[MSNC08] सह-अभाज्य संख्या और जुड़वाँ अभाज्य संख्याएँ

भाज्य अभाज्य और सहभाज्य संख्या / Divisible, Prime and Composite numbers

भाज्य संख्या (Composite Number)

परिभाषा: वह संख्या जो 1 और स्वयं के अलावा अन्य संख्याओं से भी विभाजित हो सकती है, उसे भाज्य संख्या कहा जाता है। अर्थात, जिसके एक से अधिक गुणनखण्ड (factors) होते हैं।
उदाहरण:
- 4 (गुणनखण्ड: 1, 2, 4)
- 6 (गुणनखण्ड: 1, 2, 3, 6)
- 9 (गुणनखण्ड: 1, 3, 9)
इन सभी संख्याओं के 1 और स्वयं के अलावा अन्य गुणनखण्ड हैं, इसलिए ये भाज्य संख्याएँ हैं।

अभाज्य संख्या (Prime Number)

परिभाषा: वह संख्या जो केवल 1 और स्वयं से विभाजित हो सके, उसे अभाज्य संख्या कहते हैं। अर्थात, जिसके केवल दो ही गुणनखण्ड होते हैं – 1 और वह स्वयं।
उदाहरण:
- 2 (गुणनखण्ड: 1, 2)
- 3 (गुणनखण्ड: 1, 3)
- 5 (गुणनखण्ड: 1, 5)
- 7 (गुणनखण्ड: 1, 7)
ये संख्याएँ केवल 1 और स्वयं से विभाजित होती हैं, इसलिए ये अभाज्य संख्याएँ हैं।

मुख्य अंतर:

अभाज्य संख्याएँ: जिनके केवल दो ही गुणनखण्ड होते हैं (1 और स्वयं), जैसे 2, 3, 5, 7, 11 आदि।
भाज्य संख्याएँ: जिनके एक से अधिक गुणनखण्ड होते हैं, जैसे 4, 6, 8, 9, 12 आदि।

एक महत्वपूर्ण बिंदु:

1 न तो अभाज्य है और न ही भाज्य, इसे विशेष संख्या माना जाता है।

भाज्य संख्या

1 to 100 के बीच कूल 74 संख्याएँ ऐसी है जो की भाज्य संख्याएँ है। भाज्य संख्या 1 से 100 तक की पूरी लिस्ट निचे दी गई है-

4	6	8
9	10	12
14	15	16
18	20	21
22	24	25
26	27	28
30	32	33
34	35	36
38	39	40
42	44	45
46	48	49
50	51	52
54	55	56
57	58	60
62	63	64
65	66	68
69	70	72
74	75	76
77	78	80
81	82	84
85	86	87
88	90	91
92	93	94
95	96	98
99	100

अभाज्य संख्या ( रूढ़ संख्या )

वे 1 से बड़ी प्राकृतिक संख्याएँ, जो स्वयं और 1 के अतिरिक्त और किसी प्राकृतिक संख्या से विभाजित नहीं होतीं, उन्हें ‘अभाज्य संख्या’ कहते हैं।

अभाज्य संख्या के गुण

0 और 1 अभाज्य संख्याएँ नही है।
2 को छोड़कर सभी अभाज्य संख्याएँ विषम होती हैं।
1 बड़ी पूर्ण संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ कहलाती है।
अभाज्य संख्याएँ में केवल और केवल दो गुणनखंड होते है।
अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करने की विधि को गुणनखंड विधि कहते है।
अभाज्य संख्याएँ हमेशा 0 और 1 से बड़ी होती है।
1 से बड़ी सभी अभाज्य संख्या 1 से विभाजित हो सकती है।
अभाज्य संख्या 1 और स्वयं के अतिरिक्त किसी अन्य संख्या से विभाजित नही हो सकती है।

1 से 200 तक अभाज्य संख्या

2	31	73	127	179
3	37	79	131	181
5	41	83	137	191
7	43	89	139	193
11	47	97	149	197
13	53	101	151	199
17	59	103	157	211
19	61	107	163	223
23	67	109	167	227
29	71	113	173	229

अभाज्य संख्याओं के प्रश्न एवं हल

सबसे छोटी अभाज्य संख्या कौनसी हैं?

A. 1
B. 0
C. 2
D. 4

उत्तर:- सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 हैं।

सबसे छोटी अभाज्य संख्या लिखिए जो 9 से बड़ी हो।

A. 11
B. 13
C. 17
D. 23

उत्तर:- 9 से बड़ी अभाज्य संख्याएँ 11, 13, 17, 19, 23 हैं। इनमें सबसे छोटी संख्या 11 हैं।

सबसे बड़ी अभाज्य संख्या लिखिए जो 18 से छोटी हो।

A. 17
B. 15
C. 13
D. 9

उत्तर:- 18 से छोटी अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 हैं। इनमें सबसे बड़ी संख्या 17 हैं।

20 से छोटी उन अभाज्य संख्याओं के जोड़े लिखिए जिनका अंतर 2 हो?

A. (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19)
B. (2, 3), (5, 9), (7, 9) (9, 11)
C. (1, 3), (5, 7), (7, 9) (19, 19)
D. (3, 5), (5, 7), (7, 9) (17, 19)

हल:- प्रश्ननानुसार,
20 से छोटी अभाज्य संख्याएँ – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
20 से छोटी अभाज्य संख्याओं के बीच 2 का अंतर
उत्तर:- (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19)

ऐसी 50 से छोटी अभाज्य संख्याओं के जोड़े लिखिए जिनका अंतर 1 हो?

A. (2, 3)
B. (3, 5)
C. (11, 13)
D. (17, 19)

50 से छोटी अभाज्य संख्याएँ
उत्तर:- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
50 से छोटी अभाज्य संख्याओं के बीच 1 का अंतर (3 – 2 ) = 1

30 और 40 के बीच की अभाज्य संख्याएँ लिखिए?

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

उत्तर:- 30 और 40 के बीच की अभाज्य संख्याएँ – 31, 37 हैं।

50 से छोटी अभाज्य संख्याओं की संख्या कितनी हैं?

A. 12
B. 13
C. 14
D. 15

50 से छोटी अभाज्य संख्याएँ
उत्तर:- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,

एक अंक की सभी भाज्य संख्याओं की संख्या कितनी हैं?

A. 5
B. 4
C. 6
D. 8

1 अंक की सभी भाज्य संख्या
उत्तर:- 2, 3, 5, 7 हैं।

1 से 100 के बीच कितनी अभाज्य संख्याएँ होती हैं?

A. 12
B. 24
C. 25
D. 30

उत्तर:- 1 से 100 के बीच 25 अभाज्य संख्याएँ होती हैं।

प्रथम 4 अभाज्य संख्याओं का योग बताइए?

A. 15
B. 17
C. 23
D. 29

हल:- प्रश्ननानुसार,
प्रथम 4 अभाज्य संख्याएँ = 2, 3, 5, 7,
प्रथम 4 अभाज्य संख्याओं का योग = 2 + 3 + 5 + 7
उत्तर:- 17

8 अभाज्य संख्याओं का औसत क्या हैं?

A. 4.890
B. 8.984
C. 9.625
D. 10.789

हल: प्रश्नानुसार,
प्रथम 8 अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 हैं।
औसत = (2+3+5+7+11+13+17+19) / 8
= 77 / 8
उत्तर:- 9.625

लगातार 10 अभाज्य संख्याओं का योग हैं?

A. 112
B. 137
C. 129
D. 142

हल:-लगातार 20 अभाज्य संख्याएँ : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
लगातार 20 अभाज्य संख्याओं का योग = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29
उत्तर:- 129

लगातार 15 अभाज्य संख्याओं का योग हैं?

A. 204
B. 280
C. 304
D. 384

हल:- प्रश्ननुसार,
लगातार 25 अभाज्य संख्याएँ : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 39
लगातार 20 अभाज्य संख्याओं का योग = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39
उत्तर:- 304

निम्न में किन संख्याओं के बीच में केवल एक ही अभाज्य संख्या है?

a. 40 तथा 50
b. 60 तथा 70
c. 80 तथा 90
d. 90 तथा 100

निम्नलिखित में कौन सी अभाज्य संख्या है?

a. 91
b. 93
c. 95
d. 97

MCQ:

निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या अभाज्य (Prime) है?

a) 4
b) 7
c) 9
d) 12

उत्तर: b) 7

15 और 28 के बीच संबंध क्या है?

a) ये सह-अभाज्य (Co-prime) हैं।
b) ये अभाज्य (Prime) हैं।
c) ये भाज्य (Composite) हैं
d) इनमें से कोई नहीं।

उत्तर: a) ये सह-अभाज्य हैं।

निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या भाज्य (Composite) है?

a) 11
b) 13
c) 15
d) 17

उत्तर: c) 15

कौन-सी संख्या अभाज्य नहीं है?

a) 3
b) 5
c) 9
d) 11

उत्तर: c) 9

सह-अभाज्य संख्याओं के लिए कौन-सा कथन सही है?

a) दोनों संख्याएँ अभाज्य होनी चाहिए।
b) दोनों संख्याएँ भाज्य होनी चाहिए।
c) दोनों संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) 1 होना चाहिए।
d) दोनों संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) 1 होना चाहिए।

उत्तर: c) दोनों संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) 1 होना चाहिए।

35 और 18 के बीच संबंध क्या है?

a) ये सह-अभाज्य हैं।
b) ये अभाज्य हैं।
c) ये भाज्य हैं।
d) इनमें से कोई नहीं।

उत्तर: a) ये सह-अभाज्य हैं।

निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या भाज्य है?

a) 23
b) 19
c) 29
d) 24

उत्तर: d) 24

13 और 14 के बीच संबंध क्या है?

a) ये सह-अभाज्य हैं।
b) ये अभाज्य हैं।
c) ये भाज्य हैं।
d) इनमें से कोई नहीं।

उत्तर: a) ये सह-अभाज्य हैं।

निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या अभाज्य संख्या है?

a) 21
b) 22
c) 23
d) 24

उत्तर: c) 23

निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या सह-अभाज्य (Co-prime) नहीं है?

a) 8 और 15
b) 14 और 25
c) 17 और 19
d) 12 और 18

उत्तर: d) 12 और 18

ये MCQs छात्रों को भाज्य, अभाज्य, और सह-अभाज्य संख्याओं के बीच के अंतर को समझने में सहायता करेंगे।

सह-अभाज्य संख्या

मान लीजिए कि x और y दो धनात्मक पूर्णांक हैं जैसे कि उन्हें सह-अभाज्य संख्याएँ कहा जाता है यदि और केवल यदि उनका एकमात्र सामान्य गुणनखंड 1 है और इस प्रकार HCF(x, y) = 1 है।

दो संख्याओं में 1 के अलावा कोई धनात्मक पूर्णांक नहीं है जो दोनों को विभाजित कर सके, तो संख्याओं का जोड़ा सह-अभाज्य है।

दूसरे शब्दों में, सह-अभाज्य संख्याएँ एक समुच्चय हैं ऐसी संख्याएँ या पूर्णांक जिनका सामान्य गुणनखंड केवल 1 है अर्थात उनका उच्चतम सामान्य गुणनखंड (HCF) 1 होगा।

सह-अभाज्य संख्याएँ बनाने के लिए यह आवश्यक है कि दो संख्याएँ हों।

उदाहरण 1: 21 और 22

21 और 22 के लिए:

21 के गुणनखंड 1, 3, 7 और 21 हैं।
22 के गुणनखंड 1, 2, 11 और 22 हैं।

यहां 21 और 22 में केवल एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है जो कि 1 है। इसलिए, उनका महत्तम समापवर्तक 1 है और सह-अभाज्य हैं।

उदाहरण 2: 21 और 27

21 और 27 के लिए:

21 के गुणनखंड 1, 3, 7 और 21 हैं।
27 के गुणनखंड 1, 3, 9 और 27 हैं।

यहां 21 और 27 में दो सामान्य गुणनखंड हैं; वे 1 और 3 हैं। महत्तम समापवर्तक 3 है और वे सह-अभाज्य नहीं हैं।

जुड़वाँ अभाज्य संख्याएँ (Twin Prime Numbers):

जुड़वाँ अभाज्य संख्याएँ दो ऐसी अभाज्य संख्याओं की जोड़ी होती हैं जिनके बीच का अंतर 2 होता है।

परिभाषा (Definition):

यदि p और q अभाज्य संख्याएँ हैं और q−p=2

तो p और q को जुड़वाँ अभाज्य संख्या कहते हैं।

उदाहरण (Examples):

कुछ जुड़वाँ अभाज्य संख्याओं की जोड़ी:

(3,5)
(5,7)
(11,13)
(17,19)
(29,31)
(41,43)
(59,61)