजित किया जा सकता है।
निम्नलिखित में से कौन-सा 9 का गुणज नहीं है?
a) 27
b) 45
c) 54
d) 50
उत्तर: d) 50
15 का पाँचवां गुणज क्या है?
a) 60
b) 75
c) 90
d) 105
उत्तर: d) 105
2. गुणनखण्ड (Factors):
18 के गुणनखण्डों का समुच्चय क्या है?
a) 1, 2, 3, 6, 9, 18
b) 2, 3, 4, 6, 12, 18
c) 1, 3, 6, 9, 12, 18
d) 1, 2, 3, 5, 9, 18
उत्तर: a) 1, 2, 3, 6, 9, 18
निम्नलिखित में से कौन-सा 24 का गुणनखण्ड नहीं है?
a) 2
b) 3
c) 5
d) 8
उत्तर: c) 5
48 के गुणनखण्डों की संख्या कितनी है?
a) 8
b) 10
c) 12
d) 6
उत्तर: c) 12
निम्नलिखित में से कौन-सा 36 का गुणनखण्ड है?
a) 5
b) 6
c) 10
d) 15
उत्तर: b) 6
एक संख्या का सबसे बड़ा गुणनखण्ड क्या होता है?
a) 1
b) वह संख्या स्वयं
c) 2
d) सबसे छोटी अभाज्य संख्या
उत्तर: b) वह संख्या स्वयं
3. गुणज और गुणनखण्ड का मिश्रण:
यदि किसी संख्या के सभी गुणनखण्डों का योग निकालना हो, तो उसका सबसे बड़ा गुणज क्या होगा?
a) 1
b) सबसे छोटी अभाज्य संख्या
c) वह संख्या स्वयं
d) 2 से गुणा की गई संख्या
उत्तर: c) वह संख्या स्वयं
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या 8 के गुणज और 16 के गुणनखण्ड दोनों है?
a) 16
b) 8
c) 4
d) 2
उत्तर: a) 16
किसी संख्या का पहला गुणज और सबसे छोटा गुणनखण्ड क्या होता है?
a) वह संख्या स्वयं
b) 0
c) 1
d) 2
उत्तर: c) 1
45 के गुणनखण्ड क्या हैं?
a) 1, 3, 5, 9, 15, 45
b) 1, 5, 10, 15, 45
c) 1, 5, 9, 15, 45
d) 1, 3, 5, 9, 15
उत्तर: a) 1, 3, 5, 9, 15, 45
लघुत्तम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्तक पर आधारित प्रश्न
दो संख्याओं x एवं y का लघुत्तम समापवर्त्य a हैं x तथा y का महत्तम समापवर्तक होगा?
वह छोटी से छोटी संख्या कौन सी हैं, जो 4, 6, 8, 9, 12, से पूर्णतः विभाजित हो?
A. 18 B. 32 C. 68 D. 72
हल:- 4, 6, 8, 9, 12, का LCM = 72 अतः वह छोटी से छोटी संख्या 72 होंगी। Ans. 72
5⁻¹¹, 5⁻⁹, 5⁻¹⁶, 5⁻¹⁰ का लघुत्तम समावतर्क एवं महत्तम समावतर्क निकालिए?
A. 5⁻¹⁶ B. 5⁻¹¹ C. 5⁻⁹ D. 5⁻¹⁰
हल:- प्रश्ननानुसार, सभी संख्याओं का आधार 5 हैं तथा -9 > -10 > -11 > -16 LCM = 5⁻⁹ HCF = 5⁻¹⁶ Ans. 5⁻¹⁶
दो संख्याओं के L.C.M. और H.C.F. क्रमशः 48, 8, हैं यदि इनमे से एक संख्या 24 हैं, तो दूसरी संख्या क्या होगी?
A. 16 B. 8 C. 32 D. 18
हल:- प्रश्ननानुसार, L.C.M × H.C.F = प्रथम संख्या × द्धितीय संख्या 24 × X = 48 × 8 X = 48 × 8 / 24 X = 16 Ans. 16
दो संख्याओं का L.C.M. 1920 तथा H.C.F. 16 हैं, यदि इनमें से एक संख्या 128 हो तो दूसरी संख्या क्या होगी?
A. 160 B. 832 C. 240 D. 512
हल:- प्रश्ननानुसार, माना, दूसरी संख्या = x L.C.M × H.C.F = प्रथम संख्या × द्धितीय संख्या x × 128 = 1920 × 16 x = 1920 × 16/128 x = 240 अतः दूसरी संख्या = 240 Ans. 240
वह छोटी से छोटी संख्या कौन सी हैं जिसे 14, 21, 28, 35 से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में 5 शेष बचे?
A. 165 B. 285 C. 425 D. 350
हल:- प्रश्ननानुसार, 14, 21, 28, 35 का LCM = 420 420 + 5 = 425 Ans. 425
a,b,c एक वृताकार स्टेडियम में उसके चारों और एक ही बिंदु से एक साथ दौड़ना प्रारंभ करते हैं तथा क्रमशः 28, 24, 32 सेकण्ड में एक चक्कर पूरा करते हैं वे तीनों कितने समय बाद प्रारम्भिक बिंदु पर फिर से मिलेंगे?
A. 16/5 B. 8/3 C. 24/5 D. 3/7
हल:- प्रश्ननानुसार, L.C.M. = 288 288/60 24/5 Ans. 24/5
तीन विभिन्न चौराहों पर आवागमन सूचक वृतिया क्रमशः 48 सेकेण्ड, 72 सेकेंड, और 108 सेकेंड के बाद बदलती हैं यदि वे एक साथ अभी बदली हो तो फिर कितने समय बाद बदलेगी?
A. 165 B. 285 C. 432 D. 350
हल:- प्रश्ननानुसार, 48, 72, 108 का L.C.M. = 432 Ans. 432
3 प्रकार के तारों की लंबाई क्रमशः 4672, 3869, 2993, मीटर हैं, एक अन्य प्रकार के तार की अधिकतम लम्बाई क्या है जिससे तीनों प्रकार के तारों की लंबाई को पूर्णतः नापा जा सकें।
A. 16 B. 28 C. 43 D. 73
हल:- प्रश्ननानुसार, 4672, 3869, 2993 का HCF = 73 Ans. 73
दो संख्याओं का लासा 495 है तथा उनका महत्तम समापवर्तक 5 है यदि उन संख्याओं का योग 100 हो तो उन का अंतर कितना होगा?
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
हल:- प्रश्ननानुसार, माना की पहली संख्या = a दूसरी संख्या = b सूत्र – प्रथम संख्या × दूसरी संख्या = ल.स × म.स a × b = 495 × 5 ab = 2475 प्रश्ननानुसार, a + b = 100 सूत्र – (a – b)² = ( a + b )² – 4ab (100)² – 4 × 2475 10000 – 9900 (a – b)² = 100 (a – b) = √100 (a – b) = 10 Ans. 10
वह बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 29 30 और 3250 में भाग देने पर क्रमशः 7 और 11 शेष बचे?
A. 79 B. 59 C. 89 D. 69
हल:- प्रश्ननानुसार, 2930 – 7 = 2923 और 3250 – 11 = 3239 इसीलिए 2923 और 3239 का म.स.प. = 79 इसीलिए वह संख्या 79 हैं। Ans. 79
वह छोटी से छोटी संख्या निकालें जिसे 5, 6, 7, 8 से भाग देने पर 3 शेष बचता है परन्तु 9 से भाग देने पर कोई शेष नही बचता?
A. 1560 B. 1683 C. 1820 D. 1960
हल :- प्रश्ननानुसार, 5, 6, 7, 8 का ल.स. = 840 अतः वाँछित संख्या = (840 × n + 3) होगी। जहाँ n कोई प्राकृत संख्या हैं। n का न्यूनतम मान, जिससे (840 × n + 3), 9 से विभाज्य हो, वह न्यूनतम मान n = 2 होगा। अभीष्ट संख्या = 840 × 2 + 3 अभीष्ट संख्या = 1683 Ans. 1683
वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करें जो 10, 20, 30, 40 तथा 50 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 7 शेष बचे?
A. 607 B. 709 C. 504 D. 810
हल:- प्रश्ननानुसार, सूत्र :- वह छोटी से छोटी संख्या बताये जो x, y, z तथा p से भाग देने पर प्रत्येक दशा में सामान शेष (k) बचे तो संख्या = ल.स. (x, y, z, p) + k ) अभीष्ट संख्या = ल.स. (10, 20, 30, 40, 50) + 7 = 600 + 7 = 607 Ans. 607
चार अंक की सबसे छोटी संख्या ज्ञात करे जो 2, 3, 4, 5, 6 और 7 से पूर्ण रूप से भाज्य हो?
A. 1270 B. 1260 C. 1570 D. 1470
हल:- प्रश्ननानुसार, सबसे पहले हम 2, 3, 4, 5, 6 और 7 का ल.स. निकालेंगे ल.स. (2, 3, 4, 5, 6 और 7) = 420 चूँकि हमें 4 अंक की संख्या चाहिए अतः अभीष्ट संख्या अवश्य ही 420 का गुणक होगा. अभीष्ट संख्या = 420 x 3 अभीष्ट संख्या = 1260 Ans. 1260
दो संख्याओं का गुणनफल 7168 है एवं उनका म0 स0 16 है तो संख्याएं क्या है?
A. 111, 11 B. 124, 13 C. 132, 7 D. 112, 64
हल:- प्रश्ननानुसार, माना कि संख्याएं 16a तथा 16b हैं तथा परस्पर अभाज्य भी हैं अत: 16a x 16b = 7168 = 28 अब वे जोडे देखते हैं जिनका गुणनफल 28 होता है वे हैं (28,1) तथा (7,4) अत: संख्याएं हो सकती हैं (448 , 16) तथा (112 , 64) Ans. 112, 64
दो व्यजकों का महत्तम समापवर्तक (x + 2) और लघुत्तम समापवर्तक (x + 2) (x – 1) (x² – 2x + 4) हैं यदि उनमें से एक व्यंजक (x² – 2x + 4) हो, तो दूसरा व्यंजक होगा?
A. (x + 2) B. (x – 1) C. (x + 2)(x – 1) D. (x + 2)² (x – 1)
दो संख्याओं का म. स. 16 तथा ल. स. 160 हैं यदि इनमें से एक संख्या 32 हो, तो दूसरी संख्या होंगी?
A. 48 B. 80 C. 96 D. 112
हल:- प्रश्नानुसार, दूसरी संख्या = (ल.स.× म.स.)/पहली संख्या दूसरी संख्या = (16 × 160)/32 दूसरी संख्या = 80 Ans. 80
दो संख्याओं का ल. स. 225 हैं तथा उनका म. स. 5 हैं यदि एक संख्या 25 हो, तो दूसरी संख्या होगी?
A. 5 B. 45 C. 35 D. 225
हल:- प्रश्नानुसार, दूसरी संख्या = (ल.स.× म.स.)/पहली संख्या दूसरी संख्या = (225 × 5)/25 दूसरी संख्या = 9 × 5 दूसरी संख्या = 45 Ans. 45
दो संख्याओं का ल. स 864 हैं और उनका म. स 144 हैं यदि उनमें से एक संख्या 288 हो, तो दूसरी संख्या होंगी?
A. 567 B. 255 C. 432 D. 225
हल:- प्रश्नानुसार, दूसरी संख्या = (ल.स.× म.स.)/पहली संख्या दूसरी संख्या = (864 × 144)/288 दूसरी संख्या = 144 × 3 दूसरी संख्या = 432 Ans. 432
13 का वह सबसे छोटा गुणज जिसे 4, 5, 6, 7 और 8 से भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में 2 शेष बचें?
A. 2522 B. 2552 C. 4323 D. 2225
हल:- प्रश्नानुसार, 4, 5, 6, 7 और 8 लघुत्तम समापवर्तक = 840 संख्या = (840 × n + 2), होगी। जहाँ n कोई प्राकृतिक संख्या हैं। n का न्यूनतम मान जिससे (840 × n + 2), 13 से विभाज्य हो। न्यूनतम मान n = 3 होगा। अभीष्ट संख्या = 840 × 3 + 2 अभीष्ट संख्या = 2520 + 2 अभीष्ट संख्या = 2,522 Ans. 2,522
तीन विभिन्न चौराहों पर आवागमन सूचक बत्तियाँ क्रमशः 48 सेकेण्ड, 72 सेकेंड, और 108 सेकेंड के बाद बदलती हैं यदि वे 8 :20 : 00 बजे बदली हो तो फिर कितने समय बाद बदलेगी?
A. 8 : 27 : 27 B. 8 : 27 : 32 C. 8 : 27 : 12 D. 8 : 27 : 18
हल:- प्रश्नानुसार, पुनः बत्तियों का साथ बदलने का समय 48, 72, और 108 का L.C.M. = 432 अर्थात 7 मिनिट 12 सेकेण्ड पुनः बत्तियाँ बदलने में परिवर्तन होगा = 8 : 27 : 12 Ans. 8 : 27 : 12
एक मंदिर में 6 घण्टियाँ लगी हुई हैं, जिनमें से वे क्रमशः 4 सेकेण्ड, 6 सेकेण्ड, 8 सेकेण्ड, 20 सेकेण्ड, और 12 सेकेंड और 18 सेकेण्ड में बजती हैं यदि वे एक साथ अभी बजी हो तो फिर कितने समय बाद बजेगी?
A. 120 B. 140 C. 180 D. 220
हल:- प्रश्नानुसार, एक मंदिर में घण्टियाँ लगी हैं = 6 4, 6, 8, 20, 12, 18 का L.C.M. = 180 अतः 180 सेकेण्ड के बाद पुनः मंदिर में घण्टियाँ बजेगी।
एक मंदिर में 6 घण्टियाँ लगी हुई हैं, जिनमें से वे क्रमशः 10 सेकेण्ड, 12 सेकेण्ड, 15 सेकेण्ड, 20 सेकेण्ड, और 25 सेकेंड और 30 के अंतराल पर बजती हैं यदि वे एक साथ अभी बजी हो तो फिर कितने समय बाद बजेगी?
A. 150 B. 200 C. 250 D. 300
हल:- प्रश्नानुसार, एक मंदिर में घण्टियाँ लगी हैं = 6 10, 12, 15, 20, 25, 30 का L.C.M. = 300 अतः 300 सेकेण्ड के बाद पुनः मंदिर में घण्टियाँ बजेगी।
लघुत्तम समापवर्त्य पर आधारित प्रश्न
Q.1 12, 24, 48 का गुणनखण्ड विधि से लघुत्तम समापवर्त्य निकालिए? A. 12 B. 28 C. 36 D. 48
Q.8 3/4, 6/7, 8/9 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए? A. 24 B. 3 C. 3/56 D. 8
हल:- प्रश्नानुसार, 3/4, 6/7, 8/9 का लघुत्तम समापवर्तक भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M.) = अंशों का लघुत्तम समावतर्क / हर का महत्तम समावतर्क लघुत्तम समापवर्तक = (3, 6, और 8 का ल. स.)/(4, 6, और 7 का म. स.) लघुत्तम समापवर्तक = 24/1 लघुत्तम समापवर्तक = 24 Ans. 24
Q.8 5/7, 7/8 एवं 8/9 का लघुत्तम समापवर्तक हैं? A. 120 B. 280 C. 360 D. 480
हल:- प्रश्नानुसार, 5/7, 7/8 एवं 8/9 का लघुत्तम समापवर्तक भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M.) = अंशों का लघुत्तम समावतर्क / हर का महत्तम समावतर्क लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M.) = (5, 7, 8 का ल. स.)/(7,8,9 का म.स.) लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M.) = 280 Ans. 280
Q.9 1/3, 5/6, 2/9, 4/27 का लघुत्तम समापवर्तक हैं? A. 10/27 B. 20/3 C. 20/27 D. 1/54
हल:- प्रश्नानुसार, 1/3, 5/6, 2/9, 4/27 का लघुत्तम समापवर्तक भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M.) = अंशों का लघुत्तम समावतर्क / हर का महत्तम समावतर्क अभीष्ट ल.स. = 1, 5, 2 तथा 4 का ल.स./3, 6, 9 तथा 27 का म.स. अभीष्ट ल.स. = 20/3 Ans. 20/3
Q.10 छोटे से छोटा वह भिन्न जो 6/7, 5/14, 10/21 से पुर्णतः विभक्त हो जाए हैं? A. 30/98 B. 60/90 C. 30/7 D. 60/147
हल:- प्रश्नानुसार, भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M.) = अंशों का लघुत्तम समावतर्क / हर का महत्तम समावतर्क अभीष्ट ल. स. = (6,5,10 का ल. स.)/(7,14,21 का म.स.) 30/7 Ans. 30/7
Q.11 0.9, 0.18, 3.6, 7.2, 0.144 का लघुत्तम समापवर्तक क्या हैं? A. 1.44 B. 7.2 C. 12.96 D. 18.32
हल:- प्रश्नानुसार, 0.9, 0.18, 3.6, 7.2, 0.144 दशमलव के बाद अधिकतम तीन अंक हैं। इसलिए सभी संख्याओं को 1000 से गुणा करने पर प्राप्त संख्या = 900, 180, 3600, 7200 तथा 144 इन संख्याओं का ल. स. = 7200 अभीष्ट ल. स. = 7200/100 लघुत्तम समापवर्तक = 7.2 Ans. 7.2
Q.12 x² + xy + y² और x³ – y³ का L.C. M. होगा? A. x – y B. x² – y² C. x³ – y³ D. x² + xy + y²
Q.23 2.4, 0.36 और 7.2 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए? A. 12 B. 120 C. 1.2 D. 0.12
हल:- प्रश्नानुसार, 2.4, 0.36, 7.2 दशमलव के बाद अधिकतम दो अंक हैं। इसलिए सभी संख्याओं को 100 से गुणा करने पर प्राप्त संख्या = 240, 36, तथा 720 इन संख्याओं का ल. स. = 12 अभीष्ट ल. स. = 12/100 लघुत्तम समापवर्तक = 0.12 Ans. 0.12
Q.24 7⁸, 7⁶, 7⁵, 7¹⁰ महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए? A. 7⁸ B. 7⁷ C. 7⁵ D. 7¹⁰
हल:- सभी संख्याओं का आधार 7 हैं। तथा सबसे छोटी घात 7⁵ का हैं। लघुत्तम समापवर्त्य = 7⁵ Ans. 7⁵
Q.25 2.4, 0.36 तथा 7.2 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए? A. 12 B. 120 C. 12.9 D. 15.7
हल:- प्रश्नानुसार, चूंकि दशमलव के बाद अधिकतम दो अंक हैं, इसलिए सभी संख्याओं को 100 से गुणा करने पर प्राप्त संख्या = 240, 36 तथा 720 होंगे। 240 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 36 = 2 × 2 × 3 × 3 720 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 240, 36, 720 का म.स. = 2 × 2 3 240, 36, 720 का म.स. = 12 अभीष्ट म.स. = 12/100 अभीष्ट म.स. = 0.12 Ans. 0.12
Q.26 यदि (x – a), (x² – x – 6) और (x² + 3x – 18) का महत्तम समापवर्तक हैं, तो a का मान होगा? A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
हल:- प्रश्नानुसार, (x² – x – 6) = (x² – x – 6) (x² – x – 6) = x² – 3x + 2x – 6 (x² – x – 6) = x(x – 3) + 2(x – 3) (x² – x – 6) = (x – 3)(x + 3) (x² + 3x – 18) = (x² + 3x – 18) (x² + 3x – 18) = x² + 6x – 3x – 18 (x² + 3x – 18) = x (x + 6) – 3(x + 6) (x² + 3x – 18) = (x – 3)(x + 6) म.स. = 1 = (x – 3) म.स. = 1 = (x – a) x – 3 = x – a x – x – a = – 3 – a = – 3 a = 3 Ans. 3
Q.27 1295/1591 को जब निम्नतम पद में से घटाया जाए तो संख्या प्राप्त होगी? A. 35/37 B. 37/43 C. 35/43 D. 43/35
हल:- प्रश्नानुसार, 1295 और 1591 महत्तम समापवर्तक = 37 (1295÷37)/(1591÷37) Ans. 35/43
Q.28 a²−1, a³−1 और 8a³−8a का महत्तम समापवर्तक हैं? A. a + 1 B. a – 1 C. a² + 1 D. a² – 1
हल:- प्रश्नानुसार, a²−1 = (a + 1)(a – 1) a³−1 = (a – 1)(a² + a +1) 8a³−8a = 8a (a -1)(a² + a +1) महत्तम समापवर्तक = (a – 1) Ans. a – 1
1 से 50 तक की संख्याओं का वर्ग संख्या/Square number
वर्ग 1 से 50, 1 से 50 तक की सभी संख्याओं के वर्गों (Square number) की सूची है। 1 से 50 तक के वर्गों का मान 1 से 2500 के बीच है। इन मानों को याद करने से छात्रों को समय लेने वाले समीकरणों को जल्दी से सरल बनाने में मदद मिलेगी। घातीय रूप में वर्ग 1 से 50 को (x) 2 के रूप में व्यक्त किया जाता है ।
वर्ग 1 से 50 :
प्रतिपादक रूप: (x) 2
उच्चतम मूल्य: 50 2 = 2500
न्यूनतम मान: 1 2 = 1
वर्ग 1 से 50 सीखने से छात्रों को 1 से 2500 तक के सभी पूर्ण वर्गों को पहचानने में मदद मिल सकती है और ज्ञात वर्गों के बीच अंतर्वेश करके एक वर्गमूल का अनुमान लगा सकते हैं। वर्ग 1 से 50 तक के मान नीचे तालिका में सूचीबद्ध हैं।
1 से 50 तक सभी वर्गों की सूची
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81
102 = 100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841
302 = 900
312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521
402 = 1600
412 = 1681
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401
502 = 2500
वर्ग 1 से 50 – सम संख्याएँ
नीचे दी गई तालिका सम संख्याओं के वर्ग 1 से 50 तक के मानों को दर्शाती है।
22 = 4
42 = 16
62 = 36
82 = 64
102 = 100
122 = 144
142 = 196
162 = 256
182 = 324
202 = 400
222 = 484
242 = 576
262 = 676
282 = 784
302 = 900
322 = 1024
342 = 1156
362 = 1296
382 = 1444
402 = 1600
422 = 1764
442 = 1936
462 = 2116
482 = 2304
502 = 2500
वर्ग 1 से 50 – विषम संख्याएँ
नीचे दी गई तालिका विषम संख्याओं के लिए 1 से 50 तक के वर्गों का मान दर्शाती है।
12 = 1
32 = 9
52 = 25
72 = 49
92 = 81
112 = 121
132 = 169
152 = 225
172 = 289
192 = 361
212 = 441
232 = 529
252 = 625
272 = 729
292 = 841
312 = 961
332 = 1089
352 = 1225
372 = 1369
392 = 1521
412 = 1681
432 = 1849
452 = 2025
472 = 2209
492 = 2401
वर्ग 1 से 50 के मानों की गणना कैसे करें?
1 से 50 तक के वर्गों की गणना करने के लिए, हम निम्नलिखित विधियों में से किसी एक का उपयोग कर सकते हैं:
विधि 1: स्वयं से गुणा करना।
विधि 2: बुनियादी बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करना:
34 का वर्ग ज्ञात करने के लिए, हम 34 को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
विकल्प 1: (30 + 4)
विकल्प 2: (40 – 6)
अगले चरण में, हम बुनियादी बीजगणितीय पहचान सूत्र का उपयोग करते हैं और
विकल्प 1: [30² + 4² + (2 × 30 × 4)] या
विकल्प 2: [40² + 6² – (2 × 40 × 6)] प्राप्त करते हैं।
व्यंजकों को और हल करने पर, हमें विकल्प 1: (900 + 16 + 240) = 1156 या
विकल्प 2: (1600 + 36 – 480) = 1156 मिलता है।
विषम संख्याओं का पूर्ण वर्ग = विषम सम संख्याओं का पूर्ण वर्ग =सम
अभाज्य गुणनखंड विधि से पूर्ण वर्ग संख्या की पहचान व निर्माण
बताइये कि संख्या 121 पूर्णवर्ग है अथवा नहीं?
वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिये जिसका 180 से गुणा करने पर गुणनफल पूर्ण वर्ग बन जाए।
वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिये जिसका 2352 में भाग देने पर भागफल पूर्ण वर्ग बन जाए।
ब्याज = (मूलधन × समय × दर)/100 मिश्रधन = मूलधन + साधरण ब्याज मिश्रधन = मूलधन × (100 + ब्याज की दर समय) मूलधन = मिश्रधन – साधरण ब्याज मूलधन = साधारण ब्याज × 100 / समय × ब्याज की दर समय = साधरण ब्याज × 100 / मूलधन × ब्याज की दर ब्याज की दर = साधरण ब्याज × 100 / मूलधन × समय मिश्रधन = मूलधन × (100 + समय × दर) अधिक जानकारी के लिए साधारण ब्याज की पोस्ट जरूर पढ़िए।
चक्रवृद्धि ब्याज के सूत्र
चक्रवृद्धि ब्याज = (1 + दर / 100 )^समय – मूलधन चक्रवृद्धि ब्याज = मूलधन [(1 + दर / 100)^समय – 1] चक्रवृद्धि ब्याज = मिश्रधन – मूलधन मिश्रधन की गणना निम्न प्रकार की जाती हैं। मिश्रधन = मूलधन × (1 दर / 100)^समय मिश्रधन = मूलधन + ब्याज
प्रतिशत का अर्थ (प्रति + शत) प्रत्येक सौ पर या 100 में से x प्रतिशत का अर्थ 100 में से x
x% = x/100
भिन्न x/y को प्रतिशत में बदलने के लिए भिन्न को 100 से गुणा करते है।
किसी वस्तु का x/y भाग = उस वस्तु का (x/y) × 100
x का y प्रतिशत = x × y 100
x, y का कितना प्रतिशत है = x/y × 100
y, x से कितना प्रतिशत अधिक है = (y – x)/x × 100
y, x से कितना प्रतिशत कम है = (x – y)/x × 100
प्रतिशत वृद्धि = वृद्धि/प्रारंभिक मान × 100
प्रतिशत कमी = कमी/प्रारंभिक मान × 100
x को R % बढ़ाने पर, x(1 + R/100) प्राप्त होगा
x को R % घटाने पर, x(1 – R/100) प्राप्त होगा
अन्य महत्वपूर्ण सूत्र :
x में y % की वृद्धि होने पर नई संख्या ज्ञात करना = (100 + y)/100 × x
यदि x का मान y से R% अधिक है तो y का मान x से R % में कम हैं = R/(100 + R × 100)%
यदि x का मान y से R% कम है तो y का मान x से R % में अधिक हैं = R/(100 – R × 100)%
किसी वस्तु के मूल्य में R% वृद्धि होने पर भी वस्तु पर कुल खर्च ना बढ़े इसके लिए वस्तु की खपत में R% कमी = R/(100 + R × 100)%
किसी वस्तु के मूल्य में R% कमी होने पर भी वस्तु पर कुल खर्च ना घटे इसके लिए वस्तु की खपत में R% वृद्धि = ( R/(100 – R× 100)%
यदि A = x × y तो x में m% परिवर्तन एवं y में n% परिवर्तन के कारण A में प्रतिशत परिवर्तन = m + n + mn/100, जहाँ वृद्धि के लिए + एवं कमी के लिए – चिन्ह का उपयोग किया जाएगा ।
यदि किसी व्यक्ति द्वारा एक कार्य पूरा करने में x दिन का समय लगे, तो व्यक्ति द्वारा 1 दिन में किया गया कार्य 1/x होगा।
यदि किसी व्यक्ति द्वारा 1 दिन में 1/x भाग कार्य किया जाता है, तो व्यक्ति द्वारा पूरा कार्य समाप्त करने में x दिन लगेंगे।
यदि किसी कार्य को करने के लिए व्यक्तियों की संख्या बढ़ाई जाए, तो कार्य समाप्त होने में उसी अनुपात में समय कम लगता है।
यदि किसी व्यक्ति A की कार्य करने की क्षमता, किसी अन्य व्यक्ति B की कार्य करने की क्षमता की x गुनी हो, तो किसी कार्य को करने में A को B के समय का 1/x गुना समय लगेगा।
यदि A तथा B किसी कार्य को भिन्न-भिन्न समय मे करते हों, तो (A का कार्य) : (B का कार्य) = (B द्वारा लिया समय) : (A द्वारा लिया समय)
यदि m₁ व्यक्ति, h₁ घण्टे/दिन कार्य करके d₁ दिनों में w₁ कार्य करते हैं, तो m₂ व्यक्ति, h₂ घण्टे/दिन कार्य करके d₂ दिनों में w₂ कार्य करने के लिए (m₁ d₁ h₁)/w₁ = (m₂ d₂ h₂)/h₂
यदि A किसी काम को x दिन में तथा B उसी काम को y दिन में करता हैं, तो काम पूरा होने में (x × y)/(x + y) दिन का समय लगेगा।
यदि A तथा B किसी काम को x दिन में तथा A अकेला उसी काम को y दिन में कर सकता हैं, तो B अकेला उसी कार्य को (xy)/(x – y) दिन में पूरा करेगा।
यदि एक हौज को एक पाइप द्वारा h₁ घण्टों में तथा दूसरे पाइप द्वारा h₂ घण्टों में भरा जाता हैं, तो दोनों पाइपों को एक साथ खोल देने पर वह हौज (h₁ × h₂)/(h₁ + h₂) घण्टों में भर जाएगा।
यदि A, B तथा C किसी काम को क्रमशः x, y तथा z दिनों में कर सकते हैं, तो तीनों मिलकर उसी काम को (x × y × z)/(xy + yz + zx)
कार्य और समय के MCQ
कार्य और समय (Work and Time) से संबंधित MCQ (Multiple Choice Questions) छात्रों को इस महत्वपूर्ण अवधारणा को समझने और इसका अभ्यास करने में मदद करेंगे। नीचे दिए गए हैं MCQ प्रश्न, उनके उत्तर, और साथ में हल करने के लिए निर्देश:
निर्देश:
प्रत्येक प्रश्न के चार विकल्पों में से एक सही उत्तर चुनें।
कार्य और समय के प्रश्नों को हल करते समय निम्नलिखित महत्वपूर्ण सूत्रों का उपयोग करें:
यदि कोई व्यक्ति A दिन में कार्य करता है, तो उसकी एक दिन की कार्य क्षमता होगी: 1/A
यदि कोई व्यक्ति एक दिन में कार्य का 1/A भाग करता है, तो पूरा कार्य करने में उसे A दिन लगेंगे।
यदि दो व्यक्ति मिलकर कार्य करते हैं, तो उनकी संयुक्त कार्य क्षमता होगी: (1/A) + (1/B) जहाँ A और B उनके व्यक्तिगत कार्य के दिन हैं।
सभी प्रश्नों को ध्यानपूर्वक पढ़ें और उत्तर चुनने से पहले उचित समय दें।
प्रश्न 1:
यदि A किसी काम को 10 दिनों में पूरा कर सकता है और B उसी काम को 15 दिनों में, तो A और B मिलकर काम को कितने दिनों में पूरा करेंगे?
a) 6 दिन
b) 7 दिन
c) 8 दिन
d) 9 दिन
उत्तर: a) 6 दिन समाधान: A की एक दिन की कार्य क्षमता = 1/10 B की एक दिन की कार्य क्षमता = 1/15 दोनों की संयुक्त कार्य क्षमता = (1/10) + (1/15) = (3 + 2)/30 = 5/30 = 1/6 इसलिए, A और B मिलकर 6 दिनों में काम पूरा करेंगे।
प्रश्न 2:
यदि C किसी कार्य को 12 दिनों में पूरा करता है, तो C 3 दिनों में उस काम का कितना हिस्सा पूरा करेगा?
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/4
d) 1/5
उत्तर: b) 1/4 समाधान: C की एक दिन की कार्य क्षमता = 1/12 C 3 दिनों में काम का भाग = 3 × (1/12) = 3/12 = 1/4
प्रश्न 3:
A किसी काम को 8 दिनों में पूरा करता है, जबकि B उसी काम को 12 दिनों में करता है। यदि दोनों मिलकर काम करें, तो वे 4 दिन में काम का कितना हिस्सा पूरा करेंगे?
a) 2/3
b) 1/2
c) 3/4
d) 5/6
उत्तर: c) 3/4 समाधान: A की एक दिन की कार्य क्षमता = 1/8 B की एक दिन की कार्य क्षमता = 1/12 दोनों की एक दिन की संयुक्त कार्य क्षमता = (1/8) + (1/12) = (3 + 2)/24 = 5/24 4 दिन में पूरा किया गया काम = 4 × (5/24) = 20/24 = 5/6
प्रश्न 4:
यदि A अकेले किसी काम को 16 दिनों में और B अकेले उसे 24 दिनों में पूरा करता है, तो A और B मिलकर उस काम को कितने दिनों में पूरा करेंगे?
a) 8 दिन
b) 9 दिन
c) 10 दिन
d) 11 दिन
उत्तर: a) 9.6 दिन समाधान: A की एक दिन की कार्य क्षमता = 1/16 B की एक दिन की कार्य क्षमता = 1/24 दोनों की संयुक्त कार्य क्षमता = (1/16) + (1/24) = (3 + 2)/48 = 5/48 इसलिए, A और B मिलकर 48/5 = 9.6 दिन में काम पूरा करेंगे।
प्रश्न 5:
A अकेले 12 दिनों में काम पूरा करता है और B अकेले 18 दिनों में। यदि दोनों मिलकर 4 दिन तक काम करें, तो शेष काम को पूरा करने में A को कितने दिन और लगेंगे?
a) 4 दिन
b) 3 दिन
c) 2 दिन
d) 5 दिन
उत्तर: c) 2 दिन समाधान: A की एक दिन की कार्य क्षमता = 1/12 B की एक दिन की कार्य क्षमता = 1/18 दोनों की 4 दिन की संयुक्त कार्य क्षमता = 4 × (1/12 + 1/18) = 4 × (5/36) = 20/36 = 5/9 शेष काम = 1 – 5/9 = 4/9 अब, A शेष काम को अकेले करेगा, तो समय = शेष काम ÷ A की कार्य क्षमता = (4/9) ÷ (1/12) = 4 × 12/9 = 16/9 ≈ 2 दिन
प्रश्न 6:
C किसी काम को 18 दिनों में कर सकता है और D उसी काम को 9 दिनों में। यदि दोनों मिलकर 3 दिनों तक काम करें, तो कितना काम पूरा हो जाएगा?
a) 1/2
b) 2/3
c) 3/4
d) 5/6
उत्तर: b) 2/3 समाधान: C की एक दिन की कार्य क्षमता = 1/18 D की एक दिन की कार्य क्षमता = 1/9 दोनों की एक दिन की संयुक्त कार्य क्षमता = (1/18) + (1/9) = (1 + 2)/18 = 3/18 = 1/6 3 दिन में पूरा किया गया काम = 3 × 1/6 = 1/2
प्रश्न 7:
यदि A और B किसी काम को क्रमशः 20 और 30 दिनों में पूरा करते हैं, तो A और B मिलकर काम को कितने दिनों में पूरा करेंगे?
a) 10 दिन
b) 12 दिन
c) 15 दिन
d) 18 दिन
उत्तर: b) 12 दिन समाधान: A की एक दिन की कार्य क्षमता = 1/20 B की एक दिन की कार्य क्षमता = 1/30 दोनों की एक दिन की संयुक्त कार्य क्षमता = (1/20) + (1/30) = (3 + 2)/60 = 5/60 = 1/12 इसलिए, A और B मिलकर 12 दिनों में काम पूरा करेंगे।
प्रश्न 8:
एक व्यक्ति 8 घंटे में 1 काम पूरा करता है, जबकि दूसरा व्यक्ति उसी काम को 12 घंटे में पूरा करता है। दोनों मिलकर काम को कितने घंटे में पूरा करेंगे?
a) 4.8 घंटे
b) 5 घंटे
c) 6 घंटे
d) 7 घंटे
उत्तर: a) 4.8 घंटे समाधान: पहले व्यक्ति की एक घंटे की कार्य क्षमता = 1/8 दूसरे व्यक्ति की एक घंटे की कार्य क्षमता = 1/12 दोनों की संयुक्त कार्य क्षमता = (1/8) + (1/12) = (3 + 2)/24 = 5/24 इसलिए, दोनों मिलकर काम को 24/5 = 4.8 घंटे में पूरा करेंगे।
प्रश्न 9:
A और B मिलकर एक काम को 16 दिन में पूरा कर सकते हैं। A अकेले उसी काम को 24 दिन में करता है। B अकेले कितने दिनों में काम पूरा करेगा?
a) 48 दिन
b) 32 दिन
c) 40 दिन
d) 36 दिन
उत्तर: d) 48 दिन समाधान: A और B मिलकर 1 दिन में किया गया काम = 1/16 A की एक दिन की कार्य क्षमता = 1/24 B की कार्य क्षमता = (1/16 – 1/24) = (3 – 2)/48 = 1/48 इसलिए, B अकेले 48 दिनों में काम करेगा।
प्रश्न 10:
A किसी कार्य को 18 दिनों में और B उसी कार्य को 12 दिनों में पूरा करता है। यदि A और B मिलकर 4 दिन काम करते हैं, तो शेष कार्य को पूरा करने में B को कितने दिन लगेंगे?
a) 3 दिन
b) 4 दिन
c) 2 दिन
d) 5 दिन
उत्तर: a) 2 दिन समाधान: A की एक दिन की कार्य क्षमता = 1/18 B की एक दिन की कार्य क्षमता = 1/12 दोनों की संयुक्त कार्य क्षमता = (1/18) + (1/12) = (2 + 3)/36 = 5/36 4 दिन में पूरा किया गया कार्य = 4 × (5/36) = 20/36 = 5/9 शेष कार्य = 1 – 5/9 = 4/9 अब, B शेष कार्य को अकेले करेगा, तो समय = शेष कार्य ÷ B की कार्य क्षमता = (4/9) ÷ (1/12) = 4 × 12/9 = 48/9 = 5.33 दिन
प्रश्न 11:
C और D मिलकर एक काम को 15 दिनों में कर सकते हैं। C अकेले उसे 25 दिनों में कर सकता है। D अकेले उस काम को कितने दिनों में पूरा करेगा?
a) 30 दिन
b) 40 दिन
c) 37.5 दिन
d) 45 दिन
उत्तर: b) 37.5 दिन समाधान: C और D मिलकर 1 दिन में किया गया काम = 1/15 C की कार्य क्षमता = 1/25 D की कार्य क्षमता = (1/15 – 1/25) = (5 – 3)/75 = 2/75 इसलिए, D अकेले 75/2 = 37.5 दिनों में काम पूरा करेगा।
प्रश्न 12:
एक काम को पूरा करने में A को 9 दिन और B को 18 दिन लगते हैं। दोनों मिलकर कितने दिनों में काम का 1/3 हिस्सा पूरा करेंगे?
a) 3 दिन
b) 2 दिन
c) 1.5 दिन
d) 4 दिन
उत्तर: b) 2 दिन समाधान: A की कार्य क्षमता = 1/9 B की कार्य क्षमता = 1/18 संयुक्त कार्य क्षमता = (1/9) + (1/18) = 3/18 = 1/6 1/3 कार्य को पूरा करने का समय = (1/3) ÷ (1/6) = 2 दिन
द्विविमीय आकृतियाँ को 2D आकृति भी कहाँ जा सकता हैं। 2D आकृति की क्षेत्रफल और परिमाप की गणना की जा सकती हैं। 2D आकृतियों में मोटाई नहीं होती हैं इसे दो तरफ से मापा जा सकता हैं।
द्विविमीय आकृति की परिभाषा, सूत्र और उदाहरण
ज्यामिति में द्वी-आयामी आकृति एक समतल आकृति होती हैं जिसमें लम्बाई और चौड़ाई के दो आयाम होते हैं।
द्विविमीय आकृतियों के अंर्तगत आयत, वर्ग, त्रिभुज आदि आते हैं।
1. आयत
चार भुजाओं से घिरी आकृति जिसमें आमने सामने की भुजाएँ समान्तर और बराबर होती हैं तथा प्रत्येक कोण समकोण होता है आयत कहलाता हैं।
AC तथा BD को विकर्ण कहते हैं तथा ये विकर्ण आपस में बराबर होते हैं अर्थात AC = BD
आयत का परिमाप = 2(लम्बाई + चौड़ाई)
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई ×चौड़ाई
आयत का विकर्ण =√(लंबाई² + चौड़ाई²)
2. वर्ग
चार भुजाओं से घिरी वह आकृति जिसकी चारों भुजाएँ बराबर हों तथा प्रत्येक कोण समकोण हो अर्थात 90° का हो, उसे वर्ग कहते हैं।
AC तथा BD को विकर्ण कहते हैं तथा विकर्ण आपस में एक दूसरे के बराबर होते हैं अर्थात AC = BD
वर्ग का क्षेत्रफल = (एक भुजा)² = a²
वर्ग का क्षेत्रफल = ½ × (विकर्णो का गुणनफल) = ½ × AC × BD
वर्ग की परिमिति = 4 × a
वर्ग का विकर्ण = एक भुजा × √2 = a × √2
वर्ग का विकर्ण = √2 × वर्ग का क्षेत्रफल
3. त्रिभुज
तीन भुजाओं से घिरा समतल क्षेत्र त्रिभुज कहलाता हैं किसी भी त्रिभुज में तीन भुजाएं, तीन शीर्ष तथा तीन कोण होते हैं त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता हैं। त्रिभुज के लिए ‘∆’ चिन्ह का प्रयोग किया जाता हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई
त्रिभुज के प्रकार:
समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle):
जिन त्रिभुजों की तीनों भुजाएँ बराबर लंबाई की होती हैं, उन्हें समबाहु त्रिभुज कहते हैं।
इसमें तीनों कोण भी बराबर (60°) होते हैं।
समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle):
जिन त्रिभुजों की दो भुजाएँ बराबर लंबाई की होती हैं, उन्हें समद्विबाहु त्रिभुज कहते हैं।
इसमें समान भुजाओं के सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं।
विषमबाहु त्रिभुज (Scalene Triangle):
जिन त्रिभुजों की सभी भुजाएँ अलग-अलग लंबाई की होती हैं, उन्हें विषमबाहु त्रिभुज कहते हैं।
इसमें तीनों कोण भी अलग-अलग होते हैं।
न्यूनकोण त्रिभुज (Acute-angled Triangle):
जिन त्रिभुजों के तीनों कोण 90° से छोटे होते हैं, उन्हें न्यूनकोण त्रिभुज कहते हैं।
समकोण त्रिभुज (Right-angled Triangle):
जिस त्रिभुज में एक कोण 90° का होता है, उसे समकोण त्रिभुज कहते हैं।
अधिक कोण त्रिभुज (Obtuse-angled Triangle):
जिस त्रिभुज में एक कोण 90° से बड़ा होता है, उसे अधिक कोण त्रिभुज कहते हैं।
ऐकिक नियम गणित की एक सरल विधि है, जिसका उपयोग किसी वस्तु की एक इकाई का मान ज्ञात करके कई इकाइयों का मान ज्ञात करने या इसके विपरीत करने के लिए किया जाता है। यह नियम अनुपात और समानुपात की अवधारणा पर आधारित है।
ऐकिक नियम के प्रकार:
सीधा अनुपात (Direct Proportion):
जब दो परिमाण (quantities) एक-दूसरे के साथ समान अनुपात में बढ़ते या घटते हैं।
उदाहरण: यदि 1 किलोग्राम चावल की कीमत ₹50 है, तो 5 किलोग्राम चावल की कीमत कितनी होगी?
समाधान: 1 किलोग्राम = ₹50 5 किलोग्राम = 5×50=₹250
व्युत्क्रमानुपाती (Inverse Proportion):
जब एक परिमाण बढ़ता है और दूसरा घटता है।
उदाहरण: यदि 4 मजदूर एक काम को 6 दिनों में पूरा करते हैं, तो 8 मजदूर वही काम कितने दिनों में करेंगे?
समाधान: मजदूर और दिन व्युत्क्रमानुपाती हैं। 4×6=8×x x=4×6/8=3 दिन।
ऐकिक नियम का उपयोग:
1. वस्तु की कीमत से संबंधित प्रश्न:
उदाहरण: यदि 12 सेब की कीमत ₹240 है, तो 8 सेब की कीमत कितनी होगी?
A verb is the action or state of being in a sentence. Verbs can be expressed in different tenses, depending on when the action is being performed.
Verb एक शब्द है जिसका प्रयोग कुछ कार्य, भावना या अस्तित्व को व्यक्त करने के लिए किया जाता है. यह हमें एक वाक्य में विषय के बारे में कुछ बताता है. The word which tells something about a person, thing or place is called Verb. जो शब्द किसी व्यक्ति, वस्तु, स्थान इत्यादि के बारे में कुछ बताता है, Verb कहलाता है.
Present
Past
Past Participle
Dig
dug
dug
Drink
drank
drunk
Fight
fought
fought
Find
found
found
Types of verbs –
Verbs are words that express action or state of being. There are three types of verbs: action verbs, linking verbs, and helping verbs.
1 Action verb –
An action verb is a verb that describes an action, like running, jumping, kicking, eating, breaking, crying, smiling, or thinking. Action verbs, also called dynamic verbs, express an action whether it be physical or mental. An action verb explains what the subject of the sentence is doing or has done. Looking at action verb examples helps make clear the function of action verbs in sentences and what purpose they serve.
Example of action verbs:
Anil is throwing the football.
She accepted the job offer.
He thought about his stupid mistake in the test.
Mohan visited his friend for a while and then went home.
The dog ran across the yard.
She left in a hurry.
2 Linking verb –
A linking verb is a verb that describes the subject by connecting it to a predicate adjective or predicate noun. Unlike the majority of verbs, they do not describe any direct action taken or controlled by the subject.
The following sentences include linking verbs.
Roses are red.
The detective felt sick.
The soup tasted weird.
Frankenstein’s monster resembles a zombie.
He quickly grew tired.
You are becoming a nuisance.
3 Helping verbs –
Helping verbs are verbs that are used in a verb phrase (meaning, used with a second verb) to show tense, or form a question or a negative. Helping verbs are used to show perfect verb tenses, continuous/progressive verb tenses, and passive voice. Helping verbs are always followed by a second verb.
A preposition is a word that indicates the relationship between a noun and the other words of a sentence. They explain relationships of sequence, space, and logic between the object of the sentence and the rest of the sentence. They help us understand order, time connections, and positions.
Example:
I am going to Canada.
Alex threw a stone into the pond.
The present is inside the box.
They have gone out of the town.
There are a few interesting linguistic facts about preposition.
First, they are a closed class of words which means no new preposition gets added to the language. We use a fixed set of prepositions.
Second, prepositions do not have any other form. They cannot be plural, possessive, inflection, or anything else.
Third, most of the prepositions have many different contextual and natural uses. So, it is easy to be confused about preposition.
Fourth, sometimes a preposition works as nouns, adjectives, and adverbs.
Prepositions can be of one, two, three, or even more words. Prepositions with two or more words are called phrasal prepositions.
There are some commonly used phrasal prepositions:
because of, in case of, instead of, by way of, on behalf of, on account of, in care of, in spite of, on the side of, etc.
Types of Preposition
Most of the prepositions have many uses. There are some prepositions which are common in every type of preposition as they function in a versatile way.
Prepositions of place show the relationship of place between the nouns to the other parts of a sentence.
On, at, in, by, from, to, towards, up, down, across, between, among, through, in front of, behind, above, over, under, below, etc. are the most common prepositions of place/direction.
Prepositions of agents or things indicate a casual relationship between nouns and other parts of the sentence.
Of, for, by, with, about, etc. are the most used and common prepositions of agents or things.
Example:
This article is about smartphones.
Most of the guests have already left.
I will always be here for you.
He is playing with his brothers.
Phrasal Prepositions:
A phrasal preposition is not a prepositional phrase, but they are a combination of two or more words which functions as a preposition.
Along with, apart from, because of, by means of, according to, in front of, contrary to, in spite of, on account of, in reference to, in addition to, in regard to, instead of, on top of, out of, with regard to, etc. are the most common phrasal prepositions.
Example:
They along with their children went to Atlanta.
According to the new rules, you are not right.
In spite of being a good player, he was not selected.
English Grammar: USE OF AM/IS /ARE/WAS/WERE/WILL BE/SHALL BE
Use of Is, Are, Am – Is, are, am का प्रयोग मुख्य क्रिया ‘be’ के रूप में किया जाता है l इसके तीनों forms इस प्रकार होते हैं-
First Form
Second Form
Third Form
be (is,are,am)
was, were
been
इनका प्रयोग तीनो tenses में किया जाता है जिसकी सारिणी इस प्रकार है-
Present Tense (वर्तमान काल)
Be
Subjects
Meanings
Is
He, she, it, name, singular
है, होता है, होती है
Are
We, you, they, plural
हैं, हो, होते हैं
Am
I
हूँ, होता हूँ, होती हूँl
Use of Is, Are, Am Is, are, am का प्रयोग मुख्य क्रिया ‘be’ के रूप में किया जाता है l इसके तीनों forms इस प्रकार होते हैं-
First FormSecond FormThird Form be (is,are,am) was, were been इनका प्रयोग तीनो tenses में किया जाता है जिसकी सारिणी इस प्रकार है-
Present Tense (वर्तमान काल)BeSubjectsMeanings Is He, she, it, name, singular है, होता है, होती है Are We, you, they, plural हैं, हो, होते हैं Am I हूँ, होता हूँ, होती हूँl
For Examples:- 1- वह एक लड़का हैl He is a boy. 2- हम विद्यार्थी हैंl we are student. 3- तुम बुद्धिमान होl You are intelligent. 4- मैं एक अध्यापक हूँl I am a teacher. 5- फूल सुन्दर होते हैंl Flowers are beautiful. 6- सूर्य गर्म होता हैl The sun is hot.
Past Tense (भूत काल)
Be
Subjects
Meanings
Was
I, He, she, it, name, singular
था, थी, होता था, होती थी
Were
We, you, they, plural
थे, होते थे
For Examples:- 1- वह एक लड़का थाl He was a boy. 2- हम विद्यार्थी थेl we were student. 3- तुम बुद्धिमान थेl You were intelligent. 4- मैं एक अध्यापक थाl I was a teacher. 5- दिन गर्म होते थेl Days were hot. 6- आदिमानव असभ्य होते थेl Troglodyte were savages.
Future Tense (भविष्य काल)
Be
Subjects
Meanings
Will be
I, we को छोड़कर बाकी सबके साथ
होगा, होगी, होंगे
Shall be
I, we
होऊंगा, होंगे
For Examples:- 1- वह ईमानदार होगाl He will be honest. 2- हम विद्यार्थी होंगेl we shall be students. 3- तुम बुद्धिमान होंगेl You will be intelligent. 4- मैं एक अध्यापक हूँगाl I shall be a teacher.
An adverb is a word /a set of words that modifies verbs, adjectives, and other adverbs. It tells when, where, and how an action is performed or indicates the quality or degree of the action.
Many adverbs end in –ly but some words which end in –ly (such as friendly) are not adverbs. Many words can be both adverbs and adjectives according to their activity in the sentence.
Example:
Robin is always hungry for success.
I love her very much.
He is running fast.
Alex works hard.
He wrote that willingly.
Adverb Clauses and Adverb Phrases are clauses and phrases that modify the sentence’s verbs, adjectives or other adverbs.
Example:
He ran toward the bus until he was tired. (Adverb Clause)
He came carrying his box with two hands. (Adverb Phrase)
We were panicked without any reason. (Adverb Phrase)
Types of Adverbs:
Conjunctive Adverbs
Sentence Adverbs
Adverbs of Time/Frequency (When?)
Adverbs of Place/Direction (Where?)
Adverbs of Degree (How Much?)
Adverbs of Manner (How?)
Conjunctive Adverbs:
A conjunctive adverb connects phrases or independent clauses. It provides transitions between ideas and shows relationships.
Conjunctive adverbs are also called connectors.
Example:
It rained last night. Nonetheless, the final match has not been cancelled.
We are still confused, however, if the umpires will come.
Last season there was a great drought; consequently, we could not grow crops.
Sentence Adverbs:
A sentence adverb starts the sentence and modifies the whole sentence.
Example:
Hopefully, we will win the match.
Apparently, the sky is getting cloudy.
Certainly, I did not think of coming here.
Adverbs of Time/Frequency (When?)
Adverbs of time/frequency indicate the time or frequency of the action in the sentence. They answer the question ‘when/how frequently is the action performed?’.
Always, never, often, eventually, now, frequently, occasionally, once, forever, seldom, before, Sunday, Monday, 10 AM, 12 PM, etc. are common adverbs of time/frequency.
Example:
I went to school a little late yesterday.
He always gets a good result.
I will leave on Monday.
He smokes occasionally.
Adverbs of Place/Direction (Where?)
Adverbs of place/direction that indicate the place/direction of the action in the sentence. They answer the question ‘Where is the action performed?’.
Across, over, under, in, out, through, backwards, there, around, here, sideways, upstairs, in the park, in the field, in that place, etc. are some common adverbs of place/direction.
Example:
I went through the jungle.
He plays in the field.
Alex is going to school.
He is staying at my home.
Adverbs of Degree (How Much?)
Adverbs that express the action’s importance/degree/level in the sentence are called adverbs of degree. They answer the question ‘How much is the action performed?’.
Completely, nearly, entirely, less, mildly, most, thoroughly, somewhat, excessively, much, etc. are common adverbs of degree.
Example:
She completely forgot about her anniversary.
I read the newspaper thoroughly.
I am so excited about the new job.
Robin hardly studies
Adverbs of Manner (How?)
Adverbs that express the action’s manner/approach/process in the sentence are called adverbs of manner. They answer the question ‘How is the action performed?’.
Beautifully, equally, thankfully, carefully, handily, quickly, coldly, hotly, resentfully, earnestly, nicely, tirelessly, etc. are common adverbs of manner. These adverbs usually end in ly.
Adjectives are those words which describe the nouns. There are very few or slight differences between English adjectives and Hindi adjectives. One of the major differences compared to Hindi Adjectives is that English adjectives do not modify themselves for nouns.
(किसी भी संज्ञा अथवा उसके शब्द की विशेषता बतलाता है उसे विशेषण कहते है।) Such as: (जैसे) Big (बङा ) Small (छोटा) Tall (लंबा ) Beautiful (सुंदर)
For Example: Building is very big (मकान बहुत बड़ा है। ) Rohan is very tall (रोहन बहुत लंबा है। ) Dress is very beautiful (ड्रेस बहुत सुंदर है।)
There are 4 types of Adjectives in Hindi (विशेषण चार प्रकार के होते है।)
This adjectives are used to indicate a particular noun using these adjectives such as – this, that, those and these. (यह विशेषण, इस की तरह इस विशेषण का प्रयोग कर विशेष संज्ञा इंगित करने के लिए इस्तेमाल करते हैं। जैसे – यह, वह, ये, वे आदि।)
Such as: मेरी पुस्तक (meri pustak – my book), किसका काम (kiska kaam – whose work), आपका सामान (aapka saman – your stuff)
Definition: The word that is used in place of nouns is called Pronoun. ( संज्ञा के बदले आए हुए शब्द को सर्वनाम कहते है। ) Lets take an example and see the difference. Take a look below to sentences: 1) Rahul is absent because Rahul is ill. (राहुल अनुपस्थित है क्योंकि राहुल बीमार है। ) 2) Rahul is absent because he is ill. (राहुल अनुपस्थित है क्योंकि वह बीमार है। )
In first sentence that proper noun ‘Rahul’ has been repeatedly used, whereas the use of he (pronoun) the second sentence looks better in compare to first sentence. (पहले वाक्य मे बार-बार राहुल उपयोग हो रहा है, दूसरे वाक्य मे राहुल की जगह पर वह उपयोग हो रहा है। )
1) Personal Pronoun (व्यक्तिवाचक सर्वनाम) Words like I, me, he, she, it, they etc that directly represent the person or thing are called as personal pronoun. (शब्द जैसे I, me, he, she, it, they आदि सीघे व्यक्ति या वस्तु को दरसाता है उसे व्यक्तिवाचक सर्वनाम कहते है। )
Personal Pronoun Can be classified into three groups: (व्यक्तिवाचक सर्वनाम को तीन समूहो मे बॉटा गया है। ) a) First Person (प्रथम पुस्र्ष) b) Second Person (मध्यम पुस्र्ष) c) Third Person (अन्य पुस्र्ष )
a) First Person (प्रथम पुस्र्ष): In this group, the pronoun refer to self like ‘I’ and ‘We’ are the pronouns of this group. (इस समूह मे स्वयं बात करने वाले को प्रथम पुस्र्ष कहते है। ) For Example: I am a boy. (मैं एक लड़का हूँ। ) We are Friends (हम दोस्त हैं )
b) Second Person (मध्यम पुस्र्ष): In this group, ‘you’ is the pronoun, that refers to the person who is being talked in this sentence. (इस समूह मे स्वयं जिसके बारे मे बात की जाए उसे मध्यम पुस्र्ष कहते है। ) For Example: You are beautiful. (तुम सुंदर हो।)
c) Third Person (अन्य पुस्र्ष ): In this group, ‘are’ is used to refer the third person such as “he, she, it, they, we” are used. ((इस समूह मे स्वयं जिसके बारे मे चर्चा की जा रही है उसे अन्य पुस्र्ष कहते है।) For Example: They are children. (वे बच्चे हैं।) It is a book. (यह एक किताब है )
2) Possessive Pronoun (स्वत्वबोधक सर्वनाम) The pronoun which shows the possession or ownership is called possessive pronoun. (वैसा सर्वनाम जिसमे स्वयं के भाव का बोध हो उसे कहते है ) like my, mine, hers, yours etc For Example: This is my house. (यह मेरा घर है। ) This is my book. (यह मेरी किताब है। )
3) Reflexive Pronoun. (निजवाचक सर्वनाम) A reflexive pronoun is the action performed by the subject is on the subject itself. (वैसा सर्वनाम जिसमे निजत्व का बोघ हो और अधिपत्य का अहसास कराता हो उसे निजवाचक सर्वनाम कहते है) For Example: Yourself, Myself.
I will do it myself. (यह मैं खुद करूंगा। ) You have hurt yourself. (तुम अपने आप को चोट पहुँचाई है । )
4) Relative Pronoun (संबंधवाचक सर्वनाम ) Relative pronoun are used to relate two clauses which share a common word. (कुछ ऐसे सर्वनाम जो सबंध का बोध कराता हो उसे संबंधवाचक सर्वनाम कहते है ) For Example: that, who, which etc The man is standing there. That man is my brother (जो आदमी खड़ा है। वो आदमी मेरा भाई है। )
5) Demonstrative Pronoun (निश्चयवाचक सर्वनाम) In this type of pronoun, we often use the words such as ‘this’, ‘that’. It indicates the object that we try to describe. (कुछ ऐसे सर्वनाम जो निश्चितता को भावना का बोध कराता हो उसे निश्चयवाचक सर्वनाम कहते है ) For Example: This (यह) That (वह) This is my book. (यह मेरी किताब है। ) That is your pen. (वह तुम्हारा कलम है।)
6) Indefinite Pronoun (अनिश्चयवाचक सर्वनाम) The pronouns used in the sentence do not refer to any particular person or object. Pronouns that are used in a general way are called as indefinite pronouns. (वैसे सर्वनाम जो अनिश्चय की स्थिति का बोध कराता है उसे अनिश्चयवाचक सर्वनाम कहते है ) Any (कोई) Something (कुछ ) For Example: I need some money (मुझे कुछ पैसे चाहिए। ) Someone at the door (दरवाजे पर कोई है। )
7) Interrogative Pronoun (प्रश्नवाचक सर्वनाम) The pronouns that are used for asking questions is known as interrogative pronoun. (वैसे सर्वनाम जो प्रश्न पूछने मे उपयोग करते है उसे प्रश्नवाचक सर्वनाम कहते है ) For Example: Who (कौन) Which (कौन सा ) Where (कहॉ ) What (क्या) etc (आदि ).
Who are you? (आप कौन हैं?) Where are you? (आप कहां हैं? ) What are you doing? (आप क्या कर रहे हैं?)
8) Distributive Pronoun (वितरणवाचक सर्वनाम) The pronoun which refers to the person or things taken one at a time is called as distributive pronoun. (वैसे सर्वनाम जो एक समय मे एक व्यक्ति या वस्तु का बोध कराता है उसे वितरणवाचक सर्वनाम कहते है ) For Example: Either (या तो) Neither (न तो ) Each (प्रत्येक) Each of these boys deserved a reward (इन लड़को में से प्रत्येक इनाम के हकदार है। ) We may go either today or tomorrow. (हम आज या तो कल जा सकते है। )
Definition of NOUN: The name of person, place or thing is called as noun. (किसी भी व्यक्ति, स्थान और वस्तु के नाम को संज्ञा कहते है।) Kisi bhi vyakti, sthan, or vastu ke naam ko sangya kahte hai.
The following sentences contain examples of sangya: Ram acha larka hai. (राम अच्छा लड़का है। ) – Ram is good boy. Table naya hai. (टेबल नया है। ) – Table is new. Delhi bharat ki rajdhani hai. (दिल्ली भारत की राजधानी है) – Delhi is the capital of India
Types of Noun (संज्ञा के भेद )
All words that we used in a sentence as a name, person, place, thing etc all are come under the classification of Noun. (संज्ञा के अंतर्गत वह शब्द आता है जो किसी भी व्यक्ति, स्थान या वस्तु के रूप में वाक्य में प्रयोग किया जाता है , सभी शब्द संज्ञा के वर्गीकरण के अंदर आता है। )
Noun is classified into five parts. (संज्ञा पांच भागों में वर्गीकृत किया गया है ) 1) Proper Noun (व्यक्तिवाचक संज्ञा ) . 2) Common Noun (जातिवाचक संज्ञा ). 3) Collective Noun (समूहवाचक संज्ञा ). 4) Material Noun (द्रववाचक संज्ञा ). 5) Abstract Noun (भाववाचक संज्ञा ).
1) Proper Noun (व्यक्तिवाचक संज्ञा ): A Noun which belongs to a particular or individual name, person, place or thing is called as proper noun. (जो किसी भी व्यक्ति, स्थान या वस्तु का बोध कराता है, उसे व्यक्तिवाचक संज्ञा कहते है। For example: Yamuna (यमुना ) Meena (मीना) Mumbai (मुंबई).
The following sentences contain examples of proper noun: Yamuna ek nadi hai. (यमुना एक नदी है। ) – Yamuna is a river. Meena Khel rahi hai. (मीना खेल रही है। ) – Meena is playing.
2) Common Noun(जातिवाचक संज्ञा ): Common nouns are the words that name the place, people, things etc but they are not the actual name of the place, people or things. For instance, “boy” is a common noun and the boy’s name is “Arun” which is a proper noun as it specifies the name.
(वैसे नाम जिनसे जाति भर का बोध हो उसे जातिवाचक संज्ञा कहते है। ) For example: Gaon (गांव ) – Village Pashu (पशु) – Animal Pahad (पहाड़ ) – Hill
The following sentences contain examples of common nouns: Gaon bhut chota hai (गांव बहुत छोटा है ) – village is very small Pashu jungle me rahte hai. (पशु जंगल में रहता है ) – Animals live in the forest.
3) Collective Noun (समूहवाचक संज्ञा ): A name that has been assigned to some special groups is called a collective noun. (वैसा संज्ञा जिससे पूरे समूह का बोध हो उसे समूहवाचक संज्ञा कहते है। )
Mall me bhut bheed hai (मॉल में बहुत भीड़ है ) – Mall is fully crowded. Angoor ka guchha. (अंगूर का गुच्छा।) – Bunch of grapes.
4) Material Noun (द्रववाचक संज्ञा ): Nouns that refer to the names of a liquid or matter is called as material noun. (वैसा संज्ञा जो तरल अवस्था मे हो जिसकी गिनती संभव नही हो सकती है उसे द्रववाचक संज्ञा कहते है।
For example: His anger knows no limits. (उनका गुस्सा कोई सीमा नहीं जानता). Gold is so expensive. (सोना बहुत महंगा है। )
5) Abstract Noun (भाववाचक संज्ञा ): Abstract Noun is the word which is used as the name of quality, action that quality and action is considered as an object is called abstract noun. (वैसा संज्ञा जिसका रूप और आकार नही होता है केवल गुण का आभास होता है उसे समूहवाचक संज्ञा कहते है।)
English Grammar में काल Tense in Hindi सबसे महत्वपूर्ण अध्याय है Tense के 3 मुख्य प्रकार होते हैं और कुल 12 उप-प्रकार होते हैं, Tense जिसके जरिये हम जानते हैं कि किसी व्यक्ति के द्वारा कहे गए वाक्य को किस समय से बताया जा रहा है, आइये Tense को विस्तार से अच्छे से समझें ।
काल Tense किसी भी वाक्य में क्रिया के द्वारा जिसके माध्यम से यह पता चलता है कि वाक्य में किये कार्य का समय के साथ क्या सम्बन्ध है; कार्य वर्तमान में हो रहा है, बीते हुए समय में हुआ था या भविष्य में होने वाला है। यही कारण है कि वर्तमान काल, भूतकाल व भविष्य काल के वाक्यों में सहायक क्रियाएँ भिन्न होती है।
सामान्यतः काल Tense के तीन प्रकार होते हैं, वह निम्नलिखित है
1. वर्तमान काल Present Tense 2. भूतकाल Past Tense 3. भविष्य काल Future Tense
प्रत्येक काल Tense के चारउप-प्रकार होते हैं
1. सामान्य काल Simple Tense 2. अपूर्ण काल Continuous Tense 3. पूर्ण काल Perfect Tense 4. पूर्ण निरन्तर काल Perfect Continuous Tense
TENSE की पहचान
Present Tense
Past Tense
Future Tense
Indefinite
ता हैं,ती हैं,ते हैं
ता था,ती थी,ते थे
गा,गी,गे
[ V1st ]
Do/does
Did
hall/Will
Present Tense
Past Tense
Future Tense
Continuous
रहा हैं,रही हैं,रहें हैं
रहा था, रही थी, रहें थे
रहा होगा, रही होगी, रहें होंगे
[ V1st + ing ]
Is/Am/Are
Was/Were
Shall be/Will be
Present Tense
Past Tense
Future Tense
Prefect
चूका है, चुकी है, चुके है
चूका था, चुकी थी, चुके थे
चूका होगा, चुकी होगी, चुके होंगे
V3rd
Has/Have
Had
Shall have/Will have
1. Present TENSE WITH EXAMPLE
Tense का पहला Part है, जिन्हें Present Tense(वर्तमान काल) कहते है. Present Tense के भी 4 Types(प्रकार) के होते है. Present Tense के Helping verb और पहचान के बारे में-
Present Indefinite
पहचान:- ता है, ती है, ते है, ता हूँ
do/does
verb 1st
Present Continuous
पहचान:- रहा है, रही है, रहे है, रहा हूँ
is//am/are
Verb 1st + Ing
Present perfect
पहचान:- चूका है, चुकी है, चुके है, चुका हूँ
Has/have
Verb 3rd
Present Perfect Continuous
पहचान:- रहा होगा, रही होगी, रहे होगे + Time(समय अवधि)
Verb 1st + ing
TENSE WITH EXAMPLE
1. Simple Present Tense in Hindi ( सामान्य वर्तमान काल )
मैं बाजार जाता हूँ।
I go to market.
वह स्कूल जाता है।
He goes to school.
मैं बाजार नहीं जाता हूँ।
I do not go to market.
वह स्कूल नहीं जाता है।
He does not go to school.
क्या मैं बाजार जाता हूँ ?
Do I go to market ?
क्या वह स्कूल जाता है ?
Does he go to school ?
क्या मैं बाजार नहीं जाता हूँ ?
Do I not go to market ?
क्या वह स्कूल नहीं जाता है ?
Does he not go to school ?
2. Present Continuous Tense in Hindi ( निरंतर वर्तमान काल )
रानी स्कूल जा रही है।
Rani is going to school.
मैं अंग्रेजी सीख रहा हूँ।
I am learning english.
रानी स्कूल नहीं जा रही है।
Rani is not going to school.
मैं अंग्रेजी नहीं सीख रहा हूँ।
I am not learning english.
क्या रानी स्कूल जा रही है?
Is rani going to school ?
क्या मैं अंग्रेजी सीख रहा हूँ?
Am I learning english ?
क्या रानी स्कूल नहीं जा रही है ?
Is rani not going to school ?
क्या मैं अंग्रेजी नहीं सीख रहा हूँ ?
Am I not learning english ?
3. Present Perfect Tense in Hindi ( पूर्ण वर्तमान काल )
राजेश स्कूल जा चुका है।
Rajesh has gone to school.
तुमने मुझे एक पेन दिया है।
You have given me a pen.
राजेश स्कूल नहीं गया है।
Rajesh has not gone to school.
तुमने मुझे एक पेन नहीं दिया है।
You have not given me a pen.
क्या राजेश स्कूल जा चुका है ?
Has Rajesh gone to school ?
क्या तुमने मुझे एक पेन दिया है ?
Have you given me a pen ?
क्या राजेश स्कूल नहीं गया है ?
Has rajesh not gone to school ?
क्या तुमने मुझे एक पेन नहीं दिया है ?
Have you not given me a pen ?
4. Present Perfect Continuous Tense in Hindi ( पूर्ण निरंतर वर्तमान काल )
सोनम 9 बजे से टीवी देख रही है।
Sonam has been watching since 9 o’clock.
मैं तीन घंटे से अध्ययन कर रहा हूं।
I have been studying for 3 hours.
सोनम 9 बजे से टीवी नहीं देख रही है।
Sonam has not been watching since 9 o’clock.
मैं तीन घंटे से अध्ययन नहीं कर रहा हूं।
I have not been studying for 3 hours.
क्या सोनम 9 बजे से टीवी देख रही है?
Has sonam been watching since 9 o’clock ?
क्या मैं तीन घंटे से अध्ययन कर रहा हूं?
Have I been studying for 3 hours ?
क्या सोनम 9 बजे से टीवी नहीं देख रही है?
Has sonam not been watching since 9 o’clock ?
क्या मैं तीन घंटे से अध्ययन नहीं कर रहा हूं?
Have I not been studying for 3 hours ?
2. Past Tense TENSE WITH EXAMPLE
Past टेंस को भूतकाल भी कहते है. Tense का दूसरा भाग है. Present Tense की तरह ही Same 4 Types होते है. बस इसमें Helping Verb अलग होता है. चलो इसके बारे में सीखते है-
Past Indefinite Tense
पहचान:- ता था, ती था, ते थे
Did
verb 1st
Past Continuous Tense
पहचान:- रहा था, रही थी, रहे थे
Was/Were
Verb 1st + Ing
Past perfect Tense
पहचान:- चूका था, चुकी थी, चुके थे
had
Verb 3rd
Past Perfect Continuous Tense
पहचान:- रहा होगा, रही होगी, रहे होगे + Time(समय अवधि)
Verb 1st + ing
TENSE WITH EXAMPLE
1. Simple Past Tense in Hindi ( सामान्य भूतकाल )
राजेश आया।
Rajesh came.
सूर्य निकला।
The sun rose.
राजेश नहीं आया।
Rajesh did not come.
सूर्य नहीं निकला।
The sun did not rise.
क्या राजेश आया ?
Did rajesh come ?
क्या सूर्य निकला ?
Did the sun rise ?
क्या राजेश नहीं आया ?
Did rajesh not come ?
क्या सूर्य नहीं निकला ?
Did the sun not rise ?
2. Past Continuous Tense in Hindi ( निरंतर भूतकाल )
मैं स्कूल जा रहा था।
I was going to school.
तुम पुस्तक पढ़ रहे थे।
You were reading the book.
मैं स्कूल नहीं जा रहा था।
I was not going to school.
तुम पुस्तक नहीं पढ़ रहे थे।
You were not reading the book.
क्या मैं स्कूल जा रहा था ?
Was I going to school ?
क्या तुम पुस्तक पढ़ रहे थे ?
Were you reading the book ?
क्या मैं स्कूल नहीं जा रहा था ?
Was I not going to school ?
क्या तुम पुस्तक नहीं पढ़ रहे थे ?
Were you not reading the book ?
3. Past Perfect Tense in Hindi ( पूर्ण भूतकाल )
मैं स्कूल गया था।
I had gone to school.
संगीता यहां आई थी।
Sangeeta had come here.
मैं स्कूल नहीं गया था।
I had not gone to school.
संगीता यहां नहीं आई थी।
Sangeeta had not come here.
क्या मैं स्कूल गया था ?
Had I gone to school ?
क्या संगीता यहां आई थी ?
Had sangeeta come here ?
क्या मैं स्कूल नहीं गया था ?
Had I not gone to school ?
क्या संगीता यहां नहीं आई थी ?
Had sangeeta not come here ?
4. Past Perfect Continuous Tense in Hindi ( पूर्ण निरंतर भूतकाल )
सोनम वहाँ 25 साल से रह रही थी।
Sonam had been living there for 25 years.
तुम सुबह 9 बजे से खेल रहे थे।
You had been playing since 9 o’clock morning.
सोनम वहाँ 25 साल से रह नहीं रही थी।
Sonam had not been living there for 25 years.
तुम सुबह 9 बजे से खेल नहीं रहे थे।
You had not been playing since 9 o’clock morning.
क्या सोनम वहाँ 25 साल से रह रही थी ?
Had sonam been living there for 25 years ?
क्या तुम सुबह 9 बजे से खेल रहे थे ?
Had you been playing since 9 o’clock morning ?
क्या सोनम वहाँ 25 साल से रह नहीं रही थी ?
Had sonam not been living there for 25 years ?
क्या तुम सुबह 9 बजे से खेल नहीं रहे थे ?
Had you not been playing since 9 o’clock morning ?
3. Future TENSE WITH EXAMPLE
आपको Present Tense और Past Tense समझ में आ गया होगा. फ्यूचर(Future) Tense में भी same प्रकार के होते है. बस helping verb अलग आता है. चलो Future Tense Grammar के रूल्स के बारे में पढ़ते है-
Future Indefinite Tense
पहचान:- होगा, होगी, होगे
Will/Shall
verb 1st
वह खाना खाया हुआ होगा
Future Continuous Tense
पहचान:- रहा होगा, रही होगी, रहे होगे
Will be/Shall be
Verb 1st + Ing
Future perfect Tense
पहचान:- चूका होगा, चुकी होगी, चुके होगे
Will have/shall have
Verb 3rd
Future Perfect Continuous Tense
पहचान:- रहा होगा, रही होगी, रहे होगे + Time(समय अवधि)
Verb 1st + ing
TENSE WITH EXAMPLE
1. Simple Future Tense in Hindi ( सामान्य भविष्य काल )
वह आम खायेगा।
He will eat mango
हम मैच जीतेंगे।
We will win the match.
वह आम नहीं खायेगा।
He will not eat mango.
हम मैच नहीं जीतेंगे।
We will not win the match.
क्या वह आम खायेगा ?
Will he eat mango ?
क्या हम मैच जीतेंगे ?
Will we win the match ?
क्या वह आम नहीं खायेगा ?
Will he not eat mango ?
क्या हम मैच नहीं जीतेंगे ?
Will we not win the match ?
2. Future Continuous Tense in Hindi ( निरंतर भविष्य काल )
सोनम स्कूल जा रही होगी।
Sonam will be going to school.
वह तुम्हारा इंतजार कर रहा होगा।
He will be waiting for you.
सोनम स्कूल जा नहीं रही होगी।
Sonam will not be going to school.
वह तुम्हारा इंतजार नहीं कर रहा होगा।
He will not be waiting for you.
क्या सोनम स्कूल जा रही होगी ?
Will sonam be going to school ?
क्या वह तुम्हारा इंतजार कर रहा होगा ?
Will he be waiting for you ?
क्या सोनम स्कूल नहीं जा रही होगी ?
Will sonam not be going to school ?
क्या वह तुम्हारा इंतजार नहीं कर रहा होगा ?
Will he not be waiting for you ?
3. Future Perfect Tense in Hindi ( पूर्ण भविष्य काल )
वह बाजार जा चुका होगा।
He will have gone the market.
बस पहुँच गया होगा।
Bus will have reached.
वह बाजार नहीं जा चुका होगा।
He will not have gone the market.
बस नहीं पहुंचा होगा।
Bus will not have reached.
क्या वह बाजार जा चुका होगा ?
Will he have gone the market ?
क्या बस पहुँच गया होगा ?
Will bus have reached ?
क्या वह बाजार नहीं जा चुका होगा ?
Will he not have gone the market ?
क्या बस नहीं पहुँच गया होगा ?
Will bus not have reached ?
4. Future Perfect Continuous TENSE WITH EXAMPLE in Hindi ( पूर्ण निरंतर भविष्य काल )
राजू 2 घंटे से सोता आ रहा होगा।
Raju will have been sleeping for two hours.
तुम 5 घंटे से क्रिकेट खेलते आ रहे होगे।
You will have been playing cricket for 5 hours.
राजू 2 घंटे से सोता नहीं आ रहा होगा।
Raju will not have been sleeping for two hours.
तुम 5 घंटे से क्रिकेट खेलते नहीं आ रहे होगे।
You will not have been playing cricket for 5 hours.
क्या राजू 2 घंटे से सोता आ रहा होगा ?
Will raju have been sleeping for two hours ?
क्या तुम 5 घंटे से क्रिकेट खेलते आ रहे होगे ?
Will you have been playing cricket for 5 hours ?
क्या राजू 2 घंटे से सोता नहीं आ रहा होगा ?
Will raju not have been sleeping for two hours ?
क्या तुम 5 घंटे से क्रिकेट खेलते नहीं आ रहे होगे ?
Will you not have been playing cricket for 5 hours ?
यह हो गया आपका All Tense Rules & Formula in हिंदी. आपको सभी Tense Grammar के Rules हिंदी में याद हो गया होगा. अब आपको इससे थोडा अलग Sentences है जो आपको जानना जरुरी है.
Present
Past
Future
Continues
रहा है, रहे है, रहा हूँ
रहा था, रही थी, रहे थे
रहा होगा, रही होगी, रहे होगे
हुआ है, हुई ह, हुए है,
हुआ था, हुई थी, हुए थे
हुआ होगा, हुई होगी, हुए होगे
Verb 1st + Ing
is/am/are
was/were
Shall be/will be
Future Tense
Present Tense:– हुआ है, हुई है, हुए है.
Past Tense:– हुआ था, हुई थी, हुए थे.
Future Tense:– हुआ होगा, हुई होगी, हुए होगे.
ऊपर बताये गये Table को ध्यान से देखे. वाक्य के अंत में हुआ है, हुआ था, हुआ होगा आता है, तो आपको वही Rules उपयोग करना है. अच्छे प्रैक्टिस करने के लिए निचे Examples को ध्यान से पढ़े-
मैं किताब पढ़ा हुआ हूँ= I have read the book
हम खाना खाए हुए थे= We had eaten food
क्योकिं “मैं किताब पढ़ा हुआ हूँ” इस Sentence में किताब पढ़ चूका है. इसलिए यह Present Perfect Tense हो गयी है. और इसमें वहीँ Rules यूज़ करना है. चलिए अब आपको थोडा प्रैक्टिस करना है-
मैं दिल्ली आया हुआ हूँ = I have come to Delhi
हम जयपुर गये हुए थे. = We had went to Jaipur
मित्र घर पर आये हुए थे. = …………?
मैं कुर्सी पर बैठा हुआ हूँ.= ………….?
मैंने घड़ी पहना हुआ है. = ……………?
जितेश ने मोबाइल पकड़ा हुआ है. = ………….?
वो दरवाजा के पास खड़ा हुआ था. = ………….?
Rules:- अगर वाक्य(Sentence) के अंत में ता, रहा, चूका नही हो और इसकी जगह T है, ए है, तथा T था, ए था, और T होगा, ए होगा, इ होगीआ जाये तब क्या करेंगे.
Examples [उठाहरण]:-
दीपेश मंदिर में आया था.
Dipesh had come to The Temple.
राकेश ने दूध पिया हैं.
Rakesh has drank Milk.
अगर आप अभी भी Confuse हो रहे है, तो घबराने की जरूरत नही है. बस एक बार फिर से Tense Chart Table देख लीजिये. आपको फिर से Tense याद आ जाएगी और बार-बार तुलना(Compare) करते रहे.
All English Tense Grammar Rules in Hindi
English Tense Rules हिंदी में देखने के बाद क्या करना है. अब सिर्फ Practice करना बाकी है-
उठाहरण:-
मैं सो चूका था.
……………..?
पियूष खाना खा रहा होगा
……………….?
मैंने हर्षित को पैसे दिया था.
………………?
मैं खाना खा रहा हूँ.
…………..?
यह हो गया Simple Basic English Tense in Hindi. आप रोज English Word बोलने की कोशिश करें. कोशिश करने से English बोलना भी आएगा और समझना भी आ जायेगा. अगर Tense Grammar Rules in Hindi English से सम्बंधित कोई सवाल हो तो Comment करके सवाल पूछ सकते हो.