विभाज्यता के नियम (divisibility rule) उन विधियों को कहते हैं जो सरलता से बता देते हैं कि कोई प्राकृतिक संख्या किसी दूसरी संख्या से विभाजित हो सकती है या नहीं।
विभाज्यता के नियम (Divisibility Rule)
| विभाजक | विभाजन की शर्त/शर्तें | उदाहरण |
|---|---|---|
| 1 | स्वत: | सभी पूर्णांक 1 से विभाज्य हैं। |
| 2 | संख्या का अन्तिम अंक सम (0, 2, 4, 6, or 8) हो। | 1,294: इसमें अन्तिम अंक 4 सम है। |
| 3 | दी हुई संख्या के सभी अंकों का योग 3 से विभाजित हो। बहुत बड़ी संख्याओं (जिनके अंकों का योग भी बड़ी संख्या हो) के लिये यह नियम अंकों के योग पर भी लागू किया जाता है। | 405:6+3+6=15 जो कि 3 से विभाज्य है। 16,499,205,854,376 के अंकों का योग 69 है; 6 + 9 = 15, 1 + 5 = 6, जो स्पष्टत: 3 से विभाज्य है। |
| 4 | संख्या के इकाई स्थान के अंक में दहाई स्थान के अंक का दो गुना जोड़िये। (दहाई स्थान के बांये के सारे अंकों का इसके लिये कोई महत्व नहीं है।) | 5,096: 6 + (2 × 9) = 24 |
| अन्तिम दों अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो। | 40832: 32 is divisible by 4. | |
| यदि दहाई स्थान पर स्थित अंक सम हो तथा इकाई स्थान पर 0, 4, या 8 हो।यदि दहाई स्थान का अंक विषम हो तथा इकाई स्थान पर 2, या 6. | 40832: 3 विषम है, तथा अन्तिम अंक 2 है। | |
| 5 | अन्तिम अंक 0 या 5. | 490: अतिम अंक 0 है। |
| 6 | संख्या 2 और 3 दोनो से विभक्त होती हो। | 1,458: 1 + 4 + 5 + 8 = 18, 1 + 8 = 9, अत: संख्या 3 से विभाज्य है और साथ ही अन्तिम अंक सम होने के कारण 2 से भी विभाज्य है। इसलिये यह संख्या 6 से विभाज्य है। |
| अन्तिम अंक में अन्य अंकों के योग का चौगुना जोड़ें। | 198: (1 + 9) × 4 + 8 = 48 | |
| 7 | निम्नलिखित प्रक्रिया करने के बाद प्राप्त संख्या 7 से विभाज्य होनी चाहिये: | |
| दायें से बायें तरफ संख्या के अंकों का तीन-तीन का समूह बनाकर इनका एकान्तर योग निकालिये। | 1,369,851: 851 – 369 + 1 = 483 = 7 × 69 | |
| अन्तिम अंक का दोगुना, बाकी संख्या से घटाइये और जांचिये कि परिणाम 7 से विभाज्य है या नहीं। | 483: 48 – (3 × 2) = 42 = 7 x 6. | |
| या, अन्तिम संख्या के पाँच गुने में बाकी बची संख्या को जोड़िये. | 483: 48 + (3 × 5) = 63 = 7 x 9. | |
| 8 | निम्नलिखित प्रक्रिया करने के बाद प्राप्त संख्या 8 से विभाज्य होनी चाहिये: | |
| यदि ‘सैकड़ा’ के स्थान वाला अंक सम है तो अन्तिम दो अंकों से बनी संख्या की परीक्षा कीजिये कि यह 8 से विभाज्य है या नहीं। | 624: 24. | |
| यदि सैकड़ा के स्थान पर वाला अंक विषम है तो अन्तिम दो अंकों से बनी संख्या में 4 जोड़कर परीक्षा कीजिये कि यह 8 से विभाज्य है या नहीं।. | 352: 52 + 4 = 56. | |
| इकाई स्थान के अंक को छोड़कर जो संख्या बचती है उसके दोगुने में इकाई वाला अंक जोड़िये और परीक्षा कीजिये कि यह 8 से विभाज्य है या नहीं। | 56: (5 × 2) + 6 = 16. | |
| संख्या के केवल अन्तिम तीन अंकों से बनी संख्या की परीक्षा कीजिये और देखिये कि यह 8 से विभाज्य है या नहीं। | 34152: केवल 152 के विभाज्यता की परीक्षा कीजिये: 19 x 8 | |
| 9 | सभी अंकों का योगफल 9 से विभाज्य होना चाहिये। बड़ी संख्याओं के लिये यह क्रिया बार-बार की जा सकती है अर्थात अंकों का योग भी बड़ा हो तो उसकी भी इसी रीति से परीक्षा की जाती है। अन्तिम परिणाम 9 आना चाहिये। | 2,880: 2 + 8 + 8 + 0 = 18: 1 + 8 = 9. |
| 10 | अन्तिम अंक शून्य (0) होना चाहिये। | 130: अन्तिम अंक 0 है। |
| 11 | निम्नलिखित प्रक्रियाओं के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्या 11 से विभाज्य होनी चाहिये: | |
| एकानतर अंकों (एक-एक अंक छोड़कर) का योग-घटाना कीजिये और देखिये कि यह 11 से विभाजित होता है या नहीं। | 918,082: 9 – 1 + 8 – 0 + 8 – 2 = 22. | |
| दायें से बायें तरफ संख्या के अंकों को दो-दो के समूह में योग कीजिये और देखिये कि यह 11 से विभाजित होता है या नहीं। | 627: 6 + 27 = 33. | |
| अन्तिम अंक को बाकी बचे अंकों से बनी संख्या से घटाइये और देखिये कि यह 11 से विभाजित होता है या नहीं। | 627: 62 – 7 = 55. | |
| 12 | जो संख़्या,3 और 4 दोनो से विभाज्य़ हो | 324: it is divisible by 3 and by 4. |
| अंतिम अंक को शेष के दोगुने से घटाएं। | 324: (32 × 2) − 4 = 60. | |
| 13 | इन उदाहरणों से प्राप्त संख्या 13 से विभाज्य होनी चाहिए, इस प्रकार: | |
| अंकों को दाएं से बाएं तीन के वैकल्पिक ब्लॉक में जोड़ें, फिर दो योग घटाएं। | 2,911,272: − (2 + 272) + 911 = 637 | |
| शेष में अंतिम अंक का 4 गुना जोड़ें। | 637: 63 + (7 × 4) = 91, 9 + (1 × 4) = 13. | |
| 14 | यह 2 और 7 से विभाज्य है। | 224: it is divisible by 2 and by 7. |
| अंतिम दो अंकों को शेष के दोगुने में जोड़ें। उत्तर 14 से विभाज्य होना चाहिए। | 364: (3 × 2) + 64 = 70. | |
विभाज्यता नियम 1
प्रत्येक संख्या 1 से विभाज्य है। 1 के लिए विभाज्यता नियम में कोई शर्त नहीं है। किसी भी संख्या को 1 से विभाजित करने पर संख्या स्वयं प्राप्त होगी, चाहे वह संख्या कितनी भी बड़ी क्यों न हो। उदाहरण के लिए, 3, 1 से विभाज्य है और 3000 भी 1 से पूर्णतः विभाज्य है।
2 का विभाज्यता नियम
यदि कोई संख्या सम है या ऐसी संख्या जिसका अंतिम अंक सम संख्या है यानी 0 सहित 2,4,6,8, तो वह हमेशा 2 से पूर्णतः विभाज्य होती है।
उदाहरण: 508 एक सम संख्या है और 2 से विभाज्य है, लेकिन 509 एक सम संख्या नहीं है, इसलिए यह 2 से विभाज्य नहीं है। 508 2 से विभाज्य है या नहीं, इसकी जांच करने की प्रक्रिया इस प्रकार है:
- संख्या 508 पर विचार करें
- बस अंतिम अंक 8 लें और इसे 2 से विभाजित करें
- यदि अंतिम अंक 8, 2 से विभाज्य है तो संख्या 508 भी 2 से विभाज्य है।
3 के लिए विभाज्यता नियम
3 के लिए विभाज्यता नियम कहता है कि कोई संख्या 3 से पूर्णतः विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।
308, 3 से विभाज्य है या नहीं ?
अंकों का योग लें (अर्थात् 3+0+8= 11)। अब जांचें कि योग 3 से विभाज्य है या नहीं। यदि योग 3 का गुणज है, तो मूल संख्या भी 3 से विभाज्य है। यहाँ, चूँकि 11, 3 से विभाज्य नहीं है, 308 भी 3 से विभाज्य नहीं है।
इसी प्रकार, 516 पूर्णतः 3 से विभाज्य है क्योंकि इसके अंकों का योग अर्थात 5+1+6=12, 3 का गुणज है।
4 का विभाज्यता नियम
यदि किसी संख्या के अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य हैं, तो वह संख्या 4 का गुणज है और 4 से पूर्णतः विभाज्य है।
उदाहरण: संख्या 2308 लें।
अंतिम दो अंकों यानी 08 पर विचार करें। चूँकि 08, 4 से विभाज्य है, मूल संख्या 2308 भी 4 से विभाज्य है।
5 का विभाज्यता नियम
वे संख्याएँ, जिनके अंतिम अंक 0 या 5 हैं, हमेशा 5 से विभाज्य होती हैं।
उदाहरण: 10, 10000, 10000005, 595, 396524850, आदि।
6 का विभाज्यता नियम
जो संख्याएँ 2 और 3 दोनों से विभाज्य हैं, वे 6 से भी विभाज्य हैं। अर्थात्, यदि दी गई संख्या का अंतिम अंक सम है और उसके अंकों का योग 3 का गुणज है, तो दी गई संख्या भी 6 का गुणज है।
उदाहरण: 630, संख्या 2 से विभाज्य है क्योंकि अंतिम अंक 0 है।
अंकों का योग 6+3+0 = 9 है, जो 3 से भी विभाज्य है।
इसलिए, 630, 6 से विभाज्य है।
7 के लिए विभाज्यता नियम
उदाहरण: क्या 1073, 7 से विभाज्य है?
- बताए गए नियम से संख्या में से 3 हटाकर उसे दोगुना कर दें, जो 6 हो जाए।
- शेष संख्या 107 हो जाती है, अत: 107-6 = 101।
- प्रक्रिया को एक बार और दोहराने पर, हमारे पास 1 x 2 = 2 है।
- शेष संख्या 10 – 2 = 8.
- चूँकि 8, 7 से विभाज्य नहीं है, इसलिए संख्या 1073, 7 से विभाज्य नहीं है।
8 का विभाज्यता नियम
यदि किसी संख्या के अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य हैं, तो वह संख्या 8 से पूर्णतः विभाज्य है।
उदाहरण: संख्या 24344 लें। अंतिम दो अंकों यानी 344 पर विचार करें। चूँकि 344 8 से विभाज्य है, मूल संख्या 24344 भी 8 से विभाज्य है।
9 का विभाज्यता नियम
9 से विभाज्यता का नियम 3 से विभाज्यता नियम के समान है। अर्थात, यदि संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं 9 से विभाज्य है।
उदाहरण: 78532 पर विचार करें, क्योंकि इसके अंकों (7+8+5+3+2) का योग 25 है, जो 9 से विभाज्य नहीं है, इसलिए 78532, 9 से विभाज्य नहीं है।
10 का विभाज्यता नियम
10 के लिए विभाज्यता नियम कहता है कि कोई भी संख्या जिसका अंतिम अंक 0 है, वह 10 से विभाज्य है।
उदाहरण: 10, 20, 30, 1000, 5000, 60000, आदि।
11 के लिए विभाज्यता नियम
यदि किसी संख्या के वैकल्पिक अंकों के योग का अंतर 11 से विभाज्य है, तो वह संख्या 11 से पूर्णतः विभाज्य है।
अर्थात, विषम स्थानों के अंकों का योग – सम स्थानों के अंकों का योग = 0 या 11 का गुणज
यह जांचने के लिए कि क्या 2143 जैसी संख्या 11 से विभाज्य है, नीचे निम्नलिखित प्रक्रिया दी गई है।
- वैकल्पिक अंकों को समूहित करें अर्थात जो अंक विषम स्थानों पर हैं उन्हें एक साथ और सम स्थानों के अंकों को एक साथ रखें। यहां 24 और 13 दो समूह हैं।
- प्रत्येक समूह के अंकों का योग अर्थात 2+4=6 और 1+3= 4 लें
- अब योगों का अंतर ज्ञात करें; 6-4=2
- यदि अंतर 11 से विभाज्य है, तो मूल संख्या भी 11 से विभाज्य है। यहां 2 वह अंतर है जो 11 से विभाज्य नहीं है।
- इसलिए, 2143 11 से विभाज्य नहीं है।
किसी संख्या की 11 से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिए कुछ और शर्तें हैं। उन्हें यहां उदाहरणों की सहायता से समझाया गया है:
यदि किसी संख्या के अंकों की संख्या सम है तो शेष संख्या में से पहला अंक जोड़ें और अंतिम अंक घटा दें।
उदाहरण: 3784
अंकों की संख्या = 4
अब, 78 + 3 – 4 = 77 = 7 × 11
इस प्रकार, 3784 11 से विभाज्य है।
यदि किसी संख्या के अंकों की संख्या विषम है तो शेष संख्या में से पहला और अंतिम अंक घटा दें।
उदाहरण: 82907
अंकों की संख्या = 5
अब, 290 – 8 – 7 = 275 × 11
इस प्रकार, 82907 11 से विभाज्य है।
संख्या के दाएँ सिरे से बाएँ सिरे तक दो अंकों के समूह बनाएँ और परिणामी समूहों को जोड़ें। यदि योग 11 का गुणज है, तो संख्या 11 से विभाज्य है।
उदाहरण: 3774 := 37 + 74 = 111 := 1 + 11 = 12
3774 11 से विभाज्य नहीं है.
253 := 2 + 53 = 55 = 5 × 11
253 11 से विभाज्य है.
संख्या के अंतिम अंक को शेष संख्या से घटाएं। यदि परिणामी मान 11 का गुणज है, तो मूल संख्या 11 से विभाज्य होगी।
उदाहरण: 9647
9647 := 964 – 7 = 957
957 := 95 – 7 = 88 = 8 × 11
इस प्रकार, 9647 11 से विभाज्य है।
12 का विभाज्यता नियम
यदि संख्या 3 और 4 दोनों से विभाज्य है, तो वह संख्या 12 से पूर्णतः विभाज्य है।
उदाहरण: 5864
अंकों का योग = 5 + 8 + 6 + 4 = 23 (3 का गुणज नहीं)
अंतिम दो अंक = 64 (4 से विभाज्य)
दी गई संख्या 5864 4 से विभाज्य है लेकिन 3 से नहीं; इसलिए, यह 12 से विभाज्य नहीं है।
13 के लिए विभाज्यता नियम
किसी भी संख्या के लिए, यह जांचने के लिए कि क्या वह 13 से विभाज्य है, हमें संख्या के अंतिम अंक का चार गुना शेष संख्या में जोड़ना होगा और प्रक्रिया को तब तक दोहराना होगा जब तक आपको दो अंकों की संख्या नहीं मिल जाती। अब जांचें कि वह दो अंकों की संख्या 13 से विभाज्य है या नहीं। यदि यह विभाज्य है, तो दी गई संख्या 13 से विभाज्य है।
उदाहरण के लिए: 2795 → 279 + (5 x 4)
→ 279 + (20)
→ 299
→ 29 + (9 x 4)
→ 29 + 36
→65
संख्या 65, 13 से विभाज्य है, 13 x 5 = 65.
यहाँ विभाज्यता के नियमों (Divisibility Rules) से संबंधित कुछ MCQs दिए गए हैं:
MCQ:
1. 123456 संख्या को किससे विभाजित करने के लिए विभाज्यता का नियम है: “अंतिम अंक 2, 4, 6, 8 या 0 होना चाहिए”?
(a) 2
(b) 3
(c) 5
(d) 9
उत्तर : a) 2
2. किसी संख्या को 3 से विभाजित करने के लिए कौन-सा विभाज्यता नियम है?
(a) अंतिम अंक 0 या 5 होना चाहिए।
(b) सभी अंकों का योग 3 से विभाज्य होना चाहिए।
(c) अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य होने चाहिए।
(d) संख्या का अंतिम अंक 2, 4, 6, 8 या 0 होना चाहिए।
उत्तर : b) सभी अंकों का योग 3 से विभाज्य होना चाहिए।
3. 5432 संख्या को 5 से विभाजित करने के लिए कौन-सा नियम लागू होगा?
(a) सभी अंकों का योग 5 होना चाहिए।
(b) अंतिम अंक 0 या 5 होना चाहिए।
(c) अंतिम दो अंक 25 से विभाज्य होने चाहिए।
(d) संख्या 4 से विभाज्य होनी चाहिए।
उत्तर : b) अंतिम अंक 0 या 5 होना चाहिए।
4. संख्या 1236 को 4 से विभाजित करने के लिए कौन-सा विभाज्यता नियम है?
(a) अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य होने चाहिए।
(b) अंतिम तीन अंक 4 से विभाज्य होने चाहिए।
(c) सभी अंकों का योग 4 से विभाज्य होना चाहिए।
(d) अंतिम अंक 4 होना चाहिए।
उत्तर : a) अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य होने चाहिए।
5. संख्या 176 को 8 से विभाजित करने के लिए कौन-सा विभाज्यता नियम लागू होता है?
(a) अंतिम दो अंक 8 से विभाज्य होने चाहिए।
(b) अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य होने चाहिए।
(c) सभी अंकों का योग 8 से विभाज्य होना चाहिए।
(d) अंतिम अंक 0 या 8 होना चाहिए।
उत्तर : b) अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य होने चाहिए।
6. 396 को 9 से विभाजित करने का नियम क्या है?
(a) सभी अंकों का योग 9 से विभाज्य होना चाहिए।
(b) अंतिम अंक 9 होना चाहिए।
(c) अंतिम दो अंक 9 से विभाज्य होने चाहिए।
(d) संख्या का अंतिम अंक 0 या 9 होना चाहिए।
उत्तर : a) सभी अंकों का योग 9 से विभाज्य होना चाहिए।
7. संख्या 132 को 6 से विभाजित करने के लिए कौन-सा नियम लागू होता है?
(a) संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए।
(b) अंतिम अंक 6 होना चाहिए।
(c) सभी अंकों का योग 6 होना चाहिए।
(d) अंतिम दो अंक 6 से विभाज्य होने चाहिए।
उत्तर : a) संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए।
8. संख्या 3725 को 25 से विभाजित करने के लिए कौन-सा विभाज्यता नियम है?
(a) अंतिम अंक 0 या 5 होना चाहिए।
(b) अंतिम दो अंक 25 से विभाज्य होने चाहिए।
(c) सभी अंकों का योग 25 से विभाज्य होना चाहिए।
(d) अंतिम तीन अंक 25 से विभाज्य होने चाहिए।
उत्तर : b) अंतिम दो अंक 25 से विभाज्य होने चाहिए।
9. किसी संख्या को 11 से विभाजित करने का विभाज्यता नियम क्या है?
(a) सभी अंकों का योग 11 से विभाज्य होना चाहिए।
(b) अंतिम अंक 11 होना चाहिए।
(c) वैकल्पिक अंकों के योग का अंतर 11 से विभाज्य होना चाहिए।
(d) अंतिम दो अंक 11 से विभाज्य होने चाहिए।
उत्तर : c) वैकल्पिक अंकों के योग का अंतर 11 से विभाज्य होना चाहिए।
10. संख्या 17250 को 10 से विभाजित करने का नियम क्या है?
(a) अंतिम अंक 5 होना चाहिए।
(b) अंतिम अंक 0 होना चाहिए।
(c) अंतिम दो अंक 10 से विभाज्य होने चाहिए।
(d) संख्या का अंतिम अंक 2 या 5 होना चाहिए।
उत्तर : b) अंतिम अंक 0 होना चाहिए।
ये MCQs छात्रों को विभाज्यता के नियमों को समझने में मदद करेंगे।