महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्तक के सूत्र :
भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M) = अंशों का ल.स./हरों का म.स.
भिन्नों का महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) = अंशों का म.स./हरों का ल.स.
ल.स × म.स. = पहली संख्या × दूसरी संख्या
ल.स. = (पहली संख्या × दूसरी संख्या) ÷ म.स.
म.स. = (पहली संख्या × दूसरी संख्या) ÷ ल.स.
पहली संख्या = (ल.स. × म.स) ÷ दूसरी संख्या
दूसरी संख्या = (ल.स. × म.स) ÷ पहली संख्या
1. गुणज (Multiples):
12 का तीसरा गुणज क्या है?
उत्तर: b) 36
निम्नलिखित में से कौन-सा 7 का गुणज है?
उत्तर: a) 35 और c) 21
यदि x 4 का गुणज है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही है?
- a) x का अंत 4 या 8 से होगा।
- b) x का अंतिम अंक 0 या 5 होना चाहिए।
- c) x का अंतिम अंक सम होना चाहिए।
- d) x को 4 से विभाजित किया जा सकता है।
उत्तर: d) x को 4 से विभाजित किया जा सकता है।
निम्नलिखित में से कौन-सा 9 का गुणज नहीं है?
उत्तर: d) 50
15 का पाँचवां गुणज क्या है?
उत्तर: d) 105
2. गुणनखण्ड (Factors):
18 के गुणनखण्डों का समुच्चय क्या है?
- a) 1, 2, 3, 6, 9, 18
- b) 2, 3, 4, 6, 12, 18
- c) 1, 3, 6, 9, 12, 18
- d) 1, 2, 3, 5, 9, 18
उत्तर: a) 1, 2, 3, 6, 9, 18
निम्नलिखित में से कौन-सा 24 का गुणनखण्ड नहीं है?
उत्तर: c) 5
48 के गुणनखण्डों की संख्या कितनी है?
उत्तर: c) 12
निम्नलिखित में से कौन-सा 36 का गुणनखण्ड है?
उत्तर: b) 6
एक संख्या का सबसे बड़ा गुणनखण्ड क्या होता है?
- a) 1
- b) वह संख्या स्वयं
- c) 2
- d) सबसे छोटी अभाज्य संख्या
उत्तर: b) वह संख्या स्वयं
3. गुणज और गुणनखण्ड का मिश्रण:
यदि किसी संख्या के सभी गुणनखण्डों का योग निकालना हो, तो उसका सबसे बड़ा गुणज क्या होगा?
- a) 1
- b) सबसे छोटी अभाज्य संख्या
- c) वह संख्या स्वयं
- d) 2 से गुणा की गई संख्या
उत्तर: c) वह संख्या स्वयं
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या 8 के गुणज और 16 के गुणनखण्ड दोनों है?
उत्तर: a) 16
किसी संख्या का पहला गुणज और सबसे छोटा गुणनखण्ड क्या होता है?
- a) वह संख्या स्वयं
- b) 0
- c) 1
- d) 2
उत्तर: c) 1
45 के गुणनखण्ड क्या हैं?
- a) 1, 3, 5, 9, 15, 45
- b) 1, 5, 10, 15, 45
- c) 1, 5, 9, 15, 45
- d) 1, 3, 5, 9, 15
उत्तर: a) 1, 3, 5, 9, 15, 45
लघुत्तम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्तक पर आधारित प्रश्न
दो संख्याओं x एवं y का लघुत्तम समापवर्त्य a हैं x तथा y का महत्तम समापवर्तक होगा?
A. xy
B. a/xy
C. xy/a
D. ax/y
हल:- प्रश्नानुसार,
महत्तम समापवर्तक = (दोनों संख्याओं का गुणनफल)/(लघुत्तम समापवर्त्य)
महत्तम समापवर्तक = xy/a
368/437 का सरलतम रूप क्या है?
A. 12/17
B. 16/19
C. 9/14
D. 18/23
हल:- प्रश्नानुसार,
HCF = 23
368 / 23 = 16
437 / 23 = 19
सरलतम रूप 16/19 होगा।
Ans. 16/19
वह छोटी से छोटी संख्या कौन सी हैं, जो 4, 6, 8, 9, 12, से पूर्णतः विभाजित हो?
A. 18
B. 32
C. 68
D. 72
हल:- 4, 6, 8, 9, 12, का LCM = 72
अतः वह छोटी से छोटी संख्या 72 होंगी।
Ans. 72
5⁻¹¹, 5⁻⁹, 5⁻¹⁶, 5⁻¹⁰ का लघुत्तम समावतर्क एवं महत्तम समावतर्क निकालिए?
A. 5⁻¹⁶
B. 5⁻¹¹
C. 5⁻⁹
D. 5⁻¹⁰
हल:- प्रश्ननानुसार,
सभी संख्याओं का आधार 5 हैं
तथा -9 > -10 > -11 > -16
LCM = 5⁻⁹
HCF = 5⁻¹⁶
Ans. 5⁻¹⁶
दो संख्याओं के L.C.M. और H.C.F. क्रमशः 48, 8, हैं यदि इनमे से एक संख्या 24 हैं, तो दूसरी संख्या क्या होगी?
A. 16
B. 8
C. 32
D. 18
हल:- प्रश्ननानुसार,
L.C.M × H.C.F = प्रथम संख्या × द्धितीय संख्या
24 × X = 48 × 8
X = 48 × 8 / 24
X = 16
Ans. 16
दो संख्याओं का L.C.M. 1920 तथा H.C.F. 16 हैं, यदि इनमें से एक संख्या 128 हो तो दूसरी संख्या क्या होगी?
A. 160
B. 832
C. 240
D. 512
हल:- प्रश्ननानुसार,
माना, दूसरी संख्या = x
L.C.M × H.C.F = प्रथम संख्या × द्धितीय संख्या
x × 128 = 1920 × 16
x = 1920 × 16/128
x = 240
अतः दूसरी संख्या = 240
Ans. 240
वह छोटी से छोटी संख्या कौन सी हैं जिसे 14, 21, 28, 35 से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में 5 शेष बचे?
A. 165
B. 285
C. 425
D. 350
हल:- प्रश्ननानुसार,
14, 21, 28, 35 का LCM = 420
420 + 5 = 425
Ans. 425
a,b,c एक वृताकार स्टेडियम में उसके चारों और एक ही बिंदु से एक साथ दौड़ना प्रारंभ करते हैं तथा क्रमशः 28, 24, 32 सेकण्ड में एक चक्कर पूरा करते हैं वे तीनों कितने समय बाद प्रारम्भिक बिंदु पर फिर से मिलेंगे?
A. 16/5
B. 8/3
C. 24/5
D. 3/7
हल:- प्रश्ननानुसार,
L.C.M. = 288
288/60
24/5
Ans. 24/5
तीन विभिन्न चौराहों पर आवागमन सूचक वृतिया क्रमशः 48 सेकेण्ड, 72 सेकेंड, और 108 सेकेंड के बाद बदलती हैं यदि वे एक साथ अभी बदली हो तो फिर कितने समय बाद बदलेगी?
A. 165
B. 285
C. 432
D. 350
हल:- प्रश्ननानुसार,
48, 72, 108 का L.C.M. = 432
Ans. 432
3 प्रकार के तारों की लंबाई क्रमशः 4672, 3869, 2993, मीटर हैं, एक अन्य प्रकार के तार की अधिकतम लम्बाई क्या है जिससे तीनों प्रकार के तारों की लंबाई को पूर्णतः नापा जा सकें।
A. 16
B. 28
C. 43
D. 73
हल:- प्रश्ननानुसार,
4672, 3869, 2993 का HCF = 73
Ans. 73
दो संख्याओं का लासा 495 है तथा उनका महत्तम समापवर्तक 5 है यदि उन संख्याओं का योग 100 हो तो उन का अंतर कितना होगा?
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20
हल:- प्रश्ननानुसार,
माना की पहली संख्या = a
दूसरी संख्या = b
सूत्र – प्रथम संख्या × दूसरी संख्या = ल.स × म.स
a × b = 495 × 5
ab = 2475
प्रश्ननानुसार,
a + b = 100
सूत्र – (a – b)² = ( a + b )² – 4ab
(100)² – 4 × 2475
10000 – 9900
(a – b)² = 100
(a – b) = √100
(a – b) = 10
Ans. 10
वह बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 29 30 और 3250 में भाग देने पर क्रमशः 7 और 11 शेष बचे?
A. 79
B. 59
C. 89
D. 69
हल:- प्रश्ननानुसार,
2930 – 7 = 2923 और
3250 – 11 = 3239
इसीलिए 2923 और 3239 का म.स.प. = 79
इसीलिए वह संख्या 79 हैं।
Ans. 79
वह छोटी से छोटी संख्या निकालें जिसे 5, 6, 7, 8 से भाग देने पर 3 शेष बचता है परन्तु 9 से भाग देने पर कोई शेष नही बचता?
A. 1560
B. 1683
C. 1820
D. 1960
हल :- प्रश्ननानुसार,
5, 6, 7, 8 का ल.स. = 840
अतः वाँछित संख्या = (840 × n + 3) होगी।
जहाँ n कोई प्राकृत संख्या हैं।
n का न्यूनतम मान, जिससे (840 × n + 3), 9 से विभाज्य हो,
वह न्यूनतम मान n = 2 होगा।
अभीष्ट संख्या = 840 × 2 + 3
अभीष्ट संख्या = 1683
Ans. 1683
वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करें जो 10, 20, 30, 40 तथा 50 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 7 शेष बचे?
A. 607
B. 709
C. 504
D. 810
हल:- प्रश्ननानुसार,
सूत्र :- वह छोटी से छोटी संख्या बताये जो x, y, z तथा p से भाग देने पर प्रत्येक दशा में सामान शेष (k) बचे तो संख्या = ल.स. (x, y, z, p) + k )
अभीष्ट संख्या = ल.स. (10, 20, 30, 40, 50) + 7
= 600 + 7
= 607
Ans. 607
चार अंक की सबसे छोटी संख्या ज्ञात करे जो 2, 3, 4, 5, 6 और 7 से पूर्ण रूप से भाज्य हो?
A. 1270
B. 1260
C. 1570
D. 1470
हल:- प्रश्ननानुसार,
सबसे पहले हम 2, 3, 4, 5, 6 और 7 का ल.स. निकालेंगे
ल.स. (2, 3, 4, 5, 6 और 7) = 420
चूँकि हमें 4 अंक की संख्या चाहिए अतः अभीष्ट संख्या अवश्य ही 420 का गुणक होगा.
अभीष्ट संख्या = 420 x 3
अभीष्ट संख्या = 1260
Ans. 1260
दो संख्याओं का गुणनफल 7168 है एवं उनका म0 स0 16 है तो संख्याएं क्या है?
A. 111, 11
B. 124, 13
C. 132, 7
D. 112, 64
हल:- प्रश्ननानुसार,
माना कि संख्याएं 16a तथा 16b हैं तथा परस्पर अभाज्य भी हैं
अत: 16a x 16b = 7168
= 28
अब वे जोडे देखते हैं जिनका गुणनफल 28 होता है
वे हैं (28,1) तथा (7,4)
अत: संख्याएं हो सकती हैं (448 , 16)
तथा (112 , 64)
Ans. 112, 64
दो व्यजकों का महत्तम समापवर्तक (x + 2) और लघुत्तम समापवर्तक (x + 2) (x – 1) (x² – 2x + 4) हैं यदि उनमें से एक व्यंजक (x² – 2x + 4) हो, तो दूसरा व्यंजक होगा?
A. (x + 2)
B. (x – 1)
C. (x + 2)(x – 1)
D. (x + 2)² (x – 1)
हल:- प्रश्नानुसार,
दूसरा व्यंजक = (ल.स.× म.स.)/प्रथम व्यंजक
[(x + 2)(x – 1)(x² – 2x + 4) × (x + 2)]/(x² – 2x + 4)
(x + 2)(x – 1)(x + 2)
(x + 2)² (x – 1)
Ans. (x + 2)² (x – 1)
दो संख्याओं का म. स. 16 तथा ल. स. 160 हैं यदि इनमें से एक संख्या 32 हो, तो दूसरी संख्या होंगी?
A. 48
B. 80
C. 96
D. 112
हल:- प्रश्नानुसार,
दूसरी संख्या = (ल.स.× म.स.)/पहली संख्या
दूसरी संख्या = (16 × 160)/32
दूसरी संख्या = 80
Ans. 80
दो संख्याओं का ल. स. 225 हैं तथा उनका म. स. 5 हैं यदि एक संख्या 25 हो, तो दूसरी संख्या होगी?
A. 5
B. 45
C. 35
D. 225
हल:- प्रश्नानुसार,
दूसरी संख्या = (ल.स.× म.स.)/पहली संख्या
दूसरी संख्या = (225 × 5)/25
दूसरी संख्या = 9 × 5
दूसरी संख्या = 45
Ans. 45
दो संख्याओं का ल. स 864 हैं और उनका म. स 144 हैं यदि उनमें से एक संख्या 288 हो, तो दूसरी संख्या होंगी?
A. 567
B. 255
C. 432
D. 225
हल:- प्रश्नानुसार,
दूसरी संख्या = (ल.स.× म.स.)/पहली संख्या
दूसरी संख्या = (864 × 144)/288
दूसरी संख्या = 144 × 3
दूसरी संख्या = 432
Ans. 432
13 का वह सबसे छोटा गुणज जिसे 4, 5, 6, 7 और 8 से भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में 2 शेष बचें?
A. 2522
B. 2552
C. 4323
D. 2225
हल:- प्रश्नानुसार,
4, 5, 6, 7 और 8 लघुत्तम समापवर्तक = 840
संख्या = (840 × n + 2), होगी।
जहाँ n कोई प्राकृतिक संख्या हैं।
n का न्यूनतम मान जिससे (840 × n + 2), 13 से विभाज्य हो।
न्यूनतम मान n = 3 होगा।
अभीष्ट संख्या = 840 × 3 + 2
अभीष्ट संख्या = 2520 + 2
अभीष्ट संख्या = 2,522
Ans. 2,522
तीन विभिन्न चौराहों पर आवागमन सूचक बत्तियाँ क्रमशः 48 सेकेण्ड, 72 सेकेंड, और 108 सेकेंड के बाद बदलती हैं यदि वे 8 :20 : 00 बजे बदली हो तो फिर कितने समय बाद बदलेगी?
A. 8 : 27 : 27
B. 8 : 27 : 32
C. 8 : 27 : 12
D. 8 : 27 : 18
हल:- प्रश्नानुसार,
पुनः बत्तियों का साथ बदलने का समय
48, 72, और 108 का L.C.M. = 432
अर्थात 7 मिनिट 12 सेकेण्ड
पुनः बत्तियाँ बदलने में परिवर्तन होगा = 8 : 27 : 12
Ans. 8 : 27 : 12
एक मंदिर में 6 घण्टियाँ लगी हुई हैं, जिनमें से वे क्रमशः 4 सेकेण्ड, 6 सेकेण्ड, 8 सेकेण्ड, 20 सेकेण्ड, और 12 सेकेंड और 18 सेकेण्ड में बजती हैं यदि वे एक साथ अभी बजी हो तो फिर कितने समय बाद बजेगी?
A. 120
B. 140
C. 180
D. 220
हल:- प्रश्नानुसार,
एक मंदिर में घण्टियाँ लगी हैं = 6
4, 6, 8, 20, 12, 18 का L.C.M. = 180
अतः 180 सेकेण्ड के बाद पुनः मंदिर में घण्टियाँ बजेगी।
एक मंदिर में 6 घण्टियाँ लगी हुई हैं, जिनमें से वे क्रमशः 10 सेकेण्ड, 12 सेकेण्ड, 15 सेकेण्ड, 20 सेकेण्ड, और 25 सेकेंड और 30 के अंतराल पर बजती हैं यदि वे एक साथ अभी बजी हो तो फिर कितने समय बाद बजेगी?
A. 150
B. 200
C. 250
D. 300
हल:- प्रश्नानुसार,
एक मंदिर में घण्टियाँ लगी हैं = 6
10, 12, 15, 20, 25, 30 का L.C.M. = 300
अतः 300 सेकेण्ड के बाद पुनः मंदिर में घण्टियाँ बजेगी।
लघुत्तम समापवर्त्य पर आधारित प्रश्न
Q.1 12, 24, 48 का गुणनखण्ड विधि से लघुत्तम समापवर्त्य निकालिए?
A. 12
B. 28
C. 36
D. 48
हल:- प्रश्नानुसार,
12 = 2 × 2 × 3
24 = 2 × 2 × 2 × 3
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
L.C.M. = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
L.C.M. = 48
Ans. 48
Q.2 15, 30, 60 का गुणनखण्ड विधि से लघुत्तम समापवर्त्य निकालिए?
A. 12
B. 28
C. 36
D. 60
हल:- प्रश्नानुसार,
15 = 3 × 5
30 = 2 × 3 × 5
60 = 2 × 2 × 3 × 5
L.C.M. = 2 × 2 × 3 × 5
L.C.M. = 15 × 4
L.C.M. = 60
Ans. 60
Q.3 16, 64, 128 का गुणनखण्ड विधि से लघुत्तम समापवर्त्य निकालिए?
A. 16
B. 32
C. 64
D. 128
हल:- प्रश्नानुसार,
16 = 2 × 2 × 2 × 2
64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
L.C.M. = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
L.C.M. = 128
Ans. 128
Q.4 24, 36, 40 का LCM निकालिए?
A. 430
B. 360
C. 420
D. 520
हल:- प्रश्ननानुसार,
24, 36, 40 का महत्तम समापवर्तक
24 = 2 × 2 × 2 × 3
36 = 2 × 2 × 3 × 3
40 = 2 × 2 × 2 × 5
LCM = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
LCM = 360
Ans. 360
Q.5 66, 75, 130 का लघुत्तम समापवर्तक निकालिए?
A. 20450
B. 21450
C. 22450
D. 23450
हल:- प्रश्नानुसार,
66, 75, 130 का लघुत्तम समापवर्तक
66 = 2 × 3 × 11
75 = 3 × 5 × 5
130 = 2 × 5 × 13
लघुत्तम समापवर्तक = 2 × 3 × 5 × 5 × 11 × 13
लघुत्तम समापवर्तक = 21450
Ans. 21450
Q.6 9, 30, 27, 15 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
A. 270
B. 240
C. 320
D. 120
हल:- प्रश्नानुसार,
9, 30, 27, 15 का लघुत्तम समापवर्तक
9 = 3 × 3
30 = 2 × 3 × 5
27 = 3 × 3 × 3
15 = 3 × 5
अभीष्ट लघुत्तम समापवर्तक = 2 × 3 × 3 × 3 × 5
लघुत्तम समापवर्तक = 270
Ans. 270
Q.7 36 और 84 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
A. 270
B. 242
C. 252
D. 320
36 = 2 × 2 × 3 × 3
84 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7
अभीष्ट लघुत्तम समापवर्तक = 2 × 2 × 3 × 3 × 7
लघुत्तम समापवर्तक = 252
Ans. 252
Q.8 3/4, 6/7, 8/9 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
A. 24
B. 3
C. 3/56
D. 8
हल:- प्रश्नानुसार,
3/4, 6/7, 8/9 का लघुत्तम समापवर्तक
भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M.) = अंशों का लघुत्तम समावतर्क / हर का महत्तम समावतर्क
लघुत्तम समापवर्तक = (3, 6, और 8 का ल. स.)/(4, 6, और 7 का म. स.)
लघुत्तम समापवर्तक = 24/1
लघुत्तम समापवर्तक = 24
Ans. 24
Q.8 5/7, 7/8 एवं 8/9 का लघुत्तम समापवर्तक हैं?
A. 120
B. 280
C. 360
D. 480
हल:- प्रश्नानुसार,
5/7, 7/8 एवं 8/9 का लघुत्तम समापवर्तक
भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M.) = अंशों का लघुत्तम समावतर्क / हर का महत्तम समावतर्क
लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M.) = (5, 7, 8 का ल. स.)/(7,8,9 का म.स.)
लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M.) = 280
Ans. 280
Q.9 1/3, 5/6, 2/9, 4/27 का लघुत्तम समापवर्तक हैं?
A. 10/27
B. 20/3
C. 20/27
D. 1/54
हल:- प्रश्नानुसार,
1/3, 5/6, 2/9, 4/27 का लघुत्तम समापवर्तक
भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M.) = अंशों का लघुत्तम समावतर्क / हर का महत्तम समावतर्क
अभीष्ट ल.स. = 1, 5, 2 तथा 4 का ल.स./3, 6, 9 तथा 27 का म.स.
अभीष्ट ल.स. = 20/3
Ans. 20/3
Q.10 छोटे से छोटा वह भिन्न जो 6/7, 5/14, 10/21 से पुर्णतः विभक्त हो जाए हैं?
A. 30/98
B. 60/90
C. 30/7
D. 60/147
हल:- प्रश्नानुसार,
भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M.) = अंशों का लघुत्तम समावतर्क / हर का महत्तम समावतर्क
अभीष्ट ल. स. = (6,5,10 का ल. स.)/(7,14,21 का म.स.)
30/7
Ans. 30/7
Q.11 0.9, 0.18, 3.6, 7.2, 0.144 का लघुत्तम समापवर्तक क्या हैं?
A. 1.44
B. 7.2
C. 12.96
D. 18.32
हल:- प्रश्नानुसार,
0.9, 0.18, 3.6, 7.2, 0.144
दशमलव के बाद अधिकतम तीन अंक हैं।
इसलिए सभी संख्याओं को 1000 से गुणा करने पर प्राप्त संख्या
= 900, 180, 3600, 7200 तथा 144
इन संख्याओं का ल. स. = 7200
अभीष्ट ल. स. = 7200/100
लघुत्तम समापवर्तक = 7.2
Ans. 7.2
Q.12 x² + xy + y² और x³ – y³ का L.C. M. होगा?
A. x – y
B. x² – y²
C. x³ – y³
D. x² + xy + y²
हल:- प्रश्नानुसार,
x² + xy + y² =
x³ – y³ = (x – y)(x² + xy + y²)
अभीष्ट L.C.M. = (x – y) (x² + xy + y² )
Ans. x³ – y³
Q.13 4⁷, 4⁵, 4⁶, 4⁴, L.C.M. ज्ञात कीजिए?
A. 4⁵
B. 4⁷
C. 4⁶
D. 4⁴
हल:- सभी संख्याओं का आधार 4 हैं। तथा अधिकतम घात 4⁷ का हैं।
लघुत्तम समापवर्त्य = 5¹²
Ans. 4⁷
Q.14 10 a²bc, 15 abc², 20 a²b²c का लघुत्तम समापवर्तक क्या हैं?
A. 60a²b²c²
B. 40ab²c²
C. 70a²b²c
D. 90abc²
हल:- प्रश्नानुसार,
10 a²bc = 5×2×a²×b×c
15 abc²= 5×3×a×b×c²
20 a²b²c = 5×2²×a²×b²×c
L.C.M. = 5×2²×3×a²×b×c
L.C.M. = 60a²b²c²
Ans. 60a²b²c²
Q.15 8(x³−x) और 4(x³ −1) का लघुत्तम समापवर्तक होगा?
A. 4 (x²−1)(x+1)
B. 8x (x²−1)(x²+x+1)
C. 4 (x²−1)
D. 8(x²−1)(x²+x+3)
हल:- प्रश्नानुसार,
8(x³−x) = 2³ × x × (x – 1)(x + 1)
4(x³ −1) = 2² × (x – 1)(x² + x + 1)
लघुत्तम समापवर्तक = 2³ × x × (x – 1)(x + 1) (x² + x + 1)
लघुत्तम समापवर्तक = 8x (x – 1)(x² + x + 1)
महत्तम समापवर्तक पर आधारित प्रश्न
Q.16 18, 42, 102 का महत्तम समापवर्तक निकालिए?
A. 12
B. 2
C. 6
D. 8
हल:- प्रश्नानुसार,
18 = 2 × 3 × 3
42 = 2 × 3 × 7
102 = 2 × 3 × 17
उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 हैं।
अभीष्ट महत्तम समापवर्तक = 2 × 3
HCF = 6
Ans. 6
Q.17 60, 45, 180, 24, का HCF निकालिये?
A. 2
B. 3
C. 5
D. 8
हल:- प्रश्नानुसार,
60 = 2 × 2 × 3 × 5
45 = 3 × 3 × 5
180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
24 = 2 × 2 × 2 × 3
उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 3 हैं।
अभीष्ट महत्तम समापवर्तक = 3
Ans. 3
Q.18 923, 949 का HCF निकालिए?
A. 12
B. 13
C. 16
D. 18
हल:- प्रश्नानुसार,
923 = 13 × 71
949 = 13 × 73
उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 13 हैं।
अभीष्ट महत्तम समापवर्तक = 13
Ans. 13
Q.19 36 और 84 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
A. 4
B. 6
C. 12
D. 18
हल:- प्रश्नानुसार,
36 और 84 का महत्तम समापवर्तक
36 = 2 × 2 × 3 × 3
84 = 2 × 2 × 3 × 7
उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 2 तथा 3 हैं।
अभीष्ट म.स. = 2 × 2 × 3
अभीष्ट म.स. = 12
Ans. 12
Q.20 216, 288 और 720 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
A. 120
B. 280
C. 360
D. 480
हल:- प्रश्नानुसार,
216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
288 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
720 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 हैं।
अभीष्ट महत्तम समापवर्तक = (2 × 2 × 2 × 3 × 3)
महत्तम समापवर्तक = 72
Ans. 72
Q.21 9/10, 12/25, 18/35, 21/40 का महत्तम समापवर्तक निकालिए?
A. 12/700
B. 28/3200
C. 6/1400
D. 48/4800
हल:- HCF = 9, 12, 18, 21
= 2 × 3
= 6
LCM = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7
LCM = 1400
HCF = अंश का महत्तम समावतर्क / हर का लघुत्तम समावतर्क
HCF = 6/1400
Ans. 6/1400
Q.22 x² – 9 और x² – 6x + 9 का महत्तम समापवर्तक हैं?
A. x – 3
B. x + 3
C. x + 2
D. x – 2
हल:- प्रश्नानुसार,
x² – 9 = (x – 3)(x – 3)
x² – 6x + 9 = x² – 3x – 3x + 9
x(x – 3) – 3(x- 3)
(x – 3)(x – 3)
अभीष्ट महत्तम समापवर्तक = (x – 3)
Ans. (x – 3)
Q.23 2.4, 0.36 और 7.2 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
A. 12
B. 120
C. 1.2
D. 0.12
हल:- प्रश्नानुसार,
2.4, 0.36, 7.2
दशमलव के बाद अधिकतम दो अंक हैं।
इसलिए सभी संख्याओं को 100 से गुणा करने पर प्राप्त
संख्या = 240, 36, तथा 720
इन संख्याओं का ल. स. = 12
अभीष्ट ल. स. = 12/100
लघुत्तम समापवर्तक = 0.12
Ans. 0.12
Q.24 7⁸, 7⁶, 7⁵, 7¹⁰ महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
A. 7⁸
B. 7⁷
C. 7⁵
D. 7¹⁰
हल:- सभी संख्याओं का आधार 7 हैं। तथा सबसे छोटी घात 7⁵ का हैं।
लघुत्तम समापवर्त्य = 7⁵
Ans. 7⁵
Q.25 2.4, 0.36 तथा 7.2 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
A. 12
B. 120
C. 12.9
D. 15.7
हल:- प्रश्नानुसार,
चूंकि दशमलव के बाद अधिकतम दो अंक हैं,
इसलिए सभी संख्याओं को 100 से गुणा करने पर प्राप्त संख्या = 240, 36 तथा 720 होंगे।
240 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5
36 = 2 × 2 × 3 × 3
720 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
240, 36, 720 का म.स. = 2 × 2 3
240, 36, 720 का म.स. = 12
अभीष्ट म.स. = 12/100
अभीष्ट म.स. = 0.12
Ans. 0.12
Q.26 यदि (x – a), (x² – x – 6) और (x² + 3x – 18) का महत्तम समापवर्तक हैं, तो a का मान होगा?
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
हल:- प्रश्नानुसार,
(x² – x – 6) = (x² – x – 6)
(x² – x – 6) = x² – 3x + 2x – 6
(x² – x – 6) = x(x – 3) + 2(x – 3)
(x² – x – 6) = (x – 3)(x + 3)
(x² + 3x – 18) = (x² + 3x – 18)
(x² + 3x – 18) = x² + 6x – 3x – 18
(x² + 3x – 18) = x (x + 6) – 3(x + 6)
(x² + 3x – 18) = (x – 3)(x + 6)
म.स. = 1 = (x – 3)
म.स. = 1 = (x – a)
x – 3 = x – a
x – x – a = – 3
– a = – 3
a = 3
Ans. 3
Q.27 1295/1591 को जब निम्नतम पद में से घटाया जाए तो संख्या प्राप्त होगी?
A. 35/37
B. 37/43
C. 35/43
D. 43/35
हल:- प्रश्नानुसार,
1295 और 1591 महत्तम समापवर्तक = 37
(1295÷37)/(1591÷37)
Ans. 35/43
Q.28 a²−1, a³−1 और 8a³−8a का महत्तम समापवर्तक हैं?
A. a + 1
B. a – 1
C. a² + 1
D. a² – 1
हल:- प्रश्नानुसार,
a²−1 = (a + 1)(a – 1)
a³−1 = (a – 1)(a² + a +1)
8a³−8a = 8a (a -1)(a² + a +1)
महत्तम समापवर्तक = (a – 1)
Ans. a – 1
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