सम / विषम प्राकृत संख्याओं का योग और अंतर

सम संख्या: वे संख्याएँ जो 2 से पूर्णतः विभाजित होती हैं सम संख्या कहलाती है।
जैसे: 2, 4, 6, 8, 10, 12
विषम संख्या: वे संख्याएँ जो 2 से पूर्णतः विभाजित नहीं होती हैं विषम संख्या कहलाती है।
जैसे: 1, 3, 5, 7, 9, 11 … इत्यादि।

सम और विषम संख्या का योगफल

सम संख्या (Even Number) और विषम संख्या (Odd Number) के योगफल से संबंधित नियम सरल हैं। इसे समझने के लिए निम्नलिखित फार्मूले उपयोग किए जा सकते हैं:

1. सम + सम = सम

• दो सम संख्याओं का योगफल हमेशा एक सम संख्या होती है।
• उदाहरण: 4+6=10 (सम संख्या)

2. विषम + विषम = सम

• दो विषम संख्याओं का योगफल हमेशा एक सम संख्या होती है।
• उदाहरण: 3+5=8 (सम संख्या)

3. सम + विषम = विषम

• एक सम और एक विषम संख्या का योगफल हमेशा एक विषम संख्या होती है।
• उदाहरण: 4+5=9 (विषम संख्या)

लगातार सम और विषम संख्याओं के योग

लगातार सम संख्याओं और लगातार विषम संख्याओं के योग के लिए निम्नलिखित सूत्र उपयोग किए जाते हैं:

1. लगातार दो सम संख्याओं का योगफल:

• लगातार दो सम संख्याओं के बीच अंतर 2 होता है।
• यदि पहली सम संख्या x है, तो दूसरी सम संख्या x+2 होगी।

योगफल = x+(x+2)=2x+2

उदाहरण:
6 और 8 के लिए:
6+8=2(6)+2=12+2=14

2. लगातार दो विषम संख्याओं का योगफल:

• लगातार दो विषम संख्याओं के बीच भी अंतर 2 होता है।
• यदि पहली विषम संख्या y है, तो दूसरी विषम संख्या y+2 होगी।

योगफल = y+(y+2)=2y+2

उदाहरण:
7 और 9के लिए:
7+9=2(7)+2=14+2=16

3. लगातार n सम संख्याओं का योगफल:

यदि लगातार n सम संख्याओं का योग निकालना है, तो इसका फार्मूला होगा:

योगफल = n(n+1)

 उदाहरण:
पहली 3 सम संख्याओं (2, 4, 6) का योग:
3(3+1)=3×4=12

4. लगातार n विषम संख्याओं का योगफल:

यदि लगातार n विषम संख्याओं का योग निकालना है, तो इसका फार्मूला होगा:

योगफल = n²

उदाहरण: पहली 3 विषम संख्याओं (1, 3, 5) का योग: 3²=9

सारांश:

• लगातार दो सम या विषम संख्याओं का योग 2x+2 के रूप में होता है।
• लगातार n सम संख्याओं का योग n(n+1) होता है।
• लगातार n विषम संख्याओं का योग n² होता है।

  5. लगातार n प्राकृत संख्याओं का योगफल:

लगातार प्राकृत संख्याओं (Natural Numbers) का योग निकालने के लिए एक सामान्य सूत्र होता है, जिसे  समीकरण  के रूप में लिखा जा सकता है:

योगफल =  n(n+1)/2

जहाँ n वह संख्या है, जहाँ तक योग निकालना है।

उदाहरण:

1. यदि आपको 1 से 10 तक की प्राकृत संख्याओं का योग निकालना है, तो n = 10 होगा:

योगफल = 10(10+1)/2

10 x 11/2  = 110/2  = 55

2. यदि आपको 1 से 20 तक की प्राकृत संख्याओं का योग निकालना है, तो n = 20 होगा:

योगफल = 20(20+1)/2 = 20 x 21/2  = 420/2  = 210

 सारांश:

पहली n प्राकृत संख्याओं का योग निकालने के लिए फार्मूला है: 

योगफल =  n(n+1)/2

इस फार्मूले का उपयोग किसी भी संख्या तक की प्राकृत संख्याओं का योग निकालने के लिए किया जा सकता है।

यहाँ सम और विषम संख्याओं, उनके अंतर, लगातार योगफल, और प्राकृत संख्याओं के लगातार योगफल से संबंधित MCQs दिए गए हैं:

MCQ:

1. सम और विषम संख्या का अंतर:

यदि 12 और 7 का अंतर निकाला जाए, तो परिणाम क्या होगा?

• a) 5 (सम संख्या)
• b) 6 (सम संख्या)
• c) 5 (विषम संख्या)
• d) 4 (सम संख्या)

उत्तर: c) 5 (विषम संख्या)

किसी विषम संख्या से सम संख्या घटाने पर परिणाम कैसा होगा?

• a) हमेशा विषम संख्या
• b) हमेशा सम संख्या
• c) कभी विषम कभी सम
• d) हमेशा शून्य

उत्तर: a) हमेशा विषम संख्या

निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही है?

• a) दो सम संख्याओं का अंतर विषम होता है।
• b) दो विषम संख्याओं का अंतर विषम होता है।
• c) विषम संख्या और सम संख्या का अंतर विषम होता है।
• d) सम संख्या और विषम संख्या का अंतर सम होता है।

उत्तर: c) विषम संख्या और सम संख्या का अंतर विषम होता है।

2. लगातार सम और विषम संख्याओं का योगफल:

लगातार दो सम संख्याओं का योग निकालने का फार्मूला क्या है?

• a) 2x
• b) 2x+1
• c) 2x+2
• d) x+2

उत्तर: c) 2x+2

यदि x=8 हो, तो लगातार दो सम संख्याओं का योगफल क्या होगा?

• a) 16
• b) 18
• c) 20
• d) 22

उत्तर: b) 18

लगातार दो विषम संख्याओं का योगफल क्या होगा?

• a) 2x+2
• b) 2x+1
• c) 2x
• d) x+1

उत्तर: a) 2x+2

लगातार विषम संख्याओं 11 और 13 का योग क्या होगा?

• a) 22
• b) 24
• c) 26
• d) 28

उत्तर: b) 24

3. लगातार प्राकृत संख्याओं का योगफल:

पहली n प्राकृत संख्याओं का योगफल निकालने का फार्मूला क्या है?

• a) n(n+1)/2
• b) n(n+2)/2
• c) n(n+1)
• d) n(n+2)  

उत्तर: a) n(n+1)/2  

पहली 10 प्राकृत संख्याओं का योगफल क्या होगा?

• a) 50
• b) 55
• c) 60
• d) 65

उत्तर: b) 55

लगातार n विषम संख्याओं का योगफल क्या होता है?

• a) n(n+1)
• b) n²
• c) 2n
• d) 2n+1 

उत्तर: b) n²  

पहली 5 विषम संख्याओं का योगफल क्या होगा?

• a) 25
• b) 15
• c) 9
• d) 36

उत्तर: a) 25

4. प्राकृत संख्याओं का लगातार योगफल:

यदि पहली 7 प्राकृत संख्याओं का योग निकाला जाए, तो परिणाम क्या होगा?

• a) 21
• b) 28
• c) 15
• d) 35

उत्तर: b) 28

1 से 100 तक की प्राकृत संख्याओं का योगफल क्या होगा?

• a) 5050
• b) 5000
• c) 5150
• d) 4500

उत्तर: a) 5050

लगातार दो प्राकृत संख्याओं का योगफल कैसा होता है?

• a) विषम संख्या
• b) सम संख्या
• c) दोनों
• d) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: a) विषम संख्या